2012年高考数学真题汇编10 立体几何 文

1 20122012 高考试题分类汇编 立体几何高考试题分类汇编 立体几何 一 选择题 1 2012 高考新课标文 7 如图 网格纸上小正方形的边长为 粗线画出的是某几何体的1 三视图 则此几何体的体积为 A6 B9 C D 答案 B 2 2012 高考新课标文 8 平面 截球 O 的球面所得圆的半径为 1 球心 O 到平面 的距 离为 则此球的体积为 2 A B 4 C 4 D 6 6363 答案 B 3 2012 高考全国文 8 已知正四棱柱中 1111 ABCDABC D 2AB 1 2 2CC 为的中点 则直线与平面的距离为E 1 CC 1 ACBED A B C D 2321 答案 D 4 2012 高考陕西文 8 将正方形 如图 1 所示 截去两个三棱锥 得到图 2 所示的几何体 则该几何体的左视图为 8 答案 B 5 2012 高考江西文 7 若一个几何体的三视图如图所示 则此几何体的体积为 2 A B 5 C 4 D 11 2 9 2 答案 D 6 2012 高考湖南文 4 某几何体的正视图和侧视图均如图 1 所示 则该几何体的俯视图不 可能是 答案 D 7 2012 高考广东文 7 某几何体的三视图如图 1 所示 它的体积为 图 1 正视图 俯视图 侧视图 55 6 3 55 6 3 A B C D 72 48 30 24 答案 C 8 2102 高考福建文 4 一个几何体的三视图形状都相同 大小均等 那么这个几何体不可 以是 A 球 B 三棱锥 C 正方体 D 圆柱 3 答案 D 9 2012 高考重庆文 9 设四面体的六条棱的长分别为 1 1 1 1 和且长为的棱2aa 与长为的棱异面 则的取值范围是2a A B C D 0 2 0 3 1 2 1 3 答案 A 10 2012 高考浙江文 3 已知某三棱锥的三视图 单位 cm 如图所示 则该三棱锥的体 积是 A 1cm3 B 2cm3 C 3cm3 D 6cm3 答案 C 11 2012 高考浙江文 5 设 是直线 a 是两个不同的平面l A 若 a 则 a B 若 a 则 a llll C 若 a a 则 D 若 a a 则 llll 答案 B 12 2012 高考四川文 6 下列命题正确的是 A 若两条直线和同一个平面所成的角相等 则这两条直线平行 B 若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等 则这两个平面平行 C 若一条直线平行于两个相交平面 则这条直线与这两个平面的交线平行 D 若两个平面都垂直于第三个平面 则这两个平面平行 答案 C 13 2012 高考四川文 10 如图 半径为的半球的底面圆在平面内 过点作平ROO O 面的垂线交半球面于点 过圆的直径作平面成角的平面与半球面相交 所 AOCD 45 得交线上到平面的距离最大的点为 该交线上的一点满足 则 BP60BOP A 两点间的球面距离为 P 4 A B C D 2 arccos 4 R 4 R 3 arccos 3 R 3 R 答案 A 14 2102 高考北京文 7 某三棱锥的三视图如图所示 该三棱锥的表面积是 A 28 6 5 B 30 6 5 C 56 12 5 D 60 12 5 答案 B 二 填空题 15 2012 高考四川文 14 如图 在正方体中 分别是 1111 ABCDABC D MNCD 的中点 则异面直线与所成的角的大小是 1 CC 1 AMDN N M B1 A1 C1 D1 B D C A 答案 2 16 2012 高考上海文 5 一个高为 2 的圆柱 底面周长为 该圆柱的表面积为 2 答案 6 17 2012 高考湖北文 15 已知某几何体的三视图如图所示 则该几何体的体积为 5 答案 12 18 2012 高考辽宁文 13 一个几何体的三视图如图所示 则该几何体的体积为 答案 12 点评点评 本题主要考查几何体的三视图 柱体的体积公式 考查空间想象能力 运算求解能 力 属于容易题 本题解决的关键是根据三视图还原出几何体 确定几何体的形状 然后再 根据几何体的形状计算出体积 19 2012 高考江苏 7 5 5 分 分 如图 在长方体中 1111 ABCDABC D 3cmABAD 则四棱锥的体积为 cm3 1 2cmAA 11 ABB D D 答案答案 6 6 考点考点 正方形的性质 棱锥的体积 20 2012 高考辽宁文 16 已知点 P A B C D 是球 O 表面上的点 PA 平面 ABCD 四边 形 ABCD 是边长为 2正方形 若 PA 2 则 OAB 的面积为 36 答案答案 3 3 21 2012 高考天津文科 10 一个几何体的三视图如图所示 单位 m 则该几何体的体 积 3 m 答案 30 22 2012 高考安徽文 12 某几何体的三视图如图所示 则该几何体的体积等于 答案 56 23 2012 高考山东文 13 如图 正方体的棱长为 1 E 为线段上的一 1111 ABCDABC D 1 BC 点 则三棱锥的体积为 1 ADED 7 答案 6 1 24 2012 高考安徽文 15 若四面体的三组对棱分别相等 即 ABCDABCD 则 写出所有正确结论编号 ACBD ADBC 四面体每组对棱相互垂直ABCD 四面体每个面的面积相等ABCD 从四面体每个顶点出发的三条棱两两夹角之和大于而小于ABCD90 180 连接四面体每组对棱中点的线段互垂直平分ABCD 从四面体每个顶点出发的三条棱的长可作为一个三角形的三边长ABCD 答案 25 2012 高考全国文 16 已知正方体中 分别为的 1111 ABCDABC D EF 11 BBCC 中点 那么异面直线与所成角的余弦值为 AE 1 D F 答案 5 3 三 解答题 26 2012 高考全国文 19 本小题满分 12 分 注意 在试题卷 上作答无效 如图 四棱锥中 底面为菱形 底PABCD ABCDPA 面 是上的一点 ABCD2 2AC 2PA EPC 2PEEC 证明 平面 PC BED 设二面角为 求与平面所成角的APBC 90 PDPBC 大小 答案 E C BD A P 9 10 27 2012 高考安徽文 19 本小题满分 12 分 如图 长方体中 底面是正方形 是的中点 1111 DCBAABCD 1111 DCBAOBD 是棱上任意一点 E 1 AA 证明 BD 1 EC 如果 2 求 的长 ABAE2 1 ECOE 1 AA 答案 11 解析 28 2012 高考四川文 19 本小题满分 12 分 如图 在三棱锥中 点PABC 90APB 60PAB ABBCCA 在平面内的射影在上 A B C P PABCOAB 求直线与平面所成的角的大小 PCABC 求二面角的大小 BAPC 命题立意 本题主要考查本题主要考查直线与平面的位置关系 线面角的概念 二面角的概 念等基础知识 考查空间想象能力 利用向量解决立体几何问题的能力 答案 解析 12 2 29 2012 高考重庆文 20 本小题满分 12 分 小问 4 分 小问 8 分 已知直三 13 棱柱中 为的中点 求异面直线 111 ABCABC 4AB 3ACBC DAB 和的距离 若 求二面角的平面角的余弦值 1 CCAB 11 ABAC 11 ACDB 答案 1 3 解析 如答 20 图 1 因 AC BC D 为 AB 的中点 故 CD AB 又直三棱柱中 面 故 所以异面直线 和 AB 的距离为 1 CC ABC 1 CDCC 1 CC 22 CD 5BCBD 由故 面 从而 1 CD CD ABBB CD 11 A ABB 1 CDDA 故 为所求的二面角的平面角 1 CDDB 11 ADB 11 ACDB 因是在面上的射影 又已知 由三垂线定理的逆定理得 1 AD 1 AC 11 A ABB 11C ABA 从而 都与互余 因此 所以 11D ABA 11 A AB 1 ADA 1 B AB 111 A ABADA 因此得 1 Rt A ADA 11 Rt B A AA 111 1 AAAB ADAA 2 111 8AAAD AB 从而 22 1111 2 3 2 3ADAAADB DAD 所以在中 由余弦定理得 11 ADBA 222 1111 11 11 1 cos 23 ADDBAB ADB AD DB 2012 高考上海文 19 本题满分 12 分 本题共有 2 个小题 第 1 小题满分 6 分 第 2 小题 满分 6 分 如图 在三棱锥中 底面 是的中点 已知 PABC PAABCDPCBAC 2 求 2AB 2 3AC 2PA 14 1 三棱锥的体积PABC 2 异面直线与所成的角的大小 结果用反三角函数值表示 BCAD 答案 点评点评 本题主要考查直线与直线 直线与平面的位置关系 考查空间想象能力和推理论证 能力 综合考查空间中两条异面直线所成的角的求解 同时考查空间几何体的体积公式的运 用 本题源于 必修 2 立体几何章节复习题 复习时应注重课本 容易出现找错角的情况 要考虑全面 考查空间想象能力 属于中档题 30 2012 高考天津文科 17 本小题满分 13 分 15 如图 在四棱锥 P ABCD 中 底面 ABCD 是矩形 AD PD BC 1 PC 2 PD CD 2 3 I 求异面直线 PA 与 BC 所成角的正切值 II 证明平面 PDC 平面 ABCD III 求直线 PB 与平面 ABCD 所成角的正弦值 答案 31 2012 高考新课标文 19 本小题满分 12 分 16 如图 三棱柱 ABC A1B1C1中 侧棱垂直底面 ACB 90 AC BC AA1 D 是棱 AA1的中点 1 2 证明 平面 BDC1 平面 BDC 平面 BDC1分此棱柱为两部分 求这两部分体积的比 答案 32 2012 高考湖南文 19 本小题满分 12 分 如图 6 在四棱锥 P ABCD 中 PA 平面 ABCD 底面 ABCD 是等腰梯形 AD BC AC BD 证明 BD PC 若 AD 4 BC 2 直线 PD 与平面 PAC 所成的角为 30 求四棱锥 P ABCD 的体积 B1 C B A D C1 A1 17 中国 教 育出 版 答案 解析 因为 PAABCD BDABCDPABD 平面平面所以 又是平面 PAC 内的两条相较直线 所以 BD平面 PAC ACBD PA AC 而平面 PAC 所以 PC BDPC 设 AC 和 BD 相交于点 O 连接 PO 由 知 BD平面 PAC 所以是直线 PD 和平面 PAC 所成的角 从而 DPO DPO 30 由 BD平面 PAC 平面 PAC 知 PO BDPO 在中 由 得 PD 2OD RtPODADPO 30 因为四边形 ABCD 为等腰梯形 所以均为等腰直角三角形 ACBD AODBOCAA 从而梯形 ABCD 的高为于是梯形 ABCD 面积 111 42 3 222 ADBC 1 42 39 2 S 在等腰三角形 中 2 2 2 2 ODAD 所以 22 24 2 4 PDODPAPDAD 故四棱锥的体积为 PABCD 11 9 412 33 VSPA 18 点评 本题考查空间直线垂直关系的证明 考查空间角的应用 及几何体体积计算 第一 问只要证明 BD平面 PAC 即可 第二问由 知 BD平面 PAC 所以是直线 PD DPO 和平面 PAC 所成的角 然后算出梯形的面积和棱锥的高 由算得体积 1 3 VSPA 33 2012 高考山东文 19 本小题满分 12 分 如图 几何体是四棱锥 为正三角形 EABCD ABD CBCD ECBD 求证 BEDE 若 M为线段AE的中点 120BCD 求证 平面 DMBEC 答案 19 19 I 设中点为O 连接OC OE 则由知 BDBCCD COBD 又已知 所以平面OCE CEBD BD 所以 即OE是BD的垂直平分线 BDOE 所以 BEDE II 取AB中点N 连接 MN DN M是AE的中点 MNBE 是等边三角形 ABDDNAB 由 BCD 120 知 CBD 30 所以 ABC 60 30 90 即 BCAB 所以ND BC 所以平面MND 平面BEC 故DM 平面BEC 34 2012 高考湖北文 19 本小题满分 12 分 某个实心零部件的形状是如图所示的几何体 其下部是底面均是正方形 侧面是全等的等腰 梯形的四棱台 A1B1C1D1 ABCD 上部是一个底面与四棱台的上底面重合 侧面是全等的矩形的 四棱柱 ABCD A2B2C2D2 A 证明 直线 B1D1 平面 ACC2A2 B 现需要对该零部件表面进行防腐处理 已知 AB 10 A1B1 20 AA2 30 AA1 13 单位 厘 米 每平方厘米的加工处理费为 0 20 元 需加工处理费多少元 19 答案 解析 本题考查线面垂直 空间几何体的表面积 考查空间想象 运算求解以及转化与划 归的能力 线线垂直线面垂直面面垂直是有关垂直的几何问题的常用转化方法 四棱 柱与四棱台的表面积都是由简单的四边形的面积而构成 只需求解四边形的各边长即可 来 年需注意线线平行 面面平行特别是线面平行 以及体积等的考查 35 2012 高考广东文 18 本小题满分 13 分 如图 5 所示 在四棱锥中 平面 PABCD AB PAD ABCDPDAD 是的中点 是上的点且 为 中边上的高 EPBFCD 1 2 DFAB PHPADAD 20 1 证明 平面 PH ABCD 2 若 求三棱1PH 2AD 1FC 锥的体积 EBCF 3 证明 平面 EF PAB 解析 1 证明 因为平面 AB PAD 所以 PHAB 因为为 中边上的高 PHPADAD 所以 PHAD 因为 ABADA 所以平面 PH ABCD 2 连结 取中点 连结 BHBHGEG 因为是的中点 EPB 所以 EGPH 因为平面 PH ABCD 所以平面 EG ABCD 则 11 22 EGPH 11 1 33 2 E BCFBCF VSEGFC AD EG 2 12 3 证明 取中点 连结 PAMMDME 因为是的中点 EPB 所以 1 2 MEAB 因为 1 2 DFAB 所以 MEDF 21 所以四边形是平行四边形 MEDF 所以 EFMD 因为 PDAD 所以 MDPA 因为平面 AB PAD 所以 MDAB 因为 PAABA 所以平面 MD PAB 所以平面 EF PAB 36 2102 高考北京文 16 本小题共 14 分 如图 1 在 Rt ABC 中 C 90 D E 分别 为 AC AB 的中点 点 F 为线段 CD 上的一点 将 ADE 沿 DE 折起到 A1DE 的位置 使 A1F CD 如图 2 I 求证 DE 平面 A1CB II 求证 A1F BE III 线段 A1B 上是否存在点 Q 使 A1C 平面 DEQ 说明理由 答案 22 37 2012 高考浙江文 20 本题满分 15 分 如图 在侧棱锥垂直底面的四棱锥 ABCD A1B1C1D1中 AD BC AD AB AB AD 2 BC 4 AA1 2 E 是 DD1的中点 F 是平面2 B1C1E 与直线 AA1的交点 1 证明 i EF A1D1 ii BA1 平面 B1C1EF 23 2 求 BC1与平面 B1C1EF 所成的角的正弦值 答案 解析 1 i 因为 平面 ADD1 A1 所以平面 ADD1 A1 1111 C BAD 11 C B 11 C B 又因为平面平面 ADD1 A1 所以 所以 11 BC EF EF 11 C BEF 11 ADEF ii 因为 所以 11111 BBABC D 111 BBBC 又因为 所以 111 BBB A 1111 BCABB A 在矩形中 F 是 AA 的中点 即 即 11 ABB A 111 2 tantan 2 AB FAAB 111 AB FAAB 故 11 BAB F 所以平面 1 BA 11 BC EF 2 设与交点为 H 连结 1 BA 1 B F 1 C H 由 1 知 所以是与平面所成的角 在矩形中 11 BC EF 1 BC H 1 BC 11 BC EF 11 ABB A 得 在直角中 得2AB 1 2AA 4 6 BH 1 BHCA 1 2 3BC 4 6 BH 所以 BC 与平面所成角的正弦值是 1 1 30 sin 15 BH BC H BC 11 BC EF 30 15 38 2012 高考陕西文 18 本小题满分 12 分 直三棱柱 ABC A1B1C1中 AB A A1 CAB 2 证明 11 BACB 已知 AB 2 BC 求三棱锥的体积5 11 CAAB 答案 24 39 2012 高考辽宁文 18 本小题满分 12 分 如图 直三棱柱 AA 1 点M N分别为 ABCA B C 90BAC 2 ABAC 和的中点 A B B C 证明 平面 MN A ACC 求三棱锥的体积 AMNC 椎体体积公式 V Sh 其中 S 为地面面积 h 为高 1 3 答案答案 25 解析解析 本题以三棱柱为载体主要考查空间中的线面平行的判定 棱锥体积的计算 考查空 间想象能力 推理论证能力 运算求解能力 难度适中 第一小题可以通过线线平行来证明 线面平行 也可通过面面平行来证明 第二小题求体积根据条件选择合适的底面是关键 也 可以采用割补发来球体积 40 2012 高考江苏 16 1414 分 分 如图 在直三棱柱中 分别 111 ABCABC 1111 ABAC DE 是棱上的点 点 不同于点 且为的中点 1 BCCC DCADDEF 11 BC 求证 1 平面平面