【步步高】2013-2014学年高中数学 3.2.4二面角及其度量同步训练 新人教B版选修2-1

1 3 2 43 2 4 二面角及其度量二面角及其度量 一 基础过关 1 一个二面角的两个面分别平行于另一个二面角的两个面 那么这两个二面角 A 相等 B 互补 C 相等或互补 D 不确定 2 若分别与一个二面角的两个面平行的向量m m 1 2 0 n n 1 0 2 且m m n n都 与二面角的棱垂直 则二面角的正弦值为 A B 1 5 24 5 C D 1 4 15 4 3 二面角 l 中 平面 的一个法向量n n1 平面 的一个法 3 2 1 2 2 向量n n2 则二面角 l 的大小为 0 1 2 2 A 120 B 150 C 30 或 150 D 60 或 120 4 在正方体AC1中 点E为BB1的中点 则平面A1ED与平面ABCD所成的 二面角的余弦值为 A B 1 2 2 3 C D 3 3 2 2 5 平面 的一个法向量n n1 1 0 1 平面 的一个法向量n n2 3 1 3 则 与 所成的角是 6 已知A P 平面 的一个法向量n n 则 PA 3 2 1 2 2 0 1 2 2 直线PA与平面 所成的角为 二 能力提升 7 在边长为 1 的菱形ABCD中 ABC 60 将菱形沿对角线AC折起 使折起后 BD 1 则二面角B AC D的余弦值为 A B C D 1 3 1 2 2 3 3 3 2 8 A B是二面角 l 的棱l上两点 P是平面 上一点 PB l于B PA与l成 45 角 PA与平面 成 30 角 则二面角 l 的大小是 A 30 B 60 C 45 D 75 2 3 9 如图 甲站在水库底面上的点A处 乙站在水坝斜面上的点B 处 从 A B到直线l 库底与水坝的交线 的距离AC和BD分别为a和 b CD的长为c AB的长为d 水库底与水坝所成二面角的余弦值为 10 如图 已知四棱锥P ABCD中 PA 底面ABCD 且ABCD为正 方形 PA AB a 点M是PC的中点 1 求BP与DM所成的角的大小 2 求二面角M DA C的大小 11 如图 四棱锥F ABCD的底面ABCD是菱形 其对角线AC 2 BD CF与平面ABCD垂直 CF 2 求二面角B AF D的大小 2 三 探究与拓展 12 如图 在四棱锥A BCDE中 底面BCDE为矩形 侧面ABC 底 面BCDE BC 2 CD AB AC 2 1 证明AD CE 2 设CE与平面ABE所成的角为 45 求二面角C AD E的余弦 值 4 答案答案 1 C 2 B 3 C 4 B 5 90 7 A 8 C 9 a2 b2 c2 d2 2ab 10 解 1 建系如图 由已知得A 0 0 0 B a 0 0 C a a 0 D 0 a 0 P 0 0 a M a 2 a 2 a 2 设直线BP与DM所成的角为 a 0 a BP DM a 2 a 2 a 2 0 BP DM BP与DM所成的角的大小为 90 2 0 0 a a 0 0 0 a 0 AP AB AD a 0 a BP 0 0 0 BP AD AP AB AP AD 又由 1 知 0 BP DM 是平面MDA的法向量 是平面ABCD的法向量 则 cos BP AP BP AP BP AP BP AP 2 2 所求的二面角M DA C的大小为 45 11 解 过点A作AE 平面ABCD 以A为坐标原点 方向分别为x轴 y轴 z轴的正方向建立空间直角坐标系 BD AC AE 如图 于是B 2 2 1 0 D F 0 2 2 2 2 1 0 5 设平面ABF的法向量n n1 x y z 则由Error 得Error 令z 1 得Error 所以n n1 1 1 2 同理 可求得平面ADF的法向量n n2 1 1 2 由n n1 n n2 0 知 平面ABF与平面ADF垂直 所以二面角B AF D的大小等于 2 12 1 证明 作AO BC 垂足为O 则AO 底面BCDE 且O为BC 的中点 以O为坐标原点 射线OC为x轴正方向 建立如图所示 的直角坐标系Oxyz 设A 0 0 t 由已知条件有C 1 0 0 D 1 0 E 1 0 22 2 0 1 t CE 2 AD 2 所以 0 得AD CE CE AD 2 解 作CF AB 垂足为F 连接FE 如图所示 设F x 0 z 则 x 1 0 z 0 0 CF BE 2 0 故CF BE CF BE 又AB BE B 所以CF 平面ABE 故 CEF是CE与平面ABE所成的角 CEF 45 由CE 得CF 63 又CB 2 所以 FBC 60 所以 ABC为等边三角形 因此A 0 0 3 作CG AD 垂足为G 连接GE 在 Rt ACD中 求得 AG AD 2 3 故G 2 3 2 2 3 3 3 GC 1 3 2 2 3