2018高考文科数学复习不等式

数数 学学 E E 单元单元 不等式不等式 E1E1 不等式的概念与性质不等式的概念与性质 5 E1 C3 B6 B7 2016 北京卷 已知 x y R 且 x y 0 则 A 0 1 x 1 y B sin x sin y 0 C x y0 5 C 解析 选项 A 中 因为 x y 0 所以 即 0 故结论不成立 选项 B 1 x 1 y 1 x 1 y 中 当 x y 时 sin x sin yy 0 所以 x y 所以x yb 1 0 c 1 则 A ac bc B abc bac C alogbc blogac D logac logbc 8 C 解析 根据幂函数性质 选项 A 中的不等式不成立 选项 B 中的不等式可化 为 bc 1 ac 1 此时 1 c 1 logab 此时 1 0 logab 1 故此不等式成立 选项 D 中的不 a b logac logbc logcb logca a b 等式可以化为 进而 lg a lg b 即 a b 故在已知条件下选项 lg c lg a lg c lg b 1 lg a 1 lg b D 中的不等式不成立 E2E2 绝对值不等式的解法绝对值不等式的解法 1 A1 E2 2016 北京卷 已知集合 A x x 2 B 1 0 1 2 3 则 A B A 0 1 B 0 1 2 C 1 0 1 D 1 0 1 2 1 C 解析 集合 A x x 2 x 2 x 2 B 1 0 1 2 3 所以 A B 1 0 1 1 E2 2016 上海卷 设 x R 则不等式 x 3 1 的解集为 1 2 4 解析 由题意得 1 x 3 1 解得 2 x 4 故不等式的解集为 2 4 E3E3 一元二次不等式的解法一元二次不等式的解法 1 A1 E3 2016 全国卷 设集合 A x x2 4x 30 则 A B A 3 3 2 B 3 3 2 C 1 3 2 D 3 3 2 1 D 解析 集合 A 1 3 B 所以 A B 3 3 2 3 2 E4E4 简单的一元高次不等式的解法简单的一元高次不等式的解法 E5E5 简单的线性规划问题简单的线性规划问题 12 E5 H2 2016 江苏卷 已知实数 x y 满足则 x2 y2的取值范围 x 2y 4 0 2x y 2 0 3x y 3 0 是 12 13 解析 可行域如图中阴影部分所示 x2 y2为可行域中任一点 x y 到原点 4 5 0 0 的距离的平方 由图可知 x2 y2的最小值为原点到直线 AC 的距离的平方 即 2 最大值为 OB2 22 32 13 2 5 4 5 2 E5 2016 北京卷 若 x y 满足则 2x y 的最大值为 2x y 0 x y 3 x 0 A 0 B 3 C 4 D 5 2 C 解析 画出可行域 如图中阴影部分所示 点 A 的坐标为 1 2 目标函数 z 2x y 变为 y 2x z 当目标函数的图像过点 A 1 2 时 z 取得最大值 4 故 2x y 的最大值是 4 16 E5 2016 全国卷 某高科技企业生产产品 A 和产品 B 需要甲 乙两种新型材 料 生产一件产品 A 需要甲材料 1 5 kg 乙材料 1 kg 用 5 个工时 生产一件产品 B 需要 甲材料 0 5 kg 乙材料 0 3 kg 用 3 个工时 生产一件产品 A 的利润为 2100 元 生产一件 产品 B 的利润为 900 元 该企业现有甲材料 150 kg 乙材料 90 kg 则在不超过 600 个工 时的条件下 生产产品 A 产品 B 的利润之和的最大值为 元 16 216 000 解析 设生产产品 A 产品 B 分别为 x 件 y 件 利润之和为 z 元 则 即目标函数为 z 2100 x 900y 1 5x 0 5y 150 x 0 3y 90 5x 3y 600 x N y N 3x y 300 10 x 3y 900 5x 3y 600 x N y N 作出二元一次不等式组表示的平面区域为图中阴影部分内 包括边界 的整点 即可行 域 由图可知当直线 z 2100 x 900y 经过点 M 时 z 取得最大值 解方程组得 M 的坐标为 60 100 10 x 3y 900 5x 3y 600 所以当 x 60 y 100 时 zmax 2100 60 900 100 216 000 13 E5 2016 全国卷 若 x y 满足约束条件则 z x y 的最大值 x y 1 0 x 2y 0 x 2y 2 0 为 13 解析 可行域如图所示 3 2 联立得 A 1 当直线 z x y 过点 A 时 z 取得最大值 所以 x 2y 0 x 2y 2 0 1 2 zmax 1 1 2 3 2 7 A2 E5 2016 四川卷 设 p 实数 x y 满足 x 1 2 y 1 2 2 q 实数 x y 满 足则 p 是 q 的 y x 1 y 1 x y 1 A 必要不充分条件 B 充分不必要条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件 7 A 解析 如图 x 1 2 y 1 2 2 表示圆心为 1 1 半径为的圆及其内部 2 表示 ABC 及其内部 y x 1 y 1 x y 1 实数 x y 满足 则必然满足 反之不成立 故 p 是 q 的必要不充分条件 4 E5 2016 山东卷 若变量 x y 满足则 x2 y2的最大值是 x y 2 2x 3y 9 x 0 A 4 B 9 C 10 D 12 4 C 解析 可行域如图所示 设 z x2 y2 联立得由图可知 当圆 x2 y2 z 过点 3 1 时 x y 2 2x 3y 9 x 3 y 1 z 取得最大值 即 x2 y2 max 32 10 1 2 2 E5 2016 天津卷 设变量 x y 满足约束条件则目标函数 x y 2 0 2x 3y 6 0 3x 2y 9 0 z 2x 5y 的最小值为 A 4 B 6 C 10 D 17 2 B 解析 可行域如图所示 由图可知 当直线 z 2x 5y 过点 3 0 时 z 2x 5y 取得最小值 6 3 E5 2016 浙江卷 在平面上 过点 P 作直线 l 的垂线所得的垂足称为点 P 在直线 l 上的投影 由区域中的点在直线 x y 2 0 上的投影构成的线段记为 x 2 0 x y 0 x 3y 4 0 AB 则 AB A 2 B 4 2 C 3 D 6 2 3 C 解析 易知线性区域为图中三角形 MNP 包括边界 且 MN 与 AB 平行 故 AB MN 易得 M 1 1 N 2 2 则 MN 3 故 AB 3 22 E6E6 基本不等式基本不等式 2 ab ab 14 C8 E6 2016 江苏卷 在锐角三角形 ABC 中 若 sin A 2sin Bsin C 则 tan Atan Btan C 的最小值是 14 8 解析 方法一 sin A 2sin Bsin C sin A sin B C sin Bcos C cos Bsin C sin Bcos C cos Bsin C 2sin Bsin C 两边同除以 cos Bcos C 可得 tan B tan C 2tan Btan C tan Atan Btan C tan B C tan Btan C tan Btan C tan B tan C 1 tan Btan C 2 tan Btan C 2 tan Btan C 1 由三角形为锐角三角形得 tan B 0 tan C 0 tan A 0 即 tan Btan tan B tan C tan Btan C 1 C 1 0 令 tan Btan C 1 t t 0 则 tan Atan Btan C 2t 2 8 2 t 1 2 t 1 t 当 t 1 即 tan Btan C 2 时取等号 方法二 同方法一可得 tan B tan C 2tan Btan C 又 tan A tan B tan C tan A 1 tan Btan C tan B C tan A tan A tan Atan Btan C tan Atan Btan C 所以 tan Atan Btan C tan A tan B tan C tan A 2tan Btan C 2 tan Atan Btan C 8 2tan Atan Btan C 当且仅当 tan A 2tan Btan C 4 时取等号 9 B7 E6 2016 四川卷 设直线 l1 l2分别是函数 f x 图像上点 ln x 0 x 1 P1 P2处的切线 l1与 l2垂直相交于点 P 且 l1 l2分别与 y 轴相交于点 A B 则 PAB 的面积的取值范围是 A 0 1 B 0 2 C 0 D 1 9 A 解析 不妨设 P1 x1 y1 P2 x2 y2 其中 0 x1 1 x2 由 l1 l2分别是点 P1 P2处的切线 且 f x 1 x 0 x 1 得 l1的斜率 k1 l2的斜率 k2 1 x1 1 x2 又 l1与 l2垂直 且 0 x1 x2 所以 k1 k2 1 x1 x2 1 1 x1 1 x2 l1 y x x1 ln x1 1 x1 l2 y x x2 ln x2 1 x2 则点 A 的坐标为 0 1 ln x1 点 B 的坐标为 0 1 ln x2 由此可得 AB 2 ln x1 ln x2 2 ln x1 x2 2 联立 两式可解得交点 P 的横坐标 xP 2 ln x1x2 x1 x2 2 x1 x2 所以 S PAB AB xP 2 1 当且仅当 x1 即 x1 1 时 1 2 1 2 2 x1 x2 2 x1 1 x1 1 x1 等号成立 而 0 x1 1 所以 0 S PAB0 b 0 若关于 x y 的方程组无解 则 a b 的 ax y 1 x by 1 取值范围是 10 2 解析 将方程组中的第一个方程化为 y 1 ax 代入第二个方程整理 得 1 ab x 1 b 该方程无解应该满足 1 ab 0 且 1 b 0 所以 ab 1 且 b 1 所以 由基本不等式得 a b 2 2 故 a b 的取值范围是 2 ab E7E7 不等式的证明方法不等式的证明方法 E8E8 不等式的综合应用不等式的综合应用 21 B11 B12 E8 2016 四川卷 设函数 f x ax2 a ln x 其中 a R 1 讨论 f x 的单调性 2 确定 a 的所有可能取值 使得 f x e1 x在区间 1 内恒成立 e 2 718 为 1 x 自然对数的底数 21 解 1 f x 2ax x 0 1 x 2ax2 1 x 当 a 0 时 f x 0 时 由 f x 0 有 x 1 2a 此时 当 x 0 时 f x 1 2a 1 2a 0 f x 单调递增 2 令 g x s x ex 1 x 1 x 1 ex 1 则 s x ex 1 1 而当 x 1 时 s x 0 所以 s x 在区间 1 内单调递增 又 s 1 0 所以当 x 1 时 s x 0 从而当 x 1 时 g x 0 当 a 0 x 1 时 f x a x2 1 ln xg x 在区间 1 内恒成立时 必有 a 0 当 0 a1 1 2 1 2a 由 1 有 f 0 1 2a 1 2a 所以此时 f x g x 在区间 1 内不恒成立 当 a 时 令 h x f x g x x 1 当 x 1 时 h x 1 2 2ax e1 x x 0 1 x 1 x2 1 x 1 x2 1 x x3 2x 1 x2 x2 2x 1 x2 因此 h x 在区间 1 内单调递增 又因为 h 1 0 所以当 x 1 时 h x f x g x 0 即 f x g x 恒成立 综上 a 1 2 E9E9 单元综合单元综合 8 E9 2016 浙江卷 已知实数 a b c A 若 a2 b c a b2 c 1 则 a2 b2 c2 100 B 若 a2 b c a2 b c 1 则 a2 b2 c2 100 C 若 a b c2 a b c2 1 则 a2 b2 c2 100 D 若 a2 b c a b2 c 1 则 a2 b2 c2 100 8 D 解析 若取 a b 10 c 110 则 A 错 若取 a 10 b 100 c 0 则 B 错 若取 a 10 b 10 c 0 则 C 错 故选 D 4 2016 重庆七校联考 下列不等式中成立的是 A 若 a b 则 ac2 bc2 B 若 a b 则 a2 b2 C 若 a b 0 则 b a b 1 a 1 D 若 a b 0 则 a b 1 b 1 a 4 D 解析 在 A 中 若 a b 则 ac2 bc2 当 c 0 时取等号 故 A 错误 在 B 中 若 a b 则当 a b 为负数时 a2 b2 故 B 错误 在 C 中 若 a b 0 则 不一定成立 例如 3 2 则 a b 故 D 正确 1 b 1 a 1 b 1 a 3 2016 南昌一中月考 设 x y R a 1 b 1 若 ax by 2 a 4 则 的 b 2 x 1 y 最大值为 A 3 B 3 2 C 4 D 4 2 3