【步步高】2014届高三数学大一轮复习讲义 第4章 两角和与差的正弦、余弦和正切公式学案 苏教版

1 学案学案 2020 两角和与差的正弦 余弦和正切公式两角和与差的正弦 余弦和正切公式 导学目标 1 会用向量数量积推导出两角差的余弦公式 2 能利用两角差的余弦公式 导出两角差的正弦 正切公式 3 能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦 余弦 正切 公式 4 熟悉公式的正用 逆用 变形应用 自主梳理 1 1 两角和与差的余弦 cos cos 2 两角和与差的正弦 sin sin 3 两角和与差的正切 tan tan 均不等于k k Z Z 2 其变形为 tan tan tan 1 tan tan tan tan tan 1 tan tan 2 辅助角公式 asin bcos sin a2 b2 其中Error 角 称为辅助角 自我检测 1 cos 43 cos 77 sin 43 cos 167 的值为 2 已知 tan 3 tan 5 则 tan 2 3 cos sin 123 12 4 1 tan 17 1 tan 18 1 tan 27 1 tan 28 的值是 5 已知 cos sin 则 sin的值是 6 4 3 5 7 6 探究点一 给角求值问题 三角函数式的化简 求值 例 1 求值 1 2sin 50 sin 10 1 tan 10 32sin280 2 sin 75 cos 45 cos 15 3 变式迁移 1 求值 1 2cos 10 sin 20 sin 70 2 tan tan tan tan 6 63 6 6 2 探究点二 给值求值问题 已知某角的三角函数值 求另一角的三角函数值 例 2 已知 0 cos sin 求 sin 的 4 3 4 4 3 5 3 4 5 13 值 变式迁移 2 2010 广州高三二模 已知 tan 2 tan 4 1 2 1 求 tan 的值 2 求的值 sin 2sin cos 2sin sin cos 探究点三 给值求角问题 已知某角的三角函数值 求另一角的值 例 3 已知 0 tan cos 2 2 1 2 2 10 1 求 sin 的值 2 求 的值 变式迁移 3 若 sin A sin B 且A B均为钝角 求A B的值 5 5 10 10 转化与化归思想 例 14 分 已知向量a a cos sin b b cos sin a a b b 2 5 5 1 求 cos 的值 2 若 0 且 sin 求 sin 的值 2 2 5 13 答题模板 解 1 a a b b a a2 2a ba b b b2 2 分 2 5 5 4 5 又 a a cos sin b b cos sin a a2 b b2 1 a ba b cos cos sin sin cos 4 分 故 cos 7 分 a a2 b b2 4 5 2 2 4 5 2 3 5 3 2 0 0 2 2 cos sin 9 分 3 5 4 5 又 sin 0 cos 11 分 5 13 2 12 13 故 sin sin sin cos cos sin 14 分 4 5 12 13 3 5 5 13 33 65 突破思维障碍 本题是三角函数问题与向量的综合题 唯一一个等式条件 a a b b 必须从这个等 2 5 5 式出发 利用向量知识化简再结合两角差的余弦公式可求第 1 问 在第 2 问中需要把未 知角向已知角转化再利用角的范围来求 即将 变为 本节主要应用转化与化归思想 即异角化同角 未知角向已知角转化 非特殊角向特 殊角转化 易错点剖析 a a b b 平方逆用及两角差的余弦公式是易错点 把未知角转化成已知角并利用角的范 围确定三角函数符号也是易错点 1 转化思想是实施三角变换的主导思想 变换包括 函数名称变换 角的变换 1 的变换 和积变换 2 变换则必须熟悉公式 分清和掌握哪些公式会实现哪种变换 也要掌握各个公式的 相互联系和适用条件 3 恒等变形前需已知式中角的差异 函数名称的差异 运算结构的差异 寻求联系 实现转化 4 基本技巧 切割化弦 异名化同 异角化同或尽量减少名称 角数 满分 90 分 一 填空题 每小题 6 分 共 48 分 1 已知a 0 sin 则 tan 2 4 5 4 2 2011 盐城模拟 已知 cos 则 sin2 cos 的值是 6 3 3 6 5 6 3 2010 东北育才中学一模 已知 均为锐角 且 tan cos sin cos sin 则 tan 4 函数y sin x cos x 的最大值为 2 46 4 5 求值 sin 7 cos 15 sin 8 cos 7 sin 15 sin 8 6 在 ABC中 3sin A 4cos B 6 4sin B 3cos A 1 则C的大小为 7 函数f x asin x 3sin x 是偶函数 则a 4 4 8 已知 tan tan 是方程x2 3x 4 0 的两根 且 则 3 2 2 tan 的值为 4 二 解答题 共 42 分 9 14 分 1 已知 且 sin cos 0 2 2 33 65 5 13 求 sin 2 已知 0 且 tan tan 求 2 的值 1 2 1 7 10 14 分 2010 四川 1 证明两角和的余弦公式 C cos cos cos sin sin 由 C 推导两角和的正弦公式 S sin sin cos cos sin 2 已知 ABC的面积S 3 且 cos B 求 cos C 1 2 AB AC 3 5 11 14 分 2010 济南高三三模 设函数f x a ba b 其中向量a a 2cos x 1 b b cos x sin 2x x R R 3 1 若函数f x 1 且x 求x 3 3 3 2 求函数y f x 的单调增区间 并在给出的坐标系中画出y f x 在区间 0 上 的图象 答案答案 自主梳理 1 1 cos cos sin sin cos cos sin sin 2 sin cos cos sin sin cos cos sin 3 tan tan 1 tan tan tan tan 1 tan tan 自我检测 1 2 3 4 4 5 1 2 4 72 4 5 课堂活动区 例 1 解题导引 在三角函数求值的问题中 要注意 三看 口诀 即 1 看角 把角 尽量向特殊角或可计算的角转化 合理拆角 化异为同 2 看名称 把算式尽量化成同一 名称或相近的名称 例如把所有的切都转化为弦 或把所有的弦都转化为切 3 看式子 5 看式子是否满足三角函数的公式 如果满足则直接使用 如果不满足需转化一下角或转换 一下名称 就可以使用 解 1 原式 sin 80 2sin 50 sin 10 1 3sin 10 cos 10 2 sin 80 2sin 50 sin 10 cos 10 3sin 10 cos 10 2 cos 10 2sin 50 2sin 10 1 2cos 10 3 2 sin 10 cos 10 2 cos 10 2sin 50 2sin 10 sin 40 cos 10 2 2 cos 10 sin 50 cos 10 sin 10 cos 50 cos 10 2 cos 10 2sin 60 2 2sin 60 cos 10 222 3 26 2 原式 sin 45 30 cos 45 cos 45 30 3 sin 45 cos 45 cos 45 cos 45 3 2 1 2 3 2 sin 45 0 3 2 变式迁移 1 解 1 原式 2cos 30 20 sin 20 sin 70 3cos 20 sin 20 sin 20 sin 70 3cos 20 sin 70 3 2 原式 tan 1 tan tan tan 6 6 6 63 6 tan 63 例 2 解题导引 对于给值求值问题 即由给出的某些角的三角函数的值 求另外一 些角的三角函数值 关键在于 变角 使 所求角 变为 已知角 若角所在象限没有 确定 则应分类讨论 应注意公式的灵活运用 掌握其结构特征 还要学会拆角 拼角等 技巧 解 cos sin 4 4 3 5 0 4 3 4 2 4 3 4 3 4 cos 4 1 sin2 4 4 5 cos 3 4 1 sin2 3 4 12 13 sin sin 4 3 4 sincos cossin 4 3 4 4 3 4 sin 3 5 12 13 4 5 5 13 56 65 56 65 变式迁移 2 解 1 由 tan 2 得 2 4 1 tan 1 tan 6 即 1 tan 2 2tan tan 1 3 2 sin 2sin cos 2sin sin cos sin cos cos sin 2sin cos 2sin sin cos cos sin sin sin cos cos sin cos cos sin sin sin cos tan tan tan 1 tan tan 1 3 1 2 1 1 3 1 2 1 7 例 3 解题导引 1 通过求角的某种三角函数值来求角 在选取函数时 遵循以下原 则 已知正切函数值 选正切函数 已知正 余弦函数值 选正弦或余弦函数 若角的范围是 选正 余弦皆可 0 2 若角的范围是 0 选余弦较好 若角的范围为 选正弦较好 2 2 2 解这类问题的一般步骤 求角的某一个三角函数值 确定角的范围 根据角的范围写出所求的角 解 1 tan 2 1 2 sin sin 2sin cos 2 2 2 2 2sin 2 cos 2 sin2 2 cos2 2 2tan 2 1 tan2 2 2 1 2 1 1 2 2 4 5 2 0 sin cos 2 4 5 3 5 又 0 0 2 由 cos 得 sin 2 10 7 2 10 sin sin sin cos cos sin 7 2 10 3 5 2 10 4 5 25 2 50 2 2 由 得 或求 cos 得 2 3 4 2 2 3 4 变式迁移 3 解 A B均为钝角且 sin A sin B cos A 5 5 10 10 1 sin2A 2 5 2 5 5 cos B 1 sin2B 3 10 3 10 10 cos A B cos Acos B sin Asin B 7 2 5 5 3 10 10 5 5 10 10 2 2 又 A B A B 2 2 2 由 知A B 7 4 课后练习区 1 2 3 1 4 2 1 7 2 3 32 5 2 3 解析 原式 sin 15 8 cos 15 sin 8 cos 15 8 sin 15 sin 8 tan 15 tan 45 30 sin 15 cos 8 cos 15 cos 8 2 tan 45 tan 30 1 tan 45 tan 30 1 3 3 1 3 33 6 6 解析 两式平方相加得 9 16 24sin A B 37 sin A B sin C 所以C 或 1 2 6 5 6 如果C 则 0 A 5 6 6 3 2 3cos A 1 与 4sin B 3cos A 1 矛盾 故C 6 7 3 解析 f x asin x 3sin x 4 4 asin x acos x sin x cos x a 3 sin x a 3 cos x 2 2 2 2 3 2 2 3 2 2 2 2 2 2 因为是偶函数 则f x f x 代入得 a 3 sin x 0 所以a 3 2 8 3 2 3 解析 Error tan tan tan 1 tan tan 3 又Error 2 2 0 2 0 2 3 9 解 1 cos 2 5 13 sin 2 12 13 分 又 0 2 2 8 又 sin 2 3 2 33 65 cos 1 sin2 5 分 1 33 65 2 56 65 sin sin sin cos cos sin 7 33 65 5 13 56 65 12 13 3 5 分 2 tan tan tan tan 1 tan tan 1 2 1 7 1 1 2 1 7 1 3 10 分 tan 2 tan 1 tan tan 1 tan tan 1 3 1 2 1 1 3 1 2 12 分 0 tan 1 tan 0 1 3 1 7 0 4 2 2 0 1 2 1 2 AB AC A cos A 3sin 0 2 A 10 分 又 sin2A cos2A 1 sin A cos A 10 10 3 10 10 由 cos B 得 sin B 3 5 4 5 cos A B cos Acos B sin Asin B 12 分 10 10 故 cos C cos A B