四川省射洪县射洪中学高二数学《2.5直线与圆锥曲线》教学过程一

用心 爱心 专心 1 四川省射洪县射洪中学高二数学四川省射洪县射洪中学高二数学 2 5 2 5 直线与圆锥曲线直线与圆锥曲线 教学过程一教学过程一 一 基本知识概要 一 基本知识概要 1 直线与圆锥曲线的位置关系 相交 相切 相离 从代数的角度看是直线方程和圆锥曲线的方程组成的方程组 无解时必相离 有两组解 必相交 一组解时 若化为 x 或 y 的方程二次项系数非零 判别式 0 时必相切 若二次项 系数为零 有一组解仍是相交 2 弦 直线被圆锥曲线截得的线段称为圆锥曲线的弦 焦点弦 若弦过圆锥曲线的焦点叫焦点弦 通径 若焦点弦垂直于焦点所在的圆锥曲线的对称轴 此时焦点弦也叫通径 3 当直线的斜率存在时 弦长公式 或当存在且不为零时 21 2 1xxkl 21 2 21 2 4 1 xxxxk k 其中 是交点坐标 21 2 1 1yy k l 11 y x 22 y x 抛物线的焦点弦长公式 AB 其中 为过焦点的直线pxy2 2 2 21 sin 2p pxx 的倾斜角 4 重点难点 直线与圆锥曲线相交 相切条件下某些关系的确立及其一些字母范围的确定 5 思维方式 方程思想 数形结合的思想 设而不求与整体代入的技巧 6 特别注意 直线与圆锥曲线当只有一个交点时要除去两种情况 些直线才是曲线的切线 一是直线与抛物线的对称轴平行 二是直线与双曲线的渐近线平行 二 例题 例题 例 1 直线 y x 3 与曲线 1 4 9 2 xxy A 没有交点 B 只有一个交点 C 有两个交点 D 有三个交点 解 当 x 0 时 双曲线的渐近线为 而直线 y x 3 的斜率为1 49 22 xy xy 2 3 1 101 49 22 xy 因此直线与椭圆左半部分有一交点 共计 3 个交点 选 D 思维点拔 注意先确定曲线再判断 例 2 已知直线交椭圆于 A B 两点 若为 的倾斜角 22tan xyl99 22 yx l 且的长不小于短轴的长 求的取值范围 AB 解 将 的方程与椭圆方程联立 消去 得ly 09tan72tan236 tan91 2222 xx 用心 爱心 专心 2 2 2 2 2 12 2 tan91 6tan6 tan91 tan1tan1 xxAB 由 3 3 tan 3 3 3 1 tan 2 2 得AB 的取值范围是 6 5 6 0 思维点拔 对于弦长公式一定要能熟练掌握 灵活运用民 本题由于 的方程由给出 l tan 所以可以认定 否则涉及弦长计算时 还要讨论时的情况 2 2 例 3 已知抛物线与直线相交于 A B 两点xy 2 1 xky 1 求证 OBOA 2 当的面积等于时 求的值 OAB 10k 1 证明 图见教材 P127 页 由方程组消去后 整理得 1 2 xky xy x0 2 kyky 设 由韦达定理得 在抛物线上 2211 yxByxA1 21 yyBA xy 2 21 2 2 2 12 2 21 2 1 xxyyxyxy OBOA yyxx yy x y x y kk OBOA 1 1 2121 21 2 2 1 1 2 解 设直线与轴交于 N 又显然令x 0k 即则01N1 0 xy 2121 2 1 2 1 2 1 yyONyONyONSSS OBNOANOAB 4 1 2 1 4 1 2 1 2 21 2 21 k yyyyS OAB 6 1 4 1 2 1 10 10 2 k k S OAB 解得 思维点拔 本题考查了两直线垂直的充要条件 三角形的面积公式 函数与方程的思想 以 及分析问题 解决问题的能力 例 4 在抛物线 y2 4x 上恒有两点关于直线 y kx 3 对称 求 k 的取值范围 解 设 B C 关于直线 y kx 3 对称 直线 BC 方程为 x ky m 代入 y2 4x 得 y2 4ky 4m 0 设 B x1 y1 C x2 y2 BC 中点 M x0 y0 则 y0 y1 y2 2 2k x0 2k2 m 用心 爱心 专心 3 点 M x0 y0 在直线上 2k 2k2 m 3 m 又 BC 与抛物线交于不同 k kk322 3 两点 16k2 16m 0 把 m 代入化简得即 0 32 3 k kk 0 3 1 2 k kkk 解得 1 k0l 即 m2 k2 9 0 设 M x1 y1 N x2 y2 2 1 9 2 2 21 k kmxx k k m 2 9 2 把 代入 可解得 33 kk或 用心 爱心 专心 4 直线倾斜角l 3 2 22 3 思维点拔 倾斜角的范围 实际上是求斜率的范围 三 课堂小结 1 解决直线与圆锥曲线的位置关系问题时 对消元后的一元二次方程 必须讨论二次项的 系数和判别式 有时借助于图形的几何性质更为方便 2 2 涉及弦的中点问题 除利用韦达定理外 也可以运用点差法 但必须是有交点为前提 否则不宜用此法 3 求圆锥曲线的弦长 可利用弦长公式 或当存在且不为零时 21 2 1xxkl 21 2 21 2 4 1 xxxx