【步步高】2013年高考物理大一轮 第十二章 55 机械振动 用单摆测定重力加速度 学案 新人教版选修3-4

用心 爱心 专心1 第十二章第十二章 机械振动机械振动 机械波机械波 光光 学案学案 5555 机械振动机械振动 用单摆测定重力加速度用单摆测定重力加速度 一 概念规律题组 1 简谐运动的平衡位置是指 A 速度为零的位置 B 回复力为零的位置 C 加速度为零的位置 D 位移最大的位置 2 悬挂在竖直方向上的弹簧振子 周期为 2 s 从最低点的位置向上运动时开始计时 它的振动图象如图 1 所示 由图可知 图 1 A t 1 25 s 时振子的加速度为正 速度为正 B t 1 7 s 时振子的加速度为负 速度为负 C t 1 0 s 时振子的速度为零 加速度为负的最大值 D t 1 5 s 时振子的速度为零 加速度为负的最大值 二 思想方法题组 3 如图 2 所示两木块 A 和 B 叠放在光滑水平面上 质量分别为 m 和 M A 与 B 之间的 最大静摩擦力为 Ffm B 与劲度系数为 k 的轻质弹簧连接构成弹簧振子 为使 A 和 B 在振动 过程中不发生相对滑动 则 图 2 A 它们的振幅不能大于Ffm M m kM B 它们的振幅不能大于Ffm M m km C 它们的最大加速度不能大于 Ffm M D 它们的最大加速度不能大于 Ffm m 一 简谐运动的规律及应用 用心 爱心 专心2 图 3 情景 如图 3 所示 一水平方向的弹簧振子在 BC 之间做简谐运动 以此为例 试分 析简谐运动的以下特征 1 受力特征 回复力满足 F kx 即回复力大小与位移的大小成正比 方向与位移 的方向相反 2 运动特征 简谐运动是变速运动 位移 x 速度 v 加速度 a 都随时间按正弦规律 周期性变化 当振子靠近平衡位置时 a F x 都减小 v 增大 当振子远离平衡位置时 a F x 都增大 v 减小 3 能量特征 振幅越大 能量越大 在运动过程中 动能和势能相互转化 机械能守 恒 4 对称性特征 图 4 1 如图 4 所示 振子经过关于平衡位置 O 对称 OP OP 的两点 P P 时 速度的 大小 动能 势能相等 相对于平衡位置的位移大小相等 2 振子由 P 到 O 所用时间等于由 O 到 P 所用时间 即 tPO tOP 3 振子往复运动过程中通过同一段路程 如 OP 段 所用时间相等即 tOP tPO 例 1 2010 全国卷 21 一简谐振子沿 x 轴振动 平衡位置在坐标原点 t 0 时刻振子的位移 x 0 1 m t s 时刻 x 0 1 m t 4 s 时刻 x 0 1 m 该振子的振 4 3 幅和周期可能为 A 0 1 m s B 0 1 m 8 s 8 3 C 0 2 m s D 0 2 m 8 s 8 3 二 简谐运动的图象 图 5 1 确定振动物体在任一时刻的位移 如图 5 所示 对应 t1 t2时刻的位移分别为 x1 7 cm x2 5 cm 2 确定振动的振幅 图象中最大位移的值就是振幅 如图 5 所示 振动的振幅是 10 cm 3 确定振动的周期和频率 振动图象上一个完整的正弦 余弦 图形在时间轴上拉开的 长度 表示周期 由图 5 可知 OD AE BF 的间隔都等于振动周期 T 0 2 s 频率 f 1 T 5 Hz 4 确定各质点的振动方向 例如 图 5 中的 t1时刻 质点正远离平衡位置向正方向 运动 t3时刻 质点正向着平衡位置运动 5 比较各时刻质点加速度的大小和方向 例如 在图 5 中 t1时刻质点位移 x1为正 用心 爱心 专心3 则加速度 a1为负 t2时刻质点位移 x2为负 则加速度 a2为正 又因为 x1 x2 所以 a1 a2 例 2 2010 温州模拟 如图 6 所示为一 图 6 弹簧振子的振动图象 试完成以下要求 1 写出该振子简谐运动的表达式 2 在第 2 s 末到第 3 s 末这段时间内弹簧振子的加速度 速度 动能和弹性势能各是 怎样变化的 3 该振子在前 100 s 的总位移是多少 路程是多少 三 单摆及周期公式 1 单摆振动的周期公式 T 2 该公式提供了一种测定重力加速度 g 的方法 l g 2 l 为等效摆长 表示从悬点到摆球重心的距离 要区分摆长和摆线长 悬点实质为 摆球摆动所在圆弧的圆心 3 g 为当地重力加速度 4 T 2 只与l及 g 有关 而与振子的质量及振幅无关 l g 特别提示 若单摆没有处于地球表面或所处环境为非平衡态 则 g 为等效重力加速度 大体有这 样几种情况 1 不同星球表面 g GM r2 2 单摆处于超重或失重状态等效 g g0 a 如 轨道上运行的卫星 a g0 完全失重 等效 g 0 3 不论悬点如何运动还是受别的作用力 等效 g 的取值等于在单摆不摆动时 摆线的拉力 F 与摆球质量 m 的比值 即等效 g F m 例 3 2011 江苏 12B 3 将一劲度系数为 k 的轻质弹簧竖直悬挂 下端系上质 用心 爱心 专心4 量为 m 的物块 将物块向下拉离平衡位置后松开 物块上下做简谐运动 其振动周期恰好 等于以物块平衡时弹簧的伸长量为摆长的单摆周期 请由单摆的周期公式推算出该物块做 简谐运动的周期 T 四 实验 用单摆测重力加速度 1 实验原理 单摆在摆角很小 小于 10 时 其摆动可以看作简谐运动 其振动周期 T 2 l g 其中 l 为摆长 g 为当地重力加速度 由此可得 g 据此 只要测出摆长 l 和周期 4 2l T2 T 就可计算出当地重力加速度 g 的数值 2 注意事项 1 细线的质量要小 弹性要小 选用体积小 密度大的小球 摆角不超过 10 2 要使摆球在同一竖直面内摆动 不能形成圆锥摆 方法是将摆球拉到一定位置后由 静止释放 3 测周期的方法 要从摆球过平衡位置时开始计时 因为此处速度大 计时误差小 而最高点速度小 计时误差大 要测多次全振动的时间来计算周期 如在摆球过平衡位置开始计时 且在数 零 的同时按下秒表 以后摆球从同一方向通过最低位置时计数 1 次 4 由公式 g 分别测出一系列摆长 l 对应的周期 T 作出 l T2的图象 如图 4 2l T2 7 所示 图象应是一条通过原点的直线 求出图线的斜率 k 即可求得 g 值 图 7 g 4 2k k l T2 l T2 根据图线斜率求 g 值可以减小误差 例 4 某同学想在家里做用单摆测定重力加速度的实验 但没有合适的摆球 他只 好找到一块大小为 3 cm 左右 外形不规则的大理石块代替小球 实验步骤是 A 石块用细尼龙线系好 结点为 M 将尼龙线的上端固定于 O 点 B 用刻度尺测量 OM 间尼龙线的长度 L 作为摆长 用心 爱心 专心5 C 将石块拉开一个大约 30 的角度 然后由静止释放 D 从摆球摆到最高点时开始计时 测出 30 次全振动的总时间 t 由 T 得出周期 t 30 E 改变 OM 间尼龙线的长度 再做几次实验 记下相应的 L 和 T F 求出多次实验中测得的 L 和 T 的平均值作计算时使用的数据 带入公式 g 2 T 2L 求出重力加速度 g 1 你认为该同学在以上实验步骤中有重大错误的是哪些步骤 为什么 2 该同学用 OM 的长作为摆长 这样做引起的系统误差将使重力加速度的测量值比真 实值偏大还是偏小 你认为用何方法可以解决摆长无法准确测量的困难 五 受迫振动和共振 1 做受迫振动的物体 它的周期或频率等于驱动力的周期或频率 与物体的固有周期 或固有频率无关 2 共振 做受迫振动的物体 它的固有频率与驱动力的频率越接近 其振幅就越大 当二者相等时 振幅达到最大 这就是共振现象 图 8 3 共振曲线 如图 8 所示 以驱动力频率为横坐标 以受迫振动的振幅为纵坐标 它直观地反映了 驱动力频率对受迫振动振幅的影响 由图可知 f驱与 f固越接近 振幅 A 越大 当 f驱 f 固时 振幅 A 最大 例 5 某振动系统的固有频率为 f0 在周期性驱动力的作用下做受迫振动 驱动力 的频率为 f 若驱动力的振幅保持不变 下列说法正确的是 填入选项前的字母 A 当 ff0时 该振动系统的振幅随 f 减小而增大 C 该振动系统的振动稳定后 振动的频率等于 f0 D 该振动系统的振动稳定后 振动的频率等于 f 用心 爱心 专心6 基础演练 1 2009 天津 8 某质点做简谐运动 其位移随时间变化的关系式为 x Asint 4 则质点 A 第 1 s 末与第 3 s 末的位移相同 B 第 1 s 末与第 3 s 末的速度相同 C 3 s 末至 5 s 末的位移方向都相同 D 3 s 末至 5 s 末的速度方向都相同 图 9 2 2010 衡阳模拟 一质点做简谐运动的振动图象如图 9 所示 质点的速度与加速度 方向相同的时间段是 A 0 0 3 s B 0 3 s 0 6 s C 0 6 s 0 9 s D 0 9 s 1 2 s 图 10 3 2010 安徽合肥一模 如图 10 所示 弹簧振子在振动过程中 振子从 a 到 b 历时 0 2 s 振子经 a b 两点时速度相同 若它从 b 再回到 a 的最短时间为 0 4 s 则该振子 的振动频率为 A 1 Hz B 1 25 Hz C 2 Hz D 2 5 Hz 4 一弹簧振子做简谐运动 周期为 T 则 A 若 t 时刻和 t t 时刻振子运动的位移大小相等 方向相同 则 t 一定等于 T 的整数倍 B 若 t 时刻和 t t 时刻振子运动的速度大小相等 方向相反 则 t 一定等于 的整数倍 T 2 C 若 t T 则在 t 时刻和 t t 时刻振子运动的加速度一定相等 D 若 t 则在 t 时刻和 t t 时刻弹簧的长度一定相等 T 2 用心 爱心 专心7 图 11 5 2010 南京模拟 如图 11 所示 一单摆悬于 O 点 摆长为 L 若在 O 点的竖直线 上的 O 点钉一个钉子 使 OO L 2 将单摆拉至 A 处释放 小球将在 A B C 间来回振 动 若振动中摆线与竖直方向夹角小于 10 则此摆的周期是 A 2 L g B 2 L 2g C 2 L g L 2g D L g L 2g 图 12 6 如图 12 所示 AC 是一段半径为 2 m 的光滑圆弧轨道 圆弧与水平面相切于 A 点 BC 7 cm 现将一个小球先后从曲面的顶端 C 和圆弧中点 D 由静止开始释放 到达底端时的 速度分别为 v1和 v2 所用时间分别为 t1和 t2 则 A v1 v2 t1 t2 B v1v2 t1 t2 D v1 v2 t1 t2 用心 爱心 专心8 图 13 7 2010 江苏泰州联考 如图 13 所示为受迫振动的演示装置 当单摆 A 振动起来后 通过水平悬绳迫使单摆 B C 振动 则下列说法正确的是 A 只有 A C 摆振动周期相等 B A 摆的振幅比 B 摆小 C C 摆的振幅比 B 摆大 D A B C 三摆的振动周期相等 题号 1234567 答案 能力提升 8 有一弹簧振子在水平方向上的 BC 之间做简谐运动 已知 BC 间的距离为 20 cm 振 子在 2 s 内完成了 10 次全振动 若从某时刻振子经过平衡位置时开始计时 t 0 经过 周期振子有正向最大加速度 1 4 1 求振子的振幅和周期 2 作出该振子的位移 时间图象 3 写出振子的振动方程 图 14 9 如图 14 所示是一个单摆的共振曲线 1 若单摆所处环境的重力加速度 g 取 9 8 m s2 试求此摆的摆长 2 若将此单摆移到高山上 共振曲线的 峰 将怎样移动 用心 爱心 专心9 图 15 10 探究创新 2010 北京海淀区模拟 某同学利用如图 15 所示的装置测量当地的重 力加速度 实验步骤如下 A 按装置图安装好实验装置 B 用游标卡尺测量小球的直径 d C 用米尺测量悬线的长度l D 让小球在竖直平面内小角度摆动 当小球经过最低点时开始计时 并计数为 0 此 后小球每经过最低点一次 依次计数 1 2 3 当数到 20 时 停止计时 测得时间为 t E 多次改变悬线长度 对应每个悬线长度 都重复实验步骤 C D F 计算出每个悬线长度对应的 t2 G 以 t2为纵坐标 l为横坐标 作出 t2 l图线 结合上述实验 完成下列题目 1 用游标为 10 分度 测量值可准确到 0 1 mm 的卡尺测量小球的直径 某次测量的示 数如图 16 所示 读出小球直径 d 的值为 cm 图 16 图 17 2 该同学根据实验数据 利用计算机作出图线如图 17 所示 根据图线拟合得到方程 用心 爱心 专心10 t2 404 0l 3 5 由此可以得出当地的重力加速度 g m s2 取 2 9 86 结果 保留 3 位有效数字 3 从理论上分析图线没有过坐标原点的原因 下列分析正确的是 A 不应在小球经过最低点时开始计时 应该在小球运动到最高点时开始计时 B 开始计时后 不应记录小球经过最低点的次数 而应记录小球做全振动的次数 C 不应作 t2 l图线 而应作 t2 l d 图线 1 2 D 不应作 t2 l图线 而应作 t2 l d 图线 1 2 学案学案 5555 机械振动机械振动 用单摆测定重力加速度用单摆测定重力加速度 课前双基回扣 1 B 简谐运动的物体 平衡位置是回复力为零的位置 而合外力是否为零 不同的 系统是不同的 因此加速度不一定为零 比如单摆在平衡位置时存在向心加速度 简谐运 动的物体经过平衡位置时速度最大 位移为零 2 C 弹簧振子振动时 加速度的方向总是指向平衡位置 且在最大位移处 加速度 值最大 在平衡位置处加速度的值为 0 由图可知 t 1 25 s 时 振子的加速度为负 t 1 7 s 时振子的加速度为正 t 1 5 s 时振子的加速度为零 故 A B D 均错误 只有 C 正确 3 BD 为使 A 和 B 在振动过程中不发生相对滑动 在最大振幅时 是加速度的最大 时刻 这时对 A 研究则有 Ffm mam 得 am 故 C 错误 D 正确 对整体研究 最大 Ffm m 振幅即为弹簧的最大形变量 kA M m am 得 A Ffm A 错误 B 正确 M m km 思维提升 1 简谐运动的概念 如果质点的位移与时间的关系遵从正弦函数的规律 即它的振动 图象 x t 图象是一条正弦曲线这样的振动叫简谐运动 描述简谐运动的物理量有振幅 A 周期 T 频率 f 等 2 回复力 F kx 回复力为效果力 3 振动图象表示质点离开平衡位置的位移随时间变化的规律 它不是质点的运动轨 迹 核心考点突破 例 1 ACD 若振幅 A 0 1 m T s 则 s 为半周期 从 0 1 m 处运动到 0 1 8 3 4 3 m 符合运动实际 4 s s s 为一个周期 正好返回 0 1 m 处 所以 A 项正确 若 4 3 8 3 用心 爱心 专心11 A 0 1 m T 8 s s 只是 T 的 不可能由负的最大位移处运动到正的最大位移处 所 4 3 1 6 以 B 项错 若 A 0 2 m T s s 振子可以由 0 1 m 运动到对称位置 4 s 8 3 4 3 T 2 4 3 s s T 振子可以由 0 1 m 返回 0 1 m 所以 C 项对 若 A 0 2 m T 8 s s 2 8 3 4 3 而 Asin A 即时间内 振子可以从平衡位置运动到 0 1 m 处 再经 s T 12 2 T T 12 1 2 T 12 8 3 又恰好能由 0 1 m 处运动到 0 2 m 处后再返回 0 1 m 处 故 D 项正确 例 2 1 x 5sin t 2 见解析 3 0 5 m 2 解析 1 由振动图象可得 A 5 cm T 4 s 0 则 rad s 2 T 2 故该振子简谐运动的表达式为 x 5sin t 2 2 由图可知 在 t 2 s 时 振子恰好通过平衡位置 此时加速度为零 随着时间的 延续 位移值不断加大 加速度的值也变大 速度值不断变小 动能不断减小 弹性势能 逐渐增大 当 t 3 s 时 加速度的值达到最大 速度等于零 动能等于零 弹性势能达到 最大值 3 振子经过一个周期位移为零 路程为 5 4 cm 20 cm 前 100 s 刚好经过了 25 个 周期 所以前 100 s 振子位移 x 0 振子路程 s 20 25 cm 500 cm 5 m 例 3 2 m k 解析 物块平衡时 弹簧伸长量为 L 则 mg kL 由单摆周期公式 T 2 L g 解得 T 2 m k 例 4 见解析 解析 1 实验步骤中有重大错误的是 B 大理石重心到悬挂点间的距离才是摆长 C 最大偏角不能超过 10 D 应在摆球经过平衡位置时计时 F 应该用各组的 L T 求出各组的 g 后 再取平均值 2 用 OM 作为摆长 则忽略了大理石块的大小 没有考虑从结点 M 到石块重心的距离 故摆长 L 偏小 根据 T 2 g 故测量值比真实值偏小 可以用改变摆长的 L g 4 2L T2 方法 如 T 2 T 2 测出 l 则 g L g L l g 4 2 l T 2 T2 例 5 BD 由共振条件及共振曲线可知 驱动力频率 f驱越接近振动系统的固有频率 f0 则振幅越大 故知 当 ff0时 振幅随 f 的 而 随 f 的 而 B 对 系统振动稳定时 振动频率等于驱动力频率 f 与固有频率 f0无关 D 对 C 错 故选 B D 用心 爱心 专心12 思想方法总结 1 质点做简谐运动时 在同一位置 振动的位移相同 回复力 加速度 动能和势能 也相同 速度大小相等 但方向可能相同 也可能相反 在关于平衡位置对称的两个位置 动能 势能对应相等 回复力 加速度大小相等 方向相反 速度大小相等 方向可能相 同 也可能相反 振动质点由平衡位置到该两对称点的时间也对应相等 一个做简谐运动 的质点 经过时间 t 2n 1 n 0 1 2 3 质点所处位置必与原来位置关于平衡 T 2 位置对称 2 解决类单摆问题应注意 1 建立单摆模型 2 利用等效思想掌握等效摆长和 g 的计算方法 3 摆角较大时 不能用公式 T 2 来计算 l g 3 解答受迫振动和共振的问题时要抓住两点 1 受迫振动的频率等于驱动力的频率 2 当受迫振动的频率越接近固有频率时 受迫振动的振幅越大 否则越小 课时效果检测 1 AD 2 BD 3 B 4 C 设弹簧振子的振动图象如右图所示 B C 两点的位移大小相等 方向相同 但 B C 两点的时间间隔 t nT n 1 2 3 A 错误 B C 两点的速度大小相等 方 向相反 但 t nT 2 n 1 2 3 B 错误 因为 A D 两点的时间间隔 t T A D 两点的位移大小和方向均相等 所以 A D 两点的加速度一定相等 C 正确 A C 两点的时 间间隔 t T 2 A 点与 C 点位移大小相等