【步步高】2014届高三数学一轮 9.4 直线与圆、圆与圆的位置关系导学案 理 北师大版

1 学案学案 5050 直线 圆的位置关系直线 圆的位置关系 导学目标导学目标 1 能根据给定直线 圆的方程 判断直线与圆 圆与圆的位置关系 2 能 用直线和圆的方程解决一些简单的问题 3 在学习过程中 体会用代数方法处理几何问题的 思想 自主梳理 1 直线与圆的位置关系 位置关系有三种 判断直线与圆的位置关系常见的有两种方法 1 代数法 利用判别式 即直线方程与圆的方程联立方程组消去x或y整理成一 元二次方程后 计算判别式 2 几何法 利用圆心到直线的距离d和圆半径r的大小关系 dr 2 圆的切线方程 若圆的方程为x2 y2 r2 点P x0 y0 在圆上 则过P点且与圆x2 y2 r2相切的切 线方程为 注 点P必须在圆x2 y2 r2上 经过圆 x a 2 y b 2 r2上点P x0 y0 的切线方程为 3 计算直线被圆截得的弦长的常用方法 1 几何方法 运用弦心距 即圆心到直线的距离 弦长的一半及半径构成直角三角形计算 2 代数方法 运用韦达定理及弦长公式 AB xA xB 1 k2 1 k2 xA xB 2 4xAxB 说明 圆的弦长 弦心距的计算常用几何方法 4 圆与圆的位置关系 1 圆与圆的位置关系可分为五种 判断圆与圆的位置关系常用方法 几何法 设两圆圆心分别为O1 O2 半径为r1 r2 r1 r2 则 O1O2 r1 r2 O1O2 r1 r2 r1 r2 O1O2 r1 r2 O1O2 r1 r2 0 O1O2 0 的公共弦的长为 2 则 3 a 7 2011 三明模拟 已知点A是圆C x2 y2 ax 4y 5 0 上任意一点 A点关于 直线x 2y 1 0 的对称点也在圆C上 则实数a 8 2011 杭州高三调研 设直线 3x 4y 5 0 与圆C1 x2 y2 4 交于A B两点 若圆C2的圆心在线段AB上 且圆C2与圆C1相切 切点在圆C1的劣弧上 则圆C2的 A AB 半径的最大值是 三 解答题 共 38 分 9 12 分 圆x2 y2 8 内一点P 1 2 过点P的直线l的倾斜角为 直线l交 圆于A B两点 1 当 时 求AB的长 3 4 2 当弦AB被点P平分时 求直线l的方程 6 10 12 分 2011 湛江模拟 自点A 3 3 发出的光线l射到x轴上 被x轴反射 其反射光线所在直线与圆x2 y2 4x 4y 7 0 相切 求光线l所在直线的方程 11 14 分 已知两圆x2 y2 2x 6y 1 0 和x2 y2 10 x 12y m 0 求 1 m取何值时两圆外切 2 m取何值时两圆内切 3 m 45 时两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长 学案学案 5050 直线 圆的位置关系直线 圆的位置关系 自主梳理 1 相切 相交 相离 1 相交 相切 相离 2 相交 相切 相离 2 x0 x y0y r2 x0 a x a y0 b y b r2 4 1 相离 外切 相交 内切 内 含 相离 外切 相交 内切 内含 2 x2 y2 D1x E1y F1 x2 y2 D2x E2y F2 0 自我检测 1 A 2 D 3 B 4 B 5 B 课堂活动区 例 1 解题导引 1 过点 P 作圆的切线有三种类型 当 P 在圆外时 有 2 条切线 当 P 在圆上时 有 1 条切线 当 P 在圆内时 不存在 2 利用待定系数法设圆的切线方程时 一定要注意直线方程的存在性 有时要进行恰 当分类 3 切线长的求法 过圆 C 外一点 P 作圆 C 的切线 切点为 M 半径为 R 则 PM PC 2 R2 解 1 将圆 C 配方得 x 1 2 y 2 2 2 当直线在两坐标轴上的截距为零时 设直线方程为 y kx 由 解得 k 2 得 y 2 x k 2 1 k2266 当直线在两坐标轴上的截距不为零时 设直线方程为 x y a 0 由 1 2 a 22 7 得 a 1 2 即 a 1 或 a 3 直线方程为 x y 1 0 或 x y 3 0 综上 圆的切线方程为 y 2 x 或 y 2 x 66 或 x y 1 0 或 x y 3 0 2 由 PO PM 得 x y x1 1 2 y1 2 2 2 2 12 1 整理得 2x1 4y1 3 0 即点 P 在直线 l 2x 4y 3 0 上 当 PM 取最小值时 即 OP 取得最小值 直线 OP l 直线 OP 的方程为 2x y 0 解方程组Error 得点 P 的坐标为 3 10 3 5 变式迁移 1 解 设圆切线方程为 y 3 k x 2 即 kx y 3 2k 0 1 k 2 2k k2 1 k 另一条斜率不存在 方程为 x 2 3 4 切线方程为 x 2 和 3x 4y 6 0 圆心 C 为 1 1 kPC 2 3 1 2 1 过两切点的直线斜率为 又 x 2 与圆交于 2 1 1 2 过切点的直线为 x 2y 4 0 例 2 解题导引 1 有关圆的弦长的求法 已知直线的斜率为 k 直线与圆 C 相交于 A x1 y1 B x2 y2 两点 点 C 到 l 的距离 为 d 圆的半径为 r 方法一 代数法 弦长 AB x2 x1 1 k2 1 k2 x1 x2 2 4x1x2 方法二 几何法 弦长 AB 2 r2 d2 2 有关弦的中点问题 圆心与弦的中点连线和已知直线垂直 利用这条性质可确定某些等量关系 解 1 方法一 如图所示 AB 4 取 AB 的中点 D 连接 CD 则 CD AB 连接 AC BC 3 则 AD 2 AC 4 3 在Rt ACD 中 可得 CD 2 当直线 l 的斜率存在时 设所求直线的斜率为 k 则直线的方程为 y 5 kx 即 kx y 5 0 由点 C 到直线 AB 的距离公式 得 2 2k 6 5 k2 1 2 解得 k 3 4 当 k 时 直线 l 的方程为 3x 4y 20 0 3 4 又直线 l 的斜率不存在时 也满足题意 此时方程为 x 0 所求直线的方程为 3x 4y 20 0 或 x 0 8 方法二 当直线 l 的斜率存在时 设所求直线的斜率为 k 则直线的方程为 y 5 kx 即 y kx 5 联立直线与圆的方程Error 消去 y 得 1 k2 x2 4 2k x 11 0 设方程 的两根为 x1 x2 由根与系数的关系 得Error 由弦长公式 得 x1 x2 1 k2 4 1 k2 x1 x2 2 4x1x2 3 将 式代入 解得 k 3 4 此时直线方程为 3x 4y 20 0 又 k 不存在时也满足题意 此时直线方程为 x 0 所求直线的方程为 x 0 或 3x 4y 20 0 2 设过 P 点的圆 C 的弦的中点为 D x y 则 CD PD 即 0 CD PD x 2 y 6 x y 5 0 化简得所求轨迹方程为 x2 y2 2x 11y 30 0 变式迁移 2 1 证明 由 kx y 4k 3 0 得 x 4 k y 3 0 直线 kx y 4k 3 0 过定点 P 4 3 由 x2 y2 6x 8y 21 0 即 x 3 2 y 4 2 4 又 4 3 2 3 4 2 2 4 直线和圆总有两个不同的交点 2 解 kPC 1 3 4 4 3 可以证明与 PC 垂直的直线被圆所截得的弦 AB 最短 因此过 P 点斜率为 1 的直线即为 所求 其方程为 y 3 x 4 即 x y 1 0 PC 3 4 1 22 AB 2 2 AC 2 PC 22 例 3 解题导引 圆和圆的位置关系 从交点个数也就是方程组解的个数来判断 有 时得不到确切的结论 通常还是从圆心距 d 与两圆半径和 差的关系入手 解 对于圆 C1与圆 C2的方程 经配方后 C1 x m 2 y 2 2 9 C2 x 1 2 y m 2 4 1 如果 C1与 C2外切 则有 3 2 m 1 2 2 m 2 m 1 2 m 2 2 25 m2 3m 10 0 解得 m 5 或 m 2 2 如果 C1与 C2内含 则有 3 2 m 1 2 m 2 2 m 1 2 m 2 2 1 m2 3m 2 0 得 2 m 1 当 m 5 或 m 2 时 圆 C1与圆 C2外切 当 2 m0 b2 6b 9 0 解得 3 3 b0 即直线 AB 的方程为 x y 4 0 或 x y 1 0 变式迁移 4 解 1 方法一 直线 l 过点 A 0 1 且斜率为 k 直线 l 的方程为 y kx 1 将其代入圆 C x 2 2 y 3 2 1 得 1 k2 x2 4 1 k x 7 0 由题意 4 1 k 2 4 1 k2 7 0 得 k 4 7 3 4 7 3 方法二 同方法一得直线方程为 y kx 1 即 kx y 1 0 又圆心到直线距离 d 2k 3 1 k2 1 2k 2 k2 1 d 1 解得 k 2k 2 k2 1 4 7 3 4 7 3 2 设 M x1 y1 N x2 y2 则由 得Error x1x2 y1y2 1 k2 x1x2 k x1 x2 1 OM ON 10 8 12 k 1 经检验符合题意 k 1 4k 1 k 1 k2 课后练习区 1 C 2 C 3 D 4 A 5 D 6 1 7 10 8 1 9 解 1 当 时 kAB 1 3 4 直线 AB 的方程为 y 2 x 1 即 x y 1 0 3 分 故圆心 0 0 到 AB 的距离 d 0 0 1 2 2 2 从而弦长 AB 2 6 分 8 1 230 2 设 A x1 y1 B x2 y2 则 x1 x2 2 y1 y2 4 由Error 两式相减得 x1 x2 x1 x2 y1 y2 y1 y2 0 即 2 x1 x2 4 y1 y2 0 kAB 10 分 y1 y2 x1 x2 1 2 直线 l 的方程为 y 2 x 1 1 2 即 x 2y 5 0 12 分 10 解 已知圆 C x2 y2 4x 4y 7 0 关于 x 轴对称的圆为 C1 x 2 2 y 2 2 1 其圆心 C1的坐标为 2 2 半径为 1 由光的反射定律知 入射光线所在直线方 程与圆 C1相切 4 分 设 l 的方程为 y 3 k x 3 则 1 8 分 5k 2 3 12 k2 即 12k2 25k 12 0 k1 k2 4 3 3 4 则 l 的方程为 4x 3y 3 0 或 3x 4y 3 0 12 分 11 解 两圆的标准方程分别为 x 1 2 y 3 2 11 x 5 2 y 6 2 61 m 圆心分别为 M 1 3 N 5 6 半径分别为和 1161 m 1 当两