山东省泰安市2013届高三数学第一轮复习质量检测试题 理（泰安市一模） 新人教A版

1 20132013 年山东省泰安市高考数学一模试卷 理科 年山东省泰安市高考数学一模试卷 理科 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一 选择题 本大题共一 选择题 本大题共 1212 个小题 每小题个小题 每小题 5 5 分 共分 共 6060 分分 在每小题给出的四个选项中 在每小题给出的四个选项中 只有一项是符合题目要求的 只有一项是符合题目要求的 1 5 分 2013 泰安一模 已知集合 A 1 1 B x 1 2x 4 则 A B 等于 A 1 0 1 B 1 C 1 1 D 0 1 考点 交集及其运算 专题 计算题 分析 利用指数函数的性质求出集合 B 中不等式的解集 确定出集合 B 找出 A 与 B 的公共 元素 即可求出两集合的交集 解答 解 由集合 B 中的不等式变形得 20 2x 22 解得 0 x 2 B 0 2 又 A 1 1 则 A B 1 故选 B 点评 此题考查了交集及其运算 熟练掌握交集的定义是解本题的关键 2 5 分 2013 泰安一模 复数 i 为虚数单位 的模是 A B C 5D 8 考点 复数求模 专题 计算题 分析 直接求出复数的代数形式 然后求解复数的模即可 解答 解 因为 所以 故选 A 点评 本题考查复数的代数形式的混合运算 复数的模的求法 考查计算能力 2 3 5 分 2013 泰安一模 如果随机变量 N 1 2 且 P 3 1 0 4 则 P 1 等于 A 0 1B 0 2C 0 3D 0 4 考 点 正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义 专 题 计算题 分 析 本题是一个正态分布问题 根据所给的随机变量取值的平均水平的特征数 1 而正态 曲线是一个关于 x 即 x 1 对称的曲线 根据对称性写出概率 解 答 解 如果随机变量 N 1 2 且 P 3 1 0 4 P 3 1 P 1 点 评 一个随机变量如果是众多的 互不相干的 不分主次的偶然因素作用结果之和 它就 服从或近似的服从正态分布 正态分布在概率和统计中具有重要地位 4 5 分 2013 泰安一模 下列命题 其中说法错误的是 A 命题 若 x2 3x 4 0 则 x 4 的逆否命题为 若 x 4 则 x2 3x 4 0 B x 4 是 x2 3x 4 0 的充分条件 C 命题 若 m 0 则方程 x2 x m 0 有实根 的逆命题为真命题 D 命题 若 m2 n2 0 则 m 0 且 n 0 的否命题是 若 m2 n2 0 则 m 0 或 n 0 考点 命题的真假判断与应用 专题 计算题 函数的性质及应用 分析 命题 若 x2 3x 4 0 则 x 4 的逆否命题为 若 x 4 则 x2 3x 4 0 x 4 是 x2 3x 4 0 的充分条件 命题 若 m 0 则方程 x2 x m 0 有实根 的逆命题是假命题 命题 若 m2 n2 0 则 m 0 且 n 0 的否命题 3 是 若 m2 n2 0 则 m 0 或 n 0 解答 解 命题 若 x2 3x 4 0 则 x 4 的逆否命题为 若 x 4 则 x2 3x 4 0 故 A 正确 x 4 x2 3x 4 0 x2 3x 4 0 x 4 或 x 1 x 4 是 x2 3x 4 0 的充分条件 故 B 正确 命题 若 m 0 则方程 x2 x m 0 有实根 的逆命题为 若方程 x2 x m 0 有实根 则 1 4m 0 解得 m 若方程 x2 x m 0 有实根 则 m 0 是假命题 故 C 不正确 命题 若 m2 n2 0 则 m 0 且 n 0 的否命题是 若 m2 n2 0 则 m 0 或 n 0 故 D 正确 故选 C 点评 本题考查命题的真假判断 是基础题 解题时要认真审题 仔细解答 5 5 分 2013 泰安一模 若程序框图如图所示 则该程序运行后输出 k 的值是 A 4B 5C 6D 7 考点 程序框图 分析 根据所给数值判定是否满足判断框中的条件 然后执行循环语句 一旦不满足条件 就退出循环 执行语句输出 k 从而到结论 解答 解 当输入的值为 n 5 时 n 不满足上判断框中的条件 n 16 k 1 n 不满足下判断框中的条件 n 16 n 满足上判断框中的条件 n 8 k 2 4 n 不满足下判断框中的条件 n 8 n 满足判断框中的条件 n 4 k 3 n 不满足下判断框中的条件 n 4 n 满足判断框中的条件 n 2 k 4 n 不满足下判断框中的条件 n 2 n 满足判断框中的条件 n 1 k 5 n 满足下面一个判断框中的条件 退出循环 即输出的结果为 k 5 故选 B 点评 本题主要考查了循环结构 是当型循环 当满足条件 执行循环 属于基础题 6 5 分 2013 泰安一模 当时 函数 f x Asin x A 0 取得最小值 则函数是 A 奇函数且图象关于点对称 B 偶函数且图象关于点 0 对称 C 奇函数且图象关于直线对称 D 偶函数且图象关于点对称 考点 由 y Asin x 的部分图象确定其解析式 专题 计算题 分析 由 f sin 1 可求得 2k k Z 从而可求得 y f 5 x 的解析式 利用正弦函数的奇偶性与对称性判断即可 解答 解 f sin 1 2k 2k k Z y f x Asin x 2k Asinx 令 y g x Asinx 则 g x Asin x Asinx g x y g x 是奇函数 可排除 B D 其对称轴为 x k k Z 对称中心为 k 0 k Z 可排除 A 令 k 0 x 为一条对称轴 故选 C 点评 本题考查由 y Asin x 的部分图象确定其解析式 求 是难点 考查正弦函 数的奇偶性与对称性 属于中档题 7 5 分 2013 泰安一模 在 ABC 中 A 60 AB 2 且 ABC 的面积为 则 BC 的长为 A B 3C D 7 考点 余弦定理 专题 解三角形 分析 由 ABC 的面积 S ABC 求出 AC 1 由余弦定理可得 BC 计算可得答案 解答 解 S ABC AB ACsin60 2 AC AC 1 ABC 中 由余弦定理可得 BC 故选 A 点评 本题考查三角形的面积公式 余弦定理的应用 求出 AC 是解题的关键 8 5 分 2013 泰安一模 已知则向量 与 的夹角 为 6 A B C D 考点 数量积表示两个向量的夹角 专题 平面向量及应用 分析 由条件求得 再由 求得向量 与 的 夹角 解答 解 由于 所以 所以 所以 故选 B 点评 本题主要考查用两个向量的数量积表示两个向量的夹角 两个向量数量积的运算 属于中档题 9 5 分 2013 泰安一模 若 a b R 且 ab 0 则下列不等式中 恒成立的是 A a b 2 B C D a2 b2 2ab 考点 不等关系与不等式 专题 常规题型 分析 根据不等关系与不等式以及基本不等式等相关知识对四个选项逐一判断得出正确选 项 解答 解 因为 ab 0 则或 则排除 A 与 B 由于 a2 b2 2ab 恒成立 当 且仅当 a b 时 取 故 D 错 由于 ab 0 则 即 所以选 C 故答案为 C 点评 本题考查不等式与不等关系 解题的关键是熟练掌握不等式成立判断的方法以及基 本不等式适用的范围 7 10 5 分 2013 泰安一模 设函数 f x x3 4x a 0 a 2 有三个零点 x1 x2 x3 且 x1 x2 x3 则下列结论正确的是 A x1 1B x2 0C 0 x2 1D x3 2 考点 根的存在性及根的个数判断 专题 计算题 函数的性质及应用 分析 利用导数研究函数的单调性 利用导数求函数的极值 再根据 f x 的三个零点为 x1 x2 x3 且 x1 x2 x3 求得各个零点所在的区间 从而得出结论 解答 解 函数 f x x3 4x a 0 a 2 f x 3x2 4 令 f x 0 得 x 当 x 时 f x 0 在 上 f x 0 在 上 f x 0 故函数在 上是增函数 在 上是减函数 在 上是增函数 故 f 是极大值 f 是极小值 再由 f x 的三个零点为 x1 x2 x3 且 x1 x2 x3 得 x1 x2 x3 根据 f 0 a 0 且 f a 0 得 x2 0 0 x2 1 故选 C 点评 本题主要考查函数的零点的定义 函数的零点与方程的根的关系 利用导数研究函 数的单调性 利用导数求函数的极值 属于中档题 11 5 分 2013 泰安一模 直线 x a2 1 y 1 0 a R 的倾斜角的取值范围是 A 0 B C 0 D 考点 直线的倾斜角 8 专题 计算题 分析 由直线的方程得 斜率等于 由于 0 1 设倾斜角为 则 0 1 tan 0 求得倾斜角 的取值范围 解答 解 直线 x a2 1 y 1 0 a R 的 斜率等于 由于 0 1 设倾斜角为 则 0 1 tan 0 故选 B 点评 本题考查直线的倾斜角和斜率的关系 以及倾斜角的取值范围 已知三角函数值的 范围求角的范围 得到 0 1 tan 0 是解题的关键 12 5 分 2013 泰安一模 设奇函数 f x 在 1 1 上是增函数 f 1 1 若 函数 f x t2 2at 1 对所有的 x 1 1 都成立 则当 a 1 1 时 t 的取值范 围是 A 2 t 2B C t 2 或 t 0 或 t 2D 考点 函数恒成立问题 函数单调性的性质 函数奇偶性的性质 专题 综合题 压轴题 分析 要使函数 f x t2 2at 1 对所有的 x 1 1 都成立 只需要 f x 的最大 值小于等于 t2 2at 1 再变换主元 构建函数 可得不等式 从而可求 t 的取值范 围 解答 解 奇函数 f x 在 1 1 上是增函数 f 1 1 x 1 时 函数有最大值 f 1 1 若函数 f x t2 2at 1 对所有的 x 1 1 都成立 1 t2 2at 1 2at t2 0 设 g a 2at t2 1 a 1 欲使 2at t2 0 恒成立 则 t 2 或 t 0 或 t 2 故选 C 9 点评 本题考查函数的奇偶性 单调性与最值 考查恒成立问题 考查变换主元的思想 利用最值解决恒成立问题时我们解决这类问题的常用方法 二 填空题 本大题共二 填空题 本大题共 4 4 个小题 每小题个小题 每小题 4 4 分 共分 共 1616 分分 请把答案填在答题纸的相应位置请把答案填在答题纸的相应位置 13 4 分 2013 泰安一模 从集合 1 2 3 4 5 中随机选取 3 个不同的数 这 3 个 数可以构成等差数列的概率为 考点 古典概型及其概率计算公式 专题 概率与统计 分析 先计算出从集合 1 2 3 4 5 中随机选取 3 个不同的数对应的基本事件总数 再 列举出这 3 个数可以构成等差数列的基本事件个数 代入古典概型概率计算公式 可得答案 解答 解 从集合 1 2 3 4 5 中随机选取 3 个不同的数 共有 10 种不同的情况 其中可以构成等差数列的情况有 1 2 3 2 3 4 3 4 5 和 1 3 5 四种 故这 3 个数可以构成等差数列的概率为 故答案为 点评 本题考查的知识点是古典概型及其概率计算公式 其中本题易忽略 1 3 5 这种情 况 而造成错解 14 4 分 2013 泰安一模 二项式的展开式中 常数项等于 1215 用 数字作答 考点 二项式定理 专题 计算题 分析 在二项展开式的通项公式中 令 x 的幂指数等于 0 求出 r 的值 即可求得常数项 解答 解 展开式的通项公式为 由 6 3k 0 得 k 2 所以常数项为 故答案为 1215 点评 本题主要考查二项式定理的应用 二项展开式的通项公式 求展开式中某项的系数 二项式系数的性质 属于中档题 10 15 4 分 2013 泰安一模 已知矩形 ABCD 的顶点都在半径为 5 的球 O 的球面上 且 AB 8 BC 2 则棱锥 O ABCD 的体积为 考点 球内接多面体 棱柱 棱锥 棱台的体积 专题 计算题 空间位置关系与距离 分析 根据题意 球心 0 在矩形所在平面内的射影为矩形对角线的交点 O1 算出 AC 2 结合球的截面圆性质算出 OO1 最后利用锥体体积公式 即可算出棱锥 O ABCD 的体积 解答 解 球心 0 在矩形所在平面内的射影为矩形对角线的交点 O1 AB 8 BC 2 对角线长 AC 由球的截面圆性质 得 棱锥的高 OO1 棱锥 O ABCD 的体积为 V SABCD OO1 故答案为 点评 本题给出圆的内接矩形 ABCD 求棱锥 O ABCD 的体积 着重考查了球的截面圆性质 和锥体体积公式等知识 属于中档题 16 4 分 2013 泰安一模 设双曲线的离心率为 2 且一个焦点与抛物线 x2 8y 的焦点相同 则此双曲线的方程为 考点 抛物线的简单性质 双曲线的简单性质 专题 圆锥曲线的定义 性质与方程 分析 利用抛物线的方程先求出抛物线的焦点即双曲线的焦点 利用双曲线的方程与系数 的关系求出 a2 b2 利用双曲线的三个系数的关系列出 m n 的一个关系 再利用双 曲线的离心率的公式列出关于 m n 的另一个等式 解方程组求出 m n 的值 代入 11 方程求出双曲线的方程 解答 解 抛物线的焦点坐标为 0 2 所以双曲线的焦点在 y 轴上且 c 2 所以双曲线的方程为 即 a2 n 0 b2 m 0 所以 又 解得 n 1 所以 b2 c2 a2 4 1 3 即 m 3 m 3 所以双曲线的方程为 故答案为 点评 解决双曲线 椭圆的三参数有关的问题 有定注意三参数的关系 c2 a2 b2而椭圆中 三参数的关系为 a2 c2 b2 三 解答题 三 解答题 17 12 分 2013 泰安一模 设等比数列 an 的前 n 项和为 Sn a4 a1 9 a5 a3 a4成 等差数列 1 求数列 an 的通项公式 2 证明 对任意 k N Sk 2 Sk Sk 1成等差数列 考 点 等比数列的前 n 项和 等差数列的通项公式 等差关系的确定 专 题 等差数列与等比数列 分 析 1 由题意可建立 解之可得 进而可得通项公式 2 由 1 可求 Sk 进而可得 Sk 2 Sk 1 由等差中项的定义验证 Sk 1 Sk 2 2Sk即可 解 答 解 1 设等比数列 an 的公比为 q 则 解得 故数列 an 的通项公式为 an 2 n 1 2 由 1 可知 an 2 n 1 故 Sk 12 所以 Sk 1 Sk 2 Sk 1 Sk 2 而 2Sk 2 故 Sk 1 Sk 2 2Sk 即 Sk 2 Sk Sk 1成等差数列 点 评 本题考查等比数列的前 n 项和 以及等差关系的确定 属中档题 18 12 分 2013 泰安一模 已知 1 求 A 的值 II 设 0 f 3 f 3 求 cos 的值 考点 三角函数中的恒等变换应用 平面向量数量积的坐标表示 模 夹角 专题 三角函数的求值 平面向量及应用 分析 1 利用两个向量的数量积公式求得 f x 2Asin 再由 f 可得 A 的值 II 由 1 可得 f x 2Asin 由 f 3 求得 cos 的 值 再由 f 3 求得 sin 的值 再由 的范围利用同角三 角函数的基本关系 求得 sin 和 cos 的值 再根据 cos cos cos sin sin 运算求得结果 解答 解 1 由题意可得 f x Asin Acos 2Asin 13 再由 f 2Asin A 可得 A 1 II 由 1 可得 f x 2Asin f 3 2sin 2cos 可得 cos 又 f 3 2sin 2sin sin 再由 0 可得 sin cos cos cos cos sin sin 点评 本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值 两个向量的数量积公式的应用 属 于中档题 19 12 分 2013 泰安一模 如图在多面体 ABCDEF 中 ABCD 为正方形 ED 平面 ABCD FB ED 且 AD DE 2BF 2 I 求证 AC EF II 求二面角 C EF D 的大小 III 设 G 为 CD 上一动点 试确定 G 的位置使得 BG 平面 CEF 并证明你的结论 考点 用空间向量求平面间的夹角 直线与平面平行的判定 专题 平面向量及应用 分析 I 建立坐标系 利用向量的数量积为 0 即可证明 AC EF II 取为平面 EFD 的法向量 求出平面 CEF 的法向量 利用向量的夹角公式 即可求二面角 C EF D 的大小 III 若 BG 平面 CEF 只需 则可得 G 为 CD 的中点时 BG 平面 CEF 解答 I 证明 建立如图所示的坐标系 则 A 2 0 0 B 2 2 0 C 0 2 0 F 2 2 1 E 0 0 2 2 2 2 2 1 0 0 AC EF II 解 ED 平面 ABCD AC 平面 ABCD AC ED 14 AC EF 取为平面 EFD 的法向量 2 2 0 设平面 CEF 的法向量为 x y 1 0 2 2 设二面角 C EF D 的大小为 则 cos 0 III 解 设 G 0 y0 0 y0 0 2 若 BG 平面 CEF 只需 又 2 y0 0 2 y0 2 0 1 1 1 y0 2 0 0 y0 1 G 点坐标为 0 1 0 即当 G 为 CD 的中点时 BG 平面 CEF 点评 本题考查利用空间向量求空间角 考查线面平行 考查学生的分析问题和解决问题 的能力 属于中档题 20 12 分 2013 泰安一模 某产品按行业生产标准分成 6 个等级 等级系数 依次为 1 2 3 4 5 6 按行业规定产品的等级系数 5 的为一等品 3 5 的为二等品 3 的为三等品 15 若某工厂生产的产品均符合行业标准 从该厂生产的产品中随机抽取 30 件 相应的等级系 数组成一个样本 数据如下 I 以此 30 件产品的样本来估计该厂产品的总体情况 试分别求出该厂生产原一等品 二等品和三等品的概率 II 已知该厂生产一件产品的利润 y 单位 元 与产品的等级系数 的关系式为 若从该厂大量产品中任取两件 其利润记为 Z 求 Z 的分布列和数学 期望 考点 离散型随机变量的期望与方差 古典概型及其概率计算公式 专题 概率与统计 分析 I 由样本数据 结合行业规定 确定一等品有 6 件 二等品有 9 件 三等品有 15 件 即可估计该厂生产的产品的一等品率 二等品率和三等品率 II 确定 Z 的可能取值为 2 3 4 5 6 8 用样本的频率分布估计总体分布 将频率视为概率 可得 Z 的分布列 从而可求数学期望 解答 解 I 由样本数据知 30 件产品中等级系数 7 有 6 件 即一等品有 6 件 二 等品有 9 件 三等品有 15 件 3 分 样本中一等品的频率为 0 2 故估计该厂生产的产品的一等品率为 0 2 4 分 二等品的频率为 0 3 故估计该厂生产的产品的二等品率为 0 3 5 分 三等品的频率为 0 5 故估计该厂生产的产品的三等品的频率为 0 5 6 分 II Z 的可能取值为 2 3 4 5 6 8 用样本的频率分布估计总体分布 将频率视为概率 可得 P Z 2 0 5 0 5 P Z 3 2 P Z 4 P Z 5 2 P Z 6 2 P Z 8 16 可得 X 的分布列如下 10 分 其数学期望 EX 3 8 元 12 分 点评 本题考查统计知识 考查离散型随机变量的分布列与期望 解题时利用样本的频率 分布估计总体分布 将频率视为概率 21 13 分 2013 泰安一模 已知椭圆 C1 1 椭圆 C2以 C1的短轴为长轴 且 与 C1有相同的离心率 I 求椭圆 C2的方程 II 设直线 l 与椭圆 C2相交于不同的两点 A B 已知 A 点的坐标为 2 0 点 Q 0 y0 在线段 AB 的垂直平分线上 且 4 求直线 l 的方程 考点 直线与圆锥曲线的综合问题 椭圆的简单性质 专题 圆锥曲线的定义 性质与方程 分析 I 设椭圆 C2的方程 利用椭圆 C1 1 椭圆 C2以 C1的短轴为长轴 且与 C1有相同的离心率 即可确定椭圆的方程 II 设出点 B 的坐标和直线 l 的斜率 表示出直线 l 的方程与椭圆方程联立 消 去 y 由韦达定理求得点 B 的横坐标的表达式 设线段 AB 的中点为 M 确定 M 的坐 标 分类讨论 利用 4 即可得到结论 解答 解 I 设椭圆 C2的方程为 a b 0 椭圆 C1 1 椭圆 C2以 C1的短轴为长轴 且与 C1有相同的离心率 a 2 e c 椭圆 C2的方程为 17 II 点 A 的坐标是 2 0 设点 B 的坐标为 x1 y1 直线 l 的斜率为 k 则直线 l 的方程为 y k x 2 与椭圆 C2的方程联立 整理得 1 4k2 x2 16k2x 16k2 4 0 2x1 得 x1 从而 y1 设线段 AB 的中点为 M 得到 M 的坐标为 当 k 0 时 点 B 的坐标是 2 0 线段 AB 的垂直平分线为 y 轴 2 y0 2 y0 由 4 得 y0 2 l 的方程为 y 0 当 k 0 时 线段 AB 的垂直平分线方程为 令 x 0 解得 y0 2 y0 x1 y1 y0 2 y0 x1 y1 y0 4 7k2 2 l 的方程为 y 点评 本题主要考查椭圆的标准方程和几何性质 直线的方程 考查用代数方法研究圆锥 曲线的性质及数形结合的思想 考查综合分析与运算能力 属于中档题 22 13 分 2013 泰安一模 已知函数 f x ax2 bx c ex且 f 0 1 f 1 0 I 若 f x 在区间 0 1 上单调递减 求实数 a 的取值范围 II 当 a 0 时 是否存在实数 m 使不等式 2f x 4xex mx 1 x2 4x 1 对任意 x R 恒成立 若存在 求出 m 的值 若不存在 请说明理由 考点 导数在最大值 最小值问题中的应用 利用导数研究函数的单调性 专题 导数的概念及应用 分析 1 由题意 函数 f x ax2 bx c ex在 0 1 上单调递减且满足 f 0 1 f 1 0 可求出函数的导数 将函数在 0 1 上单调递减转化为导数在 0 1 上的函数值恒小于等于 0 再结合 f 0 1 f 1 0 这两个方程即可求得 18 a 取值范围 II 当 a 0 时 若 mx 1 x2 4x 1 得 由二次函数知识求得 m 4 在