【全程复习方略】湖南省2013版高中数学 8.9直线与圆锥曲线的位置关系提能训练 理 新人教A版

1 全程复习方略全程复习方略 湖南省湖南省 20132013 版高中数学版高中数学 8 98 9 直线与圆锥曲线的位置关系提直线与圆锥曲线的位置关系提 能训练能训练 理理 新人教新人教 A A 版版 45 45 分钟分钟 100100 分分 一 选择题 每小题 6 分 共 36 分 1 设抛物线 y2 8x 的准线与 x 轴交于点 Q 若过点 Q 的直线l与抛物线有公共点 则直线l的斜率的取值 范围是 A B 2 2 1 2 1 2 C 1 1 D 4 4 2 抛物线 y2 4x 的焦点是 F 准线是l 点 M 4 4 是抛物线上一点 则经过点 F M 且与l相切的圆共有 A 0 个 B 1 个 C 2 个 D 4 个 3 若点 O 和点 F 分别为椭圆 1 的中心和左焦点 点 P 为椭圆上的任意一点 则 的最大 2 x 4 2 y 3 OP FP 值为 A 2 B 3 C 6 D 8 4 2012 广州模拟 已知抛物线 y x2 3 上存在关于直线 x y 0 对称的相异两点 A B 则 AB 等于 A 3 B 4 C D 3 24 2 5 从抛物线 y2 4x 上一点 P 引抛物线准线的垂线 垂足为 M 且 PM 5 设抛物线的焦点为 F 则 MPF 的 面积为 A 5 B 10 C 20 D 15 6 预测题 点 P 在直线l y x 1 上 若存在过 P 的直线交抛物线 y x2于 A B 两点 且 PA AB 则称点 P 为 点 那么下列结论中正确的是 A 直线l上的所有点都是 点 B 直线l上仅有有限个点是 点 C 直线l上的所有点都不是 点 D 直线l上有无穷多个点 点不是所有的点 是 点 二 填空题 每小题 6 分 共 18 分 7 2012 长沙模拟 过椭圆的右焦点作一条斜率为 2 的直线与椭圆交于 A B 两点 O 为坐标 22 xy 1 54 原点 则 OAB 的面积为 8 若直线 AB 与抛物线 y2 4x 交于 A B 两点 AB 的中点坐标是 4 2 则直线 AB 的方程是 2 9 2011 南京模拟 设直线l 2x y 2 0 与椭圆 x2 1 的交点为 A B 点 P 是椭圆上的动点 则使 2 y 4 得 PAB 的面积为的点 P 的个数为 1 3 三 解答题 每小题 15 分 共 30 分 10 易错题 已知动圆过定点 2 0 且与直线 x 2 相切 1 求动圆的圆心轨迹 C 的方程 2 是否存在直线l 使l过点 0 2 并与轨迹 C 交于 P Q 两点 且满足 0 若存在 求出OP OQ 直线l的方程 若不存在 说明理由 11 2012 宁德模拟 在直角坐标系 xOy 中 点 P 到两点 0 0 的距离之和等于 4 3 3 设点 P 的轨迹为 C 1 求曲线 C 的方程 2 过点 0 作两条互相垂直的直线l1 l2分别与曲线 C 交于 A B 和 E D 以线段 AB 为直径3 的圆能否过坐标原点 若能 求直线 AB 的斜率 若不能 说明理由 探究创新 16 分 如图 ABCD 是边长为 2 的正方形纸片 沿某动直线l将正方形在其下方的部分向上翻折 使得 每次翻折后点 B 都落在边 AD 上 记为 B 折痕与 AB 交于点 E 以 EB 和 EB 为邻边作平行四边形 EB MB 若以 B 为原点 BC 所在的直线为 x 轴建立直角坐标系 如图 1 求点 M 的轨迹方程 2 若曲线 S 是由点 M 的轨迹及其关于边 AB 对称的曲线组成的 等腰梯形 A1B1C1D1的三边 A1B1 B1C1 C1D1 分别与曲线 S 切于点 P Q R 求梯形 A1B1C1D1面积的最小值 答案解析 1 解析 选 C 设直线方程为 y k x 2 与抛物线联立方程组 整理得 ky2 8y 16k 0 当 k 0 时 直线 3 与抛物线有一个交点 当 k 0 时 由 64 6 4k2 0 解得 1 k 1 且 k 0 综上 1 k 1 2 解析 选 C 由于圆经过焦点 F 且与准线l相切 由抛物线的定义知圆心在抛物线上 又因为圆经过 抛物线上的点 M 所以圆心在线段 FM 的垂直平分线上 即圆心是线段 FM 的垂直平分线与抛物线的交点 结合图形易知有两个交点 因此共有 2 个满足条件的圆 3 解析 选 C 设 P x0 y0 则 1 即 3 又 F 1 0 2 0 x 4 2 0 y 3 2 0 y 2 0 3x 4 x0 x0 1 y02 x0 3OP FP 2 0 1 x 4 2 又 x0 2 2 2 0 1 x2 4 2 6 所以 max 6 OP FP OP FP 4 解题指南 转化为过 A B 两点且与 x y 0 垂直的直线与抛物线相交后求弦长问题求解 解析 选 C 设直线 AB 的方程为 y x b A x1 y1 B x2 y2 由 x2 x b 3 0 x1 x2 1 2 yx3 yxb 得 AB 的中点 M 1 2 1 b 2 又 M 在直线 x y 0 上 可求出 b 1 1 2 1 b 2 x2 x 2 0 则 AB 2 1 1 2 142 3 2 方法技巧 对称问题求解技巧 若 A B 两点关于直线l对称 则直线 AB 与直线l垂直 且线段 AB 的中点在直线l上 即直线l是线段 AB 的垂直平分线 求解这类圆锥曲线上的两点关于直线l的对称问题 常转化为过两对称点的直线与圆 锥曲线的相交问题求解 5 解析 选 B 由抛物线方程 y2 4x 易知准线l的方程为 x 1 又由 PM 5 可得点 P 的横坐标为 4 代 入 y2 4x 可求得其纵坐标为 4 所以 S MPF 5 4 10 1 2 6 解题指南 由 PA AB 可得点 A 为线段 PB 的中点 解析 选 A 本题用数形结合法易于求解 如图 设 A m n P x x 1 则 B 2m x 2n x 1 A B 在 y x2上 2 2 nm 2nx12mx 4 消去 n 整理得 x2 4m 1 x 2m2 1 0 1 4m 1 2 4 2m2 1 8m2 8m 5 0 恒成立 方程 1 恒有实数解 应选 A 7 解析 直线方程为 y 2 x 1 由得 3y2 2y 8 0 22 xy 1 54 y2 x1 设 A x1 y1 B x2 y2 则 1212 28 yy y y 33 12 43210 yy 933 OAB 1105 S1 233 A 答案 5 3 8 解析 设 A x1 y1 B x2 y2 则 2 11 2 22 y4x y4x 得 y22 y12 4 x2 x1 1 21 21 yy xx 21 4 yy 4 4 即直线 AB 的斜率为 1 则直线 AB 的方程为 y 2 x 4 即 x y 2 0 答案 x y 2 0 9 解题指南 先求出弦长 AB 进而求出点 P 到直线 AB 的距离 再求出与l平行且与椭圆相切的直线方 程 最后数形结合求解 解析 由题知直线l恰好经过椭圆的两个顶点 1 0 0 2 故 AB 要使 PAB 的面积为 5 1 3 5 即 h 所以 h 联立 y 2x m 与椭圆方程 x2 1 得 8x2 4mx m2 4 0 令 0 得 m 1 2 5 1 3 2 3 5 2 y 4 即平移直线l到 y 2x时与椭圆相切 它们与直线l的距离 d 都大于 2 2 2 2 2 22 5 2 3 5 所以一共有 4 个点符合要求 答案 4 10 解析 1 如图 设 M 为动圆圆心 F 2 0 过点 M 作直线 x 2 的垂线 垂足为 N 由题意知 MF MN 即动点 M 到定点 F 与到定直线 x 2 的距离相等 由抛物线的定义知 点 M 的轨 迹为抛物线 其中 F 2 0 为焦点 x 2 为准线 所以动圆圆心轨迹 C 的方程为 y2 8x 2 由题可设直线l的方程为 x k y 2 k 0 由 得 y2 8ky 16k 0 2 xk y2 y8x 8k 2 4 16k 0 解得 k 0 或 k 1 设 P x1 y1 Q x2 y2 则 y1 y2 8k y1y2 16k 由 0 得 x1x2 y1y2 0 OP OQ 即 k2 y1 2 y2 2 y1y2 0 整理得 k2 1 y1y2 2k2 y1 y2 4k2 0 代入得 16k k2 1 2k2 8k 4k2 0 即 16k 4k2 0 解得 k 4 或 k 0 舍去 所以直线l存在 其方程为 x 4y 8 0 误区警示 本题易忽视判别式大于零 从而得出两条直线方程 11 解析 1 设 P x y 由椭圆定义可知 点 P 的轨迹 C 是以 0 0 为焦点 长3 3 半轴为 2 的椭圆 它的短半轴 b 1 故曲线 C 的方程为 x2 1 22 23 2 y 4 6 2 设直线l1 y kx 分别交曲线 C 于 A x1 y1 B x2 y2 其坐标满足 消去 y 并整理3 2 2 y x1 4 ykx3 得 k2 4 x2 1 0 2 3kx 故 x1 x2 x1x2 2 2 3k k4 2 1 k4 若以线段 AB 为直径的圆过坐标原点 则 即 x1x2 y1y2 0 OA OB 而 y1y2 k2x1x2 k x1 x2 3 3 于是 x1x2 y1y2 0 22 222 1k6k 3 k4k4k4 化简得 4k2 11 0 所以 k 11 2 变式备选 已知椭圆 C 1 a b 0 的左焦点为 F 1 0 离心率为 过点 F 的直线l与 2 2 x a 2 2 y b 2 2 椭圆 C 交于 A B 两点 1 求椭圆 C 的方程 2 设过点 F 不与坐标轴垂直的直线交椭圆 C 于 A B 两点 线段 AB 的垂直平分线与 x 轴交于点 G 求点 G 横坐标的取值范围 解析 1 由题意可知 c 1 a2 b2 c2 e 解得 a b 1 故椭圆的方程为 y2 1 c a 2 2 2 2 x 2 2 设直线 AB 的方程为 y k x 1 k 0 联立 得 整理得 2 2 yk x1 x y1 2 1 2k2 x2 4k2x 2k2 2 0 直线 AB 过椭圆的左焦点 F 方程有两个不等实根 记 A x1 y1 B x2 y2 AB 的中点 N x0 y0 则 x1 x2 x0 y0 2 2 4k 12k 12 xx 2 12 yy 2 垂直平分线 NG 的方程为 y y0 x x0 1 k 7 令 y 0 得 xG x0 ky0 22 22 2kk 2k12k1 2 2 k 2k1 2 11 24k2 k 0 xG 0 1 2 点 G 横坐标的取值范围为 0 1 2 探究创新 解析 1 如图 设 M x y B x0 2 显然直线l的斜率存在 故不妨设直线l的方程为 y kx b 即 E 0 b 则 kBB k 0 2 x 1 k 0 x 2 而 BB 的中点 1 在直线l上 0 x 2 故 b 1b 1 0 x 2 0 x 2 2 0 x 4 由于 EM EB EB x y b 0 b x0 2 b 代入 0 xx y2b 即得 y 1 2 x 4 又 0 x0 2 点 M 的轨迹方程 y 1 0 x 2 2 x 4 8 2 易知曲线 S 的方程为 y 1 2 x 2 2 x 4 设梯形 A1B1C1D1的面积为 s 如图 点 P 的坐标为 t t2 1 0 t 2 由题意得 点 Q 的坐标为 0 1 1 4