【高考四元聚焦】2014届高三数学一轮复习 第59讲 抛物线对点训练 理

1 Error 1 抛物线y 4x2的准线方程为 D A x 1 B y 1 C x D y 1 16 1 16 2 2012 山东省莱芜市上期末 正三角形一个顶点是抛物线x2 2py p 0 的焦点 另两个顶点在抛物线上 则满足此条件的正三角形共有 C A 0 个 B 1 个 C 2 个 D 4 个 解析 由抛物线的对称性可知 另两个顶点一组在焦点的下方 一组在焦点的上方 共有两组 故选 C 3 2012 郑州市第一次质量预测 如图 过抛物线y2 2px p 0 的焦点F的直线l 交抛物线于点A B 交其准线于点C 若 BC 2 BF 且 AF 3 则此抛物线方程为 C A y2 9x B y2 6x C y2 3x D y2 x 3 解析 分别过A B作准线的垂线 垂足分别为E D 如图 因为 BC 2 BF 由抛物线的定义可知 BF BD BCD 30 又 AE AF 3 所以 AC 6 即F为AC的中点 所以p EA 1 2 3 2 故抛物线的方程为y2 3x 故选 C 4 2012 山东省临沂市 3 月一模 若抛物线的顶点在原点 准线方程为x 2 则 抛物线的方程为 y2 8x 解析 由条件知 2 所以p 4 p 2 故抛物线的方程为y2 8x 5 2012 皖南八校第二次联考 抛物线x2 ay过点A 1 则点A到此抛物线的 1 4 焦点的距离为 5 4 解析 由已知可得 1 a 所以a 4 所以x2 4y 1 4 由抛物线的定义可知点A到焦点的距离等于A到准线的距离 yA 1 p 2 1 4 5 4 2 6 2013 衡水调研卷 设斜率为 2 的直线l过抛物线y2 ax a 0 的焦点F 且和 y轴交于点A 若 OAF O为坐标原点 的面积为 4 则抛物线的方程为 y2 8x 解析 由题可知抛物线的焦点坐标为 0 于是过焦点且斜率为 2 的直线l的方程 a 4 为y 2 x 令x 0 可得A点坐标为 0 所以S OAF 4 所以 a 4 a 2 1 2 a 4 a 2 a 8 故抛物线的方程为y2 8x 7 2012 山西大学附中第二学期 3 月考 已知抛物线y2 4x的焦点为F 准线与x 轴的交点为M N为抛物线上的一点 且满足 NF MN 则 NMF 3 2 6 解析 过N作NQ 准线于Q 则 NQ NF 因为 NF MN 3 2 所以 NQ MN 3 2 所以 cos QNM 所以 QNM QN MN 3 2 6 所以 NMF QNM 6 8 2012 重庆市七区第一次联考 在平面直角坐标系xOy中 抛物线C的顶点在原 点 经过点A 2 2 其焦点F在x轴上 1 求抛物线C的标准方程 2 求过点F 且与直线OA垂直的直线的方程 解析 1 由题意 可设抛物线C的标准方程为y2 2px 因为点A 2 2 在抛物线C上 所以p 1 所以抛物线C的标准方程为y2 2x 2 由 1 可得焦点F的坐标为 0 1 2 又直线OA的斜率为 1 所以与直线OA垂直的直线的斜率为 1 所以过点F 且与直线OA垂直的直线的方程为y 0 1 x 即x y 0 1 2 1 2 9 如图 在平面直角坐标系xOy中 已知抛物线y2 2px p 0 上横坐标为 4 的点到 该抛物线的焦点的距离为 5 3 1 求抛物线的标准方程 2 设点C是抛物线上的动点 若以C为圆心的圆在y轴上截得的弦AB的长为 4 求 证 圆C过定点 解析 1 由抛物线的定义得 4 5 则p 2 p 2 所以抛物线的标准方程为y2 4x 2 证明 设圆心C的坐标为 y0 半径为r y2 0 4 因为圆C在y轴上截得的弦长为 4 所以r2 4 2 y2 0 4 故圆C的方程为 x 2 y y0 2 4 2 y2 0 4 y