2015年高考数学全国卷2理试题及答案word

2015 年高考理科数学试卷全国卷年高考理科数学试卷全国卷 一 选择题 本大题共一 选择题 本大题共 12 道小题 每小题道小题 每小题 5 分分 1 已知集合 则 21 01 2A 1 20Bx xx AB A B C D 1 0A 0 1 1 0 1 0 1 2 2 若为实数且 则 a 2 2 4ai aii a A B C D 1 012 3 根据下面给出的 2004 年至 2013 年我国二氧化硫排放量 单位 万吨 柱形图 以 下结论不正确的是 A 逐年比较 2008 年减少二氧化硫排放量的效果最显著 B 2007 年我国治理二氧化硫排放显现 C 2006 年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势 D 2006 年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关 4 已知等比数列满足 a1 3 21 则 n a 135 aaa 357 aaa A 21 B 42 C 63 D 84 5 设函数 2 1 1 log 2 1 2 1 x x x f x x 2 2 log 12 ff A 3 B 6 C 9 D 12 6 一个正方体被一个平面截去一部分后 剩余部分的三视图如右图 则截去部分体积 与剩余部分体积的比值为 A B C D 8 1 7 1 6 1 5 1 7 过三点 的圆交 y 轴于 M N 两点 则 1 3 A 4 2 B 1 7 C MN A 2 B 8 C 4 D 1066 8 右边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著 九章算术 中的 更相减损术 执行该程序框图 若输入分别为 14 18 则输出的 a ba A 0 B 2 C 4 D 14 9 已知是球的球面上两点 为该球面上的动点 若三棱锥BA O 90 AOBC 体积的最大值为 36 则球的表面积为 ABCO O A B C D 36 64 144 256 10 如图 长方形的边 ABCD2AB 是的中点 点沿着边 1BC OABPBC 与运动 记 将动到 CDDABOPx PA 两点距离之和表示为的函数 则Bx f x 的图像大致为 yf x D C B A x y 4 2 3 4 2 2 3 4 2 4 y x x y 4 2 3 4 22 3 4 2 4 y x 11 已知 A B 为双曲线 E 的左 右顶点 点 M 在 E 上 ABM 为等腰三角形 且顶角 为 120 则 E 的离心率为 A B C D 5232 12 设函数是奇函数的导函数 当时 fx f x xR 1 0f 0 x 则使得成立的的取值范围是 0 xfxf x 0f x x A B 1 0 1 1 0 1 C D 1 1 0 0 1 1 二 填空题 本大题共二 填空题 本大题共 4 小题 每小题小题 每小题 5 分 共分 共 20 分分 13 设向量 不平行 向量与平行 则实数 a b ab 2ab 14 若 x y 满足约束条件 则的最大值为 10 20 220 xy xy xy zxy 15 的展开式中 x 的奇数次幂项的系数之和为 32 则 4 1 axx a 16 设是数列的前 n 项和 且 则 n S n a 1 1a 11nnn aS S n S 三 解答题 17 本题满分 12 分 中 是上的点 平分 面积ABC DBCADBAC ABD 是面积的 2 倍 ADC 求 sin sin B C 若 求和的长 1AD 2 2 DC BDAC 18 本题满分 12 分 某公司为了解用户对其产品的满意度 从 两地区分别随AB 机调查了 20 个用户 得到用户对产品的满意度评分如下 A 地区 62 73 81 92 95 85 74 64 53 76 78 86 95 66 97 78 88 82 76 89 B 地区 73 83 62 51 91 46 53 73 64 82 93 48 65 81 74 56 54 76 65 79 根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图 并通过茎叶图比较两地区 满意度评分的平均值及分散程度 不要求计算出具体值 得出结论即可 根据用户满意度评分 将用户的满意度从低到高分为三个等级 满意度评分低于 70 分70 分到 89 分不低于 90 分 满意度等级不满意满意非常满意 记时间 C A 地区用户的满意度等级高于 B 地区用户的满意度等级 假设两地区用 户的评价结果相互独立 根据所给数据 以事件发生的频率作为相应事件发生的概率 求 C 的概率 19 本题满分 12 分 如图 长方体中 1111 ABCDABC D 16AB 10BC 点 分别在 上 过点 的平面 1 8AA EF 11 AB 11 C D 11 4AED F EF 与此长方体的面相交 交线围成一个正方形 D D1C1 A1 E F AB C B1 在图中画出这个正方形 不必说出画法和理由 求直线与平面所成角的正弦值 AF 20 本题满分 12 分 已知椭圆 直线 不过原点且不平 222 9 0 Cxym m lO 行于坐标轴 与有两个交点 线段的中点为 lCABABM 证明 直线的斜率与 的斜率的乘积为定值 OMl 若 过点 延长线段与交于点 四边形能否为平行四l 3 m mOMCPOAPB 边形 若能 求此时 的斜率 若不能 说明理由 l 21 本题满分 12 分 设函数 2 emxf xxmx 证明 在单调递减 在单调递增 f x 0 0 若对于任意 都有 求的取值范围 12 1 1 x x 12 e 1f xf x m 22 本小题满分 10 分 选修 4 1 几何证明选讲 如图 为等腰三角形内一点 圆与的底边交于 两点与OABCOABC BCMN 底边上的高交于点 与 分别相切于 两点 ADGABACEF G A EF O ND BC M 证明 EFBC 若等于的半径 且 求四边形的面积 AGOA2 3AEMN EBCF 23 本小题满分 10 分 选修 4 4 坐标系与参数方程 在直角坐标系中 曲线 为参数 其中 xoy 1 cos sin xt C yt t0t 0 在以为极点 轴正半轴为极轴的极坐标系中 曲线 曲线Ox 2 2sinC 3 2 3cosC 求与交点的直角坐标 2 C 1 C 若与相交于点 与相交于点 求的最大值 2 C 1 CA 3 C 1 CBAB 24 本小题满分 10 分 选修 4 5 不等式选讲 设均为正数 且 证明 a b c dabcd 若 则 abcd abcd 是的充要条件 abcd abcd C B A D D1 C1 B1 A1 参考答案参考答案 1 A 解析 由已知得 故 故选 A 21Bxx 1 0AB 考点 集合的运算 2 B 解析 由已知得 所以 解得 故选 B 2 4 4 4aaii 2 40 44aa 0a 考点 复数的运算 3 D 解析 由柱形图得 从 2006 年以来 我国二氧化硫排放量呈下降趋势 故年排放量与年 份负相关 故选 D 考点 正 负相关 4 B 解析 设等比数列公比为 则 又因为 所以q 24 111 21aa qa q 1 3a 解得 所以 故选 B 42 60qq 2 2q 2 357135 42aaaaaa q 考点 等比数列通项公式和性质 5 C 解析 由已知得 又 所以 2 2 1 log 43f 2 log 121 故 故选 C 22 log 12 1log 6 2 log 12 226f 2 2 log 12 9ff 考点 分段函数 6 D 解析 由三视图得 在正方体 中 截去四面体 如 1111 ABCDABC D 111 AAB D 图所示 设正方体棱长为 则a 故剩余几何体体积为 1 11 33 111 326 A A B D Vaa 所以截去部分体积与剩余部分体 333 15 66 aaa 积的比值为 故选 D 5 1 考点 三视图 7 C 解析 由已知得 所以 所以 321 143 AB k 27 3 4 1 CB k 1 ABCB kk 即为直角三角形 其外接圆圆心为 半径为 所以外接圆方ABCB ABC 1 2 5 程为 令 得 所以 故选 C 22 1 2 25xy 0 x 2 62y 4 6MN 考点 圆的方程 8 B 解析 程序在执行过程中 的值依次为 ab14a 此时程序结束 输出的值18b 4b 10a 6a 2a 2b 2ab a 为 2 故选 B 考点 程序框图 9 C 解析 如图所示 当点 C 位于垂直于面的直径端点时 三棱锥的体积最AOBOABC 大 设球的半径为 此时 故 则OR 23 111 36 326 O ABCC AOB VVRRR 6R 球的表面积为 故选 C O 2 4144SR 考点 外接球表面积和椎体的体积 B O A C 10 B 解析 由已知得 当点在边上运动时 即时 PBC0 4 x 当点在边上运动时 即时 2 tan4tanPAPBxx PCD 3 442 xx 当时 当点 22 11 1 1 1 1 tantan PAPB xx 2 x 2 2PAPB 在边上运动时 即时 从点的运动PAD 3 4 x 2 tan4tanPAPBxx P 过程可以看出 轨迹关于直线对称 且 且轨迹非线型 故选 B 2 x 42 ff 考点 函数的图象和性质 11 D 解析 设双曲线方程为 22 22 1 0 0 xy ab ab 如图所示 过点ABBM 0 120ABM 作轴 垂足为 在中 MMNx NRt BMN 故点的坐标为BNa 3MNa M 代入双曲线方程得 即 所以 故选 2 3 Maa 2222 abac 22 2ca 2e D 考点 双曲线的标准方程和简单几何性质 12 A 解析 记函数 则 因为当时 f x g x x 2 xfxf x g x x 0 x 故当时 所以在单调递减 又因为函 0 xfxf x 0 x 0g x g x 0 数是奇函数 故函数是偶函数 所以在单调递减 且 f x xR g x g x 0 当时 则 当时 则 1 1 0gg 01x 0g x 0f x 1x 0g x 综上所述 使得成立的的取值范围是 故选 A 0f x 0f x x 1 0 1 考点 导数的应用 函数的图象与性质 13 1 2 解析 因为向量与平行 所以 则所以ab 2ab 2abk ab 12 k k 1 2 考点 向量共线 14 3 2 解析 画出可行域 如图所示 将目标函数 变形为 当取到最大时 直线yxz z 的纵截距最大 故将直线尽可能地yxz 向上平移到 则的最大值为 1 1 2 Dzxy 3 2 考点 线性规划 15 3 解析 试题分析 由已知得 故的展开式中 x 的 4234 1 1464xxxxx 4 1 axx x y 1 2 3 41234 1 2 3 4 1 2 3 4 D C B O 奇数次幂项分别为 其系数之和为 解4ax 3 4axx 3 6x 5 x441 6 1 32aa 得 3a 考点 二项式定理 16 1 n 解析 由已知得 两边同时除以 得 111nnnnn aSSSS 1nn SS 1 11 1 nn SS 故数列是以为首项 为公差的等差数列 则 所以 1 n S 1 1 1 1 1 n S nn 1 n S n 考点 等差数列和递推关系 17 解析 因为 1 sin 2 ABD SAB ADBAD 1 sin 2 ADC SAC ADCAD 所以 由正弦定理可得2 ABDADC SS BADCAD 2ABAC sin1 sin2 BAC CAB 因为 所以 在和中 由余弦定 ABDADC SSBD DC 2BD ABD ADC 理得 222 2cosABADBDAD BDADB 222 2cosACADDCAD DCADC 由 知 所以 22222 2326ABACADBDDC 2ABAC 1AC 18 解析 两地区用户满意度评分的茎叶图如下 通过茎叶图可以看出 A 地区用户满意度评分的平均值高于 B 地区用户满意度评分的平均 值 A 地区用户满意度评分比较集中 B 地区用户满意度评分比较分散 记表示事件 A 地区用户满意度等级为满意或非常满意 1A C 表示事件 A 地区用户满意度等级为非常满意 2A C 表示事件 B 地区用户满意度等级为不满意 1B C 表示事件 B 地区用户满意度等级为满意 2B C 则与独立 与独立 与互斥 1A C 1B C 2A C 2B C 1B C 2B C 1122BABA CC CC C 1122 BABA P CP C CC C 1122 BABA P C CP C C 1122 BABA P CP CP CP C 由所给数据得 发生的概 1A C 2A C 1B C 2B C 率分别为 故 16 20 4 20 10 20 8 20 1 A P C 16 20 2 A P C 4 20 1 B P C 10 20 2 B P C 8 20 故 101684 0 48 20202020 P C 19 解析 交线围成的正方形如EHGF 图 作 垂足为 则 因为为EMAB M 1 4AMAE 1 8EMAA EHGF 正方形 所以 于是 所以 以10EHEFBC 22 6MHEHEM 10AH 为坐标原点 的方向为轴的正方向 建立如图所示的空间直角坐标系 DDA xDxyz 则 10 0 0 A 设 10 10 0 H 10 4 8 E 0 4 8 F 10 0 0 FE 0 6 8 HE 是平面的法向量 则即所以可取 nx y z EHGF 0 0 n FE n HE 100 680 x yz 又 故 所以直线 0 4 3 n 10 4 8 AF 4 5 cos 15 n AF n AF nAF A1 A B1 B D1 D C1 C F E H G M 与平面所成角的正弦值为 AF 4 5 15 20 解析 设直线 l ykxb 0 0 kb 11 A x y 22 B xy MM M xy 将代入得 故ykxb 222 9xym 2222 9 20kxkbxbm 12 2 29 M xxkb x k 于是直线的斜率 即 所以 2 9 9 MM b ykxb k OM 9 M OM M y k xk 9 OM kk 直线的斜率与 的斜率的乘积为定值 OMl 四边形能为平行四边形 OAPB 因为直线 过点 所以 不过原点且与有两个交点的充要条件是 l 3 m mlC0k 3k 由 得的方程为 设点的横坐标为 由得OM 9 yx k P P x 222 9 9 yx k xym 即 将点的坐标代入直线 的方程得 22 2 2 981 P k m x k 2 39 P km x k 3 m ml 因此 四边形为平行四边形当且仅当线段与线 3 3 mk b 2 3 3 9 M mk k x k OAPBAB 段互相平分 即 于是OP2 PM xx 2 39 km k 解得 因为 所以当 2 3 2 3 9 mk k k 1 47k 2 47k 0 3 ii kk 1i 2 的斜率为或时 四边形为平行四边形 l47 47 OAPB 21 解析 e1 2 mx fxmx 若 则当时 当时 0m 0 x e10 mx 0fx 0 x e10 mx 0fx 若 则当时 当时 0m 0 x e10 mx 0fx 0 x e10 mx 0fx 所以 在单调递减 在单调递增 f x 0 0 由 知 对任意的 在单调递减 在单调递增 故m f x 1 0 0 1 在处取得最小值 所以对于任意 的充要 f x0 x 12 1 1 x x 12 e 1f xf x 条件是 即 设函数 则 1 0 e 1 1 0 e 1 ff ff ee 1 ee 1 m m m m ee 1 t g tt 当时 当时 故在单调递 e1 t g t 0t 0g t 0t 0g t g t 0 减 在单调递增 又 故当时 0 1 0g 1 1 e2e0g 1 1 t 当时 即 式成立 当时 由 0g t 1 1 m 0g m 0gm 1m 的单调性 即 当时 即 g t 0g m ee 1 m m 1m 0gm 综上 的取值范围是 ee 1 m m m 1 1 22 解析 由