2013年陕西高考理科数学试题及答案详解

2013 陕西理科数学 第 1 页 20132013 年普通高等学校招生全国统一考试年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 必修理科数学 必修 选修选修 陕西卷陕西卷 第一部分 共 50 分 一 选择题 在每小题给出的四个选项中 只有一项符合题目要求 本大题共 10 小题 每小题 5 分 共 50 分 1 2013 陕西 理 1 设全集为 R R 函数f x 的定义域为M 则 R RM为 2 1x A 1 1 B 1 1 C 1 1 D 1 1 1 1 2 2013 陕西 理 2 根据下列算法语句 当输入x为 60 时 输出y 的值为 A 25 B 30 C 31 D 61 3 2013 陕西 理 3 设a a b b为向量 则 a ba b a a b b 是 a a b b 的 A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充分必要条件 D 既不充分也不必要条件 4 2013 陕西 理 4 某单位有 840 名职工 现采用系统抽样方法抽取 42 人做问卷调查 将 840 人按 1 2 840 随机编号 则抽取的 42 人中 编号落入区间 481 720 的人数为 A 11 B 12 C 13 D 14 5 2013 陕西 理 5 如图 在矩形区域ABCD的A C两点处各有一个通信基站 假设其信号的覆盖范围 分别是扇形区域ADE和扇形区域CBF 该矩形区域内无其他信号来源 基站工作正常 若在该矩形区域内 随机地选一地点 则该地点无信号的概率是 A B 1 4 1 2 C D 2 2 4 6 2013 陕西 理 6 设z1 z2是复数 则下列命题中的假命题是 A 若 z1 z2 0 则 B 若 则 12 zz 12 zz 12 zz C 若 z1 z2 则 D 若 z1 z2 则 z12 z22 1122 zzzz 7 2013 陕西 理 7 设 ABC的内角A B C所对的边分别为a b c 若bcos C ccos B asin A 则 ABC的形状为 A 锐角三角形 B 直角三角形 C 钝角三角形 D 不确定 8 2013 陕西 理 8 设函数f x 则当x 0 时 f f x 表达式的展开式中常数项为 6 1 0 0 xx x x x A 20 B 20 C 15 D 15 9 2013 陕西 理 9 在如图所示的锐角三角形空地中 欲建一个面积不小于 300 m2的内接矩形花园 阴影部分 则其边长x 单位 m 的取值范围是 2013 陕西理科数学 第 2 页 A 15 20 B 12 25 C 10 30 D 20 30 10 2013 陕西 理 10 设 x 表示不大于x的最大整数 则对任意实数x y 有 A x x B 2x 2 x C x y x y D x y x y 第二部分第二部分 共共 100100 分分 二 填空题 把答案填写在答题卡相应题号后的横线上 本大题共 5 小题 每小题 5 分 共 25 分 11 2013 陕西 理 11 双曲线的离心率为 则m等于 22 1 16 xy m 5 4 12 2013 陕西 理 12 某几何体的三视图如图所示 则其体积为 13 2013 陕西 理 13 若点 x y 位于曲线y x 1 与y 2 所围成的封闭区域 则 2x y的最小 值为 14 2013 陕西 理 14 观察下列等式 12 1 12 22 3 12 22 32 6 12 22 32 42 10 照此规律 第n个等式可为 15 2013 陕西 理 15 考生注意 请在下列三题中任选一题作答 如果多做 则按所做的第一题 评分 A 不等式选做题 已知a b m n均为正数 且a b 1 mn 2 则 am bn bm an 的最小值 为 B 几何证明选做题 如图 弦AB与CD相交于O内一点E A 过E作BC的平行线与AD的延长线交于点P 已知PD 2DA 2 则 PE C 坐标系与参数方程选做题 如图 以过原点的直线的倾斜角 为参数 则 圆x2 y2 x 0 的参数方程为 2013 陕西理科数学 第 3 页 三 解答题 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 本大题共 6 小题 共 75 分 16 2013 陕西 理 16 本小题满分 12 分 已知向量a a b b sin x cos 2x x R R 1 cos 2 x 3 设函数f x a ba b 1 求f x 的最小正周期 2 求f x 在上的最大值和最小值 0 2 17 2013 陕西 理 17 本小题满分 12 分 设 an 是公比为q的等比数列 1 推导 an 的前n项和公式 2 设q 1 证明数列 an 1 不是等比数列 2013 陕西理科数学 第 4 页 18 2013 陕西 理 18 本小题满分 12 分 如图 四棱柱ABCD A1B1C1D1的底面ABCD是正方形 O为底 面中心 A1O 平面ABCD AB AA1 2 1 证明 A1C 平面BB1D1D 2 求平面OCB1与平面BB1D1D的夹角 的大小 2013 陕西理科数学 第 5 页 19 2013 陕西 理 19 本小题满分 12 分 在一场娱乐晚会上 有 5 位民间歌手 1 至 5 号 登台演唱 由 现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手 各位观众须彼此独立地在选票上选 3 名歌手 其中观众甲是 1 号歌手的歌迷 他必选 1 号 不选 2 号 另在 3 至 5 号中随机选 2 名 观众乙和丙对 5 位歌手的演唱没 有偏爱 因此在 1 至 5 号中随机选 3 名歌手 1 求观众甲选中 3 号歌手且观众乙未选中 3 号歌手的概率 2 X表示 3 号歌手得到观众甲 乙 丙的票数之和 求X的分布列及数学期望 2013 陕西理科数学 第 6 页 20 2013 陕西 理 20 本小题满分 13 分 已知动圆过定点A 4 0 且在y轴上截得弦MN的长为 8 1 求动圆圆心的轨迹C的方程 2 已知点B 1 0 设不垂直于x轴的直线l与轨迹C交于不同的两点P Q 若x轴是 PBQ的角平分 线 证明直线l过定点 2013 陕西理科数学 第 7 页 21 2013 陕西 理 21 本小题满分 14 分 已知函数f x ex x R R 1 若直线y kx 1 与f x 的反函数的图像相切 求实数k的值 2 设x 0 讨论曲线y f x 与曲线y mx2 m 0 公共点的个数 3 设a b 比较与的大小 并说明理由 2 f af b f bf a ba 2013 陕西理科数学 第 8 页 20132013 年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学 理科 年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学 理科 陕西卷陕西卷 第一部分 共 50 分 一 选择题 在每小题给出的四个选项中 只有一项符合题目要求 本大题共 10 小题 每小题 5 分 共 50 分 1 答案 答案 D 解析 解析 要使函数f x 有意义 则 1 x2 0 解得 1 x 1 则M 1 1 2 1x R RM 1 1 2 答案 答案 C 解析 解析 由算法语句可知 0 5 50 250 650 50 x x y xx 所以当x 60 时 y 25 0 6 60 50 25 6 31 3 答案 答案 C 解析 解析 若a a与b b中有一个为零向量 则 a a b b a a b b 是 a a b b 的充分必要条件 若a a与b b都不 为零向量 设a a与b b的夹角为 则a a b b a a b b cos 由 a a b b a a b b 得 cos 1 则两向 量的夹角为 0 或 所以a a b b 若a a b b 则a a与b b同向或反向 故两向量的夹角为 0 或 则 cos 1 所以 a a b b a a b b 故 a a b b a a b b 是 a a b b 的充分必要条件 4 答案 答案 B 解析 解析 840 42 20 把 1 2 840 分成 42 段 不妨设第 1 段抽取的号码为l 则第k段抽取的号码 为l k 1 20 1 l 20 1 k 42 令 481 l k 1 20 720 得 25 k 37 由 1 20 l 20 l 1 l 20 则 25 k 36 满足条件的k共有 12 个 5 答案 答案 A 解析 解析 S矩形ABCD 1 2 2 S扇形ADE S扇形CBF 由几何概型可知该地点无信号的概率为 4 P 2 2 1 24 FABCDADECB ABCD SSS S 矩形扇形扇形 矩形 6 答案 答案 D 解析 解析 对于选项 A 若 z1 z2 0 则z1 z2 故 正确 对于选项 B 若 则 12 zz 12 zz 正确 对于选项 C z1 z1 2 z2 2 z2 2 若 z1 z2 则 正 122 zzz 1 z z 1122 zzzz 确 对于选项 D 如令z1 i 1 z2 1 i 满足 z1 z2 而z12 2i z22 2i 故不正确 7 答案 答案 B 解析 解析 bcos C ccos B asin A 由正弦定理得 sin Bcos C sin Ccos B sin2A sin B C sin2A 即 sin A sin2A 又 sin A 0 sin A 1 故 ABC为直角三角形 2 A 8 答案 答案 A 解析 解析 当x 0 时 f x 0 则x 2013 陕西理科数学 第 9 页 f f x 66 11 xx xx 令 3 r 0 得r 3 此时T4 1 3 6 63 22 1666 1 C 1 C 1 C r rr rrrrrrr r Txxxx x 20 3 6 C 9 答案 答案 C 解析 解析 设矩形另一边长为y 如图所示 则 40 4040 xy x 40 y y 40 x 由xy 300 即x 40 x 300 解得 10 x 30 故选 C 10 答案 答案 D 解析 解析 对于选项 A 取x 1 1 则 x 1 1 1 而 x 1 1 2 2 故不正确 对于选项 B 令x 1 5 则 2x 3 3 2 x 2 1 5 2 故不正确 对于选项 C 令 x 1 5 y 2 5 则 x y 4 4 x 2 y 3 x y 5 故不正确 对于 选项 D 由题意可设x x 1 0 1 1 y y 2 0 2 1 则x y x y 1 2 由 0 1 1 1 2 0 可得 1 1 2 1 若 0 1 2 1 则 x y x y 1 2 x y 若 1 1 2 0 则 0 1 1 2 1 x y x y 1 2 x y 1 1 1 2 x y 1 x y 故选项 D 正确 第二部分 共 100 分 二 填空题 把答案填写在答题卡相应题号后的横线上二 填空题 把答案填写在答题卡相应题号后的横线上 本大题共本大题共 5 5 小题 每小题小题 每小题 5 5 分 共分 共 2525 分分 11 答案 答案 9 解析 解析 由双曲线方程知a 4 又 解得c 5 故 16 m 25 m 9 5 4 c e a 12 答案 答案 3 解析 解析 由三视图可知该几何体是如图所示的半个圆锥 底面半圆的半径r 1 高SO 2 则V几何体 1 2 3 23 13 答案 答案 4 解析 解析 由y x 1 及y 2 画出可行域如图阴影 1 1 1 1 xx xx 部分所示 令 2x y z 则y 2x z 画直线l0 y 2x并平移到过点 A 1 2 的直线l 此时 z最大 即z最小 2 1 2 4 14 答案 答案 12 22 32 42 1 n 1n2 1 n 1 1 2 n n 解析 解析 第n个等式的左边第n项应是 1 n 1n2 右边数的绝对值 为 1 2 3 n 故有 12 22 32 42 1 n 1n2 1 n 1 1 2 n n 1 2 n n 15 2013 陕西 理 15 考生注意 请在下列三题中任选一题作答 如果多做 则按所做的第一题评分 2013 陕西理科数学 第 10 页 A 答案 答案 2 解析 解析 am bn bm an abm2 a2 b2 mn abn2 ab m2 n2 2 a2 b2 2abmn 2 a2 b2 4ab 2 a2 b2 2 a2 2ab b2 2 a b 2 2 当且仅当m n 时等号成立 2 B 答案 答案 6 解析 解析 C与 A在同一个O中 所对的弧都是 则 C A 又A A BD PE BC C PED A PED 又 P P PED PAE 则 PEPD PAPE PE2 PA PD 又PD 2DA 2 PA PD DA 3 PE2 3 2 6 PE 6 C 答案 答案 为参数 2 cos sin cos x y 解析 解析 由三角函数定义知 tan x 0 y xtan 由x2 y2 x 0 得 y x x2 x2tan2 x 0 x cos2 则y xtan cos2 tan sin cos 又 2 1 1tan 时 x 0 y 0 也适合题意 故参数方程为 为参数 2 2 cos sin cos x y 三 解答题 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 本大题共 6 小题 共 75 分 16 解 解 f x sin x cos 2x 1 cos 2 x 3 cos xsin x cos 2x3 1 2 sin 2x cos 2x 3 2 1 2 cossin 2sincos 2 66 xx sin 2 6 x 1 f x 的最小正周期为 2 2 2 T 即函数f x 的最小正周期为 2 0 x 2 由正弦函数的性质 5 2 666 x 当 即时 f x 取得最大值 1 2 62 x 3 x 当 即x 0 时 f 0 2 66 x 1 2 当 即时 5 2 66 x 2 x 1 22 f f x 的最小值为 1 2 2013 陕西理科数学 第 11 页 因此 f x 在上最大值是 1 最小值是 0 2 1 2 17 1 解 解 设 an 的前n项和为Sn 当q 1 时 Sn a1 a1 a1 na1 当q 1 时 Sn a1 a1q a1q2 a1qn 1 qSn a1q a1q2 a1qn 得 1 q Sn a1 a1qn 1 1 1 n n aq S q 1 1 1 1 1 1 n n na q S aq q q 2 证明 假设 an 1 是等比数列 则对任意的k N N ak 1 1 2 ak 1 ak 2 1 2ak 1 1 akak 2 ak ak 2 1 2 1k a a12q2k 2a1qk a1qk 1 a1qk 1 a1qk 1 a1qk 1 a1 0 2qk qk 1 qk 1 q 0 q2 2q 1 0 q 1 这与已知矛盾 假设不成立 故 an 1 不是等比数列 18 1 证法一 由题设易知OA OB OA1两两垂直 以O为原点建立直角坐标系 如图 AB AA1 2 OA OB OA1 1 A 1 0 0 B 0 1 0 C 1 0 0 D 0 1 0 A1 0 0 1 由 易得B1 1 1 1 11 AB AB 1 0 1 0 2 0 1 AC BD 1 0 1 1 BB 0 0 1 AC BD 1 AC 1 BB A1C BD A1C BB1 A1C 平面BB1D1D 证法二 A1O 平面ABCD A1O BD 又 ABCD是正方形 BD AC BD 平面A1OC BD A1C 又 OA1是AC的中垂线 A1A A1C 且AC 2 AC2 AA12 A1C2 AA1C是直角三角形 2 AA1 A1C 又BB1 AA1 A1C BB1 A1C 平面BB1D1D 2 解 解 设平面OCB1的法向量n n x y z 1 0 0 1 1 1 OC 1 OB 1 0 0 OCx OBxyz n n 0 x yz 取n n 0 1 1 由 1 知 1 0 1 是平面BB1D1D的法向量 1 AC cos cos n n 1 AC 11 222 又 0 2 3 2013 陕西理科数学 第 12 页 19 解 解 1 设A表示事件 观众甲选中 3 号歌手 B表示事件 观众乙选中 3 号歌手 则P A P B 1 2 2 3 C2 C3 2 4 3 5 C3 C5 事件A与B相互独立 观众甲选中 3 号歌手且观众乙未选中 3 号歌手的概率为P A P A P P A 1 P B BB 224 3515 13 24 23 35 CC4 CC15 P AB 或 2 设C表示事件 观众丙选中 3 号歌手 则P C 2 4 3 5 C3 C5 X可能的取值为 0 1 2 3 且取这些值的概率分别为 P X 0 1224 35575 P ABC P X 1 P ABCP ABCP ABC 22213212320 35535535575 P X 2 P AB P AC P BC CBA 23222313333 35535535575 P X 3 P ABC 23318 35575 X的分布列为 X0123 P 4 75 20 75 33 75 18 75 X的数学期望 420331814028 0123 757575757515 EX 20 1 解 解 如图 设动圆圆心O1 x y 由题意 O1A O1M 当O1不在y轴上时 过O1作O1H MN交MN于H 则H是MN的中点 又 22 1 4O Mx 22 1 4O Axy 2222 44xyx 化简得y2 8x x 0 又当O1在y轴上时 O1与O重合 点O1的坐标 0 0 也满足方程y2 8x 动圆圆心的轨迹C的方程为y2 8x 2 证明 由题意 设直线l的方程为y kx b k 0 P x1 y1 Q x2 y2 将y kx b代入y2 8x中 得k2x2 2bk 8 x b2 0 其中 32kb 64 0 由求根公式得 x1 x2 2 82bk k x1x2 2 2 b k 因为x轴是 PBQ的角平分线 2013 陕西理科数学 第 13 页 所以 12 12 11 yy xx 即y1 x2 1 y2 x1 1 0 kx1 b x2 1 kx2 b x1 1 0 2kx1x2 b k x1 x2 2b 0 将 代入 得 2kb2 k b 8 2bk 2k2b 0 k b 此时 0 直线l的方程为y k x 1 即直线l过定点 1 0 21 解 解 1 f x 的反函数为g x ln x 设直线y kx 1 与g x ln x的图像在P x0 y0 处相切 则有y0 kx0 1 ln x0 k g x0 0 1 x 解得x0 e2 2 1 e k 2 曲线y ex与y mx2的公共点个数等于曲线与y m的公共点个数 2 ex y x 令 则 2 ex x x 3 e2 x x x x 2 0 当x 0 2 时 x 0 x 在 0 2 上单调递减 当x