2012年广东省南民私立中学高三数学第一轮复习 两个平面垂直

用心 爱心 专心 1 9 6 9 6 两个平面垂直两个平面垂直 一 内容归纳一 内容归纳 1 1 知识精讲 知识精讲 一 一 1 1 二面角 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做两面角 二面角 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做两面角 2 2 两面角的平面角 以两面角的棱上任意一点为端点 在两个半平面内分别作垂直于棱 两面角的平面角 以两面角的棱上任意一点为端点 在两个半平面内分别作垂直于棱 的两条射线所成的角叫做二面角的平面角 的两条射线所成的角叫做二面角的平面角 3 3 二面角的大小 可以用它的平面角来度量 范围是 二面角的大小 可以用它的平面角来度量 范围是 0 4 4 直二面角 平面角是直角的二面角叫做直二面角 直二面角 平面角是直角的二面角叫做直二面角 一 一 平面垂直的定义及判定定理 平面垂直的定义及判定定理 1 1 定义 两个平面相交 如果它们所成的角是直二面角 就说这两个平面互相垂直 定义 两个平面相交 如果它们所成的角是直二面角 就说这两个平面互相垂直 记作 平面记作 平面 平面平面 2 2 判定定理 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线 那么这两个平面互相垂直 判定定理 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线 那么这两个平面互相垂直 简称 线面垂直 面面垂直 简称 线面垂直 面面垂直 二 二 两个平面垂直的性质定理 如果两个平面垂直 那么在一个平面内垂直于它们交线的直两个平面垂直的性质定理 如果两个平面垂直 那么在一个平面内垂直于它们交线的直 线垂直于另一个平面 线垂直于另一个平面 简称 面面垂直 线面垂直 简称 面面垂直 线面垂直 2 2 重点难点重点难点 两平面垂直的定义 判定 性质应用 两平面垂直的定义 判定 性质应用 3 3 思维方式思维方式 判定两相交平面垂直的常用方法是判定两相交平面垂直的常用方法是 线面垂直 面面垂直 有时用定义也是一线面垂直 面面垂直 有时用定义也是一 种办法 种办法 4 4 特别注意特别注意 用定义时二面角平面角的确定 用定义时二面角平面角的确定 二 问题讨论二 问题讨论 例例 1 1 1 1 对于直线对于直线 m m n n 和平面和平面 的一个充分条件是 的一个充分条件是 A A m nm n m m n n B B m nm n m m n n C C m nm n n n m m D D m nm n n n m m 2 2 设 设 a a b b 是异面直线 给出下列命题 是异面直线 给出下列命题 经过直线经过直线 a a 有且仅有一个平面平行于直线有且仅有一个平面平行于直线 b b 经过直线经过直线 a a 有且仅有一个平面垂直于直线有且仅有一个平面垂直于直线 b b 存在分别经过直线存在分别经过直线 a a 和和 b b 的两个平行平面 的两个平行平面 存在分别经过直线存在分别经过直线 a a 和和 b b 的两个平面互相垂直 的两个平面互相垂直 其中错误的命题为 其中错误的命题为 A A 与与 B B 与与 C C 与与 D D 仅 仅 3 3 已知平面 已知平面 平面平面 m m 是是 内一条直线 内一条直线 n n 是是 内一条直线 且内一条直线 且 m nm n 那么 那么 甲 甲 m m 乙 乙 n n 丙 丙 m m 或或 n n 丁 丁 m m 且且 n n 这四个结论中 不正确的 这四个结论中 不正确的 三个是 三个是 0 B A 用心 爱心 专心 2 解析解析 1 1 对于 对于 A A 平面 平面 与与 可以平行 也可以相交 但不垂直 对可以平行 也可以相交 但不垂直 对 B B 平面 平面 内内 直线直线 n n 垂直两个平面交线垂直两个平面交线 m m 直线 直线 n n 与平面与平面 不一定垂直 平面不一定垂直 平面 也不一定垂直 对也不一定垂直 对 D D m m m nm n 则则 n n 又又 n n 所以所以 只有 只有 C C 正确 正确 m nm n n n 则则 m m 又又 m m 由平面 由平面 与平面垂直的判定定理 与平面垂直的判定定理 故选 故选 C C 2 2 正确过正确过 a a 上任一点作上任一点作 b b 的平行线的平行线 b b 则 则 abab 确定唯一平面 确定唯一平面 错误 假设成立则错误 假设成立则 b b 该平面 而该平面 而 a a该平面 该平面 a b a b 但但 a a b b 异面却不一定垂直 异面却不一定垂直 正确分别过正确分别过 a a b b 上的任上的任 一点作一点作 b b a a 的平行线 由各自相交直线所确定的平面即为所求 的平行线 由各自相交直线所确定的平面即为所求 正确 换角度思考两个正确 换角度思考两个 垂直的平面内各取一直线会出现各种异面形式 综上所述 仅垂直的平面内各取一直线会出现各种异面形式 综上所述 仅 错误错误 选选 D D 3 3 丙正确 举反例 在任一平面中作平行于交线的直线丙正确 举反例 在任一平面中作平行于交线的直线 m m 或 或 n n 在另一平面作交线的垂线 在另一平面作交线的垂线 n n 或 或 m m 即可推翻甲 乙 丁三项 即可推翻甲 乙 丁三项 思维点拨思维点拨 解决这类问题关键是注意这是在空间而非平面内 解决这类问题关键是注意这是在空间而非平面内 例例 2 2 如图 过如图 过 S S 引三条长度相等但不共面的线段引三条长度相等但不共面的线段 SASA SBSB SCSC 且 且 ASB ASC 60 ASB ASC 600 0 BSC 90 BSC 900 0 求证平面 求证平面 ABC ABC 平面平面 BSCBSC 证明证明 SB SA SC SB SA SC ASB ASC 60 ASB ASC 600 0 取 的中点 取 的中点 连 则 连 则 为二面角的平面角 为二面角的平面角 设 又设 又 2 2 2 2 1 2 1 从而平面 从而平面 平面 平面 证明证明 要证两平面垂直 证明其二面角的平面角为直角 也是常用方法 要证两平面垂直 证明其二面角的平面角为直角 也是常用方法 例例 3 3 如图 如图 平面 四边形 是矩形 分别平面 四边形 是矩形 分别 是 的中点 是 的中点 求平面 与平面 所成二面角的大小 求平面 与平面 所成二面角的大小 求证 平面 求证 平面 平面 平面 解解 平面 平面 故 故 为平面 与平面 为平面 与平面 所成二面角的平面角 在 所成二面角的平面角 在 中 中 即为所求 即为所求 证明 取 中点 连 则 证明 取 中点 连 则 四边形四边形 E E A A 是平行四边形 是平行四边形 2 1 AE AE AE PD AE PD AE CDAE CD AE AE 平面平面 PCDPCD 从而 从而 平面平面 PCDPCD 平面 平面 平面 平面 平面 平面 思维点拨思维点拨 证明面面垂直通常可先证线面垂直 证线面垂直时有时可先证该直线的平行线证明面面垂直通常可先证线面垂直 证线面垂直时有时可先证该直线的平行线 与平面垂直 与平面垂直 例例 4 4 如图正方体 如图正方体 中 分别是 中 分别是 的中点 的中点 求证 平面 求证 平面 平面 平面 求二面角 的平面角的正切值 求二面角 的平面角的正切值 证明证明 是中点 是中点 又 又 平面 平面 从而 从而 平面 平面 平面 平面 平面 平面 平面 平面 S O 用心 爱心 专心 3 解解 过 作 过 作 于 连结 于 连结 平面 为 在平面 内的射影 平面 为 在平面 内的射影 由三垂线定理得 由三垂线定理得 是二面角 的平面角 是二面角 的平面角 在 在 中 求得 中 求得 2 2 3 3 即为二面角 的平面角的正切 即为二面角 的平面角的正切 2 6 NH MN 思维点拨思维点拨 平面角的二面角找法有 定义法 三垂线定理法 垂面法 平面角的二面角找法有 定义法 三垂线定理法 垂面法 三 课堂小结 三 课堂小结 在证明两平面垂直时 一般方法是先从现有的直线中寻找平面的第一线 若没有这样的直线 在证明两平面垂直时 一般方法是先从现有的直线中寻找平面的第一线 若没有这样的直线 则可通过作辅助线来解决 而作辅助线则应有理论根据并要有利于证明 不能随意添加 在则可通过作辅助线来解决 而作辅助线则应有理论根据并要有利于证明 不能随意添加 在 有平面垂直时 一般要