专题排列组合

戴氏教育集团 开阳校区 戴氏中考 高考 高中数学专用讲义 主讲 胡老师 第 0 页 共 8 页 心有多大 舞台就有多大 专题 排列组合专题 排列组合 1 知识填空知识填空 乘法原理 乘法原理 做一件事 完成它需要分成 n 个步骤 做第一 步有种不同的方法 做第二步有 1 m 不同的方法 做第 n 步有不同的方法 那么完成这件事共有种不同的 2 m n m 123n Nm m mm 方法 排列和排列数 排列和排列数 1 1 mn nnnn n Pn nnmPPPn nm 另外通常写成 公式 P 是指排列 从 n 个元素取 m 个进行排列 即排序 组组合合和和组组合合数数 m mmn m n nnn Pn CCC mm nm 11 1 mmm nnn CCC 公式 C 是指组合 从 n 个元素取 m 个 不进行排列 即不排序 加法原理 加法原理 做一件事情 完成它有 n 类办法 在第一类办法中有种不同的方法 在第二类办法中有 1 m 种不同的方法 在第种类办法中有种不同的方法 那么完成这件事情共有 2 mn n m 种不同的方法 12n mmm 排列数和组合数公式排列数和组合数公式 排列数公式 且 注 规定 1 1 m n n An nnm nm n mN mn 0 1 排列恒等式 1 2 3 4 1 1 mm nn AnmA 1 mm nn n AA nm 1 1 mm nn AnA 5 6 1 1 nnn nnn nAAA 1 1 mmm nnn AAmA 1 2 2 3 3 1 1n nn 组合数公式 且 1 1 1 2 m m n n m m An nnmn C Ammnm mNmN mn 组合数的两个性质 1 2 3 注 规定 mn m nn CC 1 11 mmm nnn CCC 1 1 mk nn kCnC 1 0 n C 组合恒等式 1 2 3 1 1 mm nn nm CC m 1 mm nn n CC nm 1 1 mm nn n CC m 以下公式都和二项式定理相关 以下公式都和二项式定理相关 4 5 0 2 n rn n r C 1 121 r n r n r r r r r r CCCCC 戴氏教育集团 开阳校区 戴氏中考 高考 高中数学专用讲义 主讲 胡老师 第 1 页 共 8 页 心有多大 舞台就有多大 6 7 1420531 2 n nnnnnn CCCCCC 1321 232 nn nnnn nnCCCC 8 9 r nm r n r mn r mn r m CCCCCCC 0110 n n n nnnn CCCCC 2 2222120 排列数与组合数的关系 mm nn Am C 2 重点点拨重点点拨 排排列列组组合合问问题题解解题题技技巧巧归归纳纳汇汇总总 1 特殊元素和特殊位置优先策略 特殊元素和特殊位置优先策略 例 1 由 0 1 2 3 4 5 可以组成多少个没有重复数字五位奇数 解 由于末位和首位有特殊要求 应该优先安排 以免不合要求的元素占了这两个位置 先排末位共有 然后排首位共有 最后排其它位置共有 由分步计数原理得 1 3 C 1 4 C 3 4 A 113 434 288C C A 例 2 用 0 到 9 这 10 个数字 可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为 A 324 B 328 C 360 D 648 解 首先应考虑 0 是特殊元素 当 0 排在末位时 有 个 2 8 9 872P 当 0 不排在末位时 有 个 111 488 256P P P 于是由分类计数原理 得符合题意的偶数共有72256328 个 故选 B 2 相邻元素捆绑策略 相邻元素捆绑策略 例 3 7 人站成一排 其中甲乙相邻且丙丁相邻 共有多少种不同的排法 解 可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素 同时丙丁也看成一个复合元素 再与其它元素 进行排列 同时对相邻元素内部进行自排 由分步计数原理可得共有种不同的排法 522 522 480A A A 乙乙甲甲丁丁丙丙 例 4 记者要为 5 名志愿者和他们帮助的 2 位老人拍照 要求排成一排 2 位老人相邻但不排在两端 不 同的排法共有 A 1440 种B 960 种 C 720 种 D 480 种 解 首先两位老人不站在两端 那么在 5 名志愿者中挑 2 位站两端 有种 两位老人要相邻 用捆绑 2 5 P 法把他们看成一位 和剩下的 3 名志愿者一起排 有种 两位老人内部排列 有种 则总共有 4 P 2 P 种 故选 B 2 542 960PP P 3 不相邻问题插空策略 不相邻问题插空策略 例 5 一个晚会的节目有 4 个舞蹈 2 个相声 3 个独唱 舞蹈节目不能连续出场 则节目的出场顺序有多少种 解 分两步进行第一步排 2 个相声和 3 个独唱共有种 第二步将 4 舞蹈插入第一步排好的 6 个元素中间 5 5 A 包含首尾两个空位共有种不同的方法 节目的不同顺序共有种 4 6 A 54 56 A A 戴氏教育集团 开阳校区 戴氏中考 高考 高中数学专用讲义 主讲 胡老师 第 2 页 共 8 页 心有多大 舞台就有多大 提示 不相邻问题通常用插空法 把要求不相邻的元素放在一边 先排其他元素 再将不相邻的元素插 在已经排好的元素之间的空位上 4 定序问题倍缩空位插入策略 定序问题倍缩空位插入策略 例 6 7 人排队 其中甲乙丙 3 人顺序一定共有多少不同的排法 解 倍缩法 对于某几个元素顺序一定的排列问题 可先把这几个元素与其他元素一起进行排列 然后用总排 列数除以这几个元素之间的全排列数 则共有不同排法种数是 73 73 AA 空位法 设想有 7 把椅子让除甲乙丙以外的四人就坐共有种方法 其余的三个位置甲乙丙共有 1 4 7 A 种坐法 则共有种方法 实际类似捆绑法 4 7 A 5 排列问题求幂策略 排列问题求幂策略 例 7 把 6 名实习生分配到 7 个车间实习 共有多少种不同的分法 解 完成此事共分六步 把第一名实习生分配到车间有 7 种分法 把第二名实习生分配到车间也有 7 种分依 此类推 由分步计数原理共有种不同的排法 6 7 6 环排问题线排策略 环排问题线排策略 例 8 8 人围桌而坐 共有多少种坐法 解 围桌而坐与坐成一排的不同点在于 坐成圆形没有首尾之分 所以固定一人并从此位置把圆形展 4 4 A 成直线其余 7 人共有 8 1 种排法即 7 HF D C A ABCDEA B E G HGF 一般地 n 个不同元素作圆形排列 共有 n 1 种排法 如果从 n 个不同元素中取出 m 个元素作圆形排列 共有 1 m n A n 7 多排问题直排策略 多排问题直排策略 例 9 8 人排成前后两排 每排 4 人 其中甲乙在前排 丙在后排 共有多少排法 解 8 人排前后两排 相当于 8 人坐 8 把椅子 可以把椅子排成一排 前排右 2 个特殊元素有种 再排后 4 个 2 4 A 位置上的特殊元素丙有种 其余的 5 人在 5 个位置上任意排列有种 则共有 1 4 A 5 5 A 215 445 A A A 8 排列组合混合问题先选后排策略 排列组合混合问题先选后排策略 例 10 有 5 个不同的小球 装入 4 个不同的盒内 每盒至少装一个球 共有多少不同的装法 解 第一步从 5 个球中选出 2 个组成复合元共有种方法 再把 4 个元素 包含一个复合元素 装入 4 个 2 5 C 不同的盒内有种方法 根据分步计数原理装球的方法共有 4 4 A 24 54 C A 9 平均分组问题除法策略 平均分组问题除法策略 例 11 6 本不同的书平均分成 3 堆 每堆 2 本共有多少分法 解 分三步取书得种方法 但这里出现重复计数的现象 种分法 222 642 C C C 2223 6423 C C CA 平均分成的组 不管它们的顺序如何 都是一种情况 所以分组后要一定要除以 为均分的 n n An 组数 避免重复计数 戴氏教育集团 开阳校区 戴氏中考 高考 高中数学专用讲义 主讲 胡老师 第 3 页 共 8 页 心有多大 舞台就有多大 例 12 把 10 人平均分成 2 组 每组 5 人 问共有多少种不同的分法 解 先确定第 1 组 有种方法 再确定第二组 有种方法 这样确定两组共有 种方法 因 5 10 C 5 5 C 5 10 c 5 5 c 为是等分组 第一 二组次序可交换 同一种分法被重复了次 所以共有种分法 2 2 P 2 2 5 5 5 10 P CC 例 13 把 10 人分成 3 组 一组 2 人 一组 3 人 一组 5 人 问有多少种不同的分法 解 按人数的多少 可把各组划分为第一组 第二组 第三组 先确定第 1 组 有种 再确定第二组 2 10 c 有种法 最后确定第三组 有种 共有 种 3 8 c 5 5 c 2 10 c 3 8 c 5 5 c 例 14 把 10 分成 3 组 一组 2 人 其余两组各 4 人 问有多少种不同的分法 解 先确定第 1 组 有种方法 再确定第二组 有种方法 最后确定第三组 有种方法 因第二 2 10 c 4 8 c 4 4 c 三组次序可交换 故同一分法被重复了次 所以共有 2 2 P 2 2 4 4 4 8 2 10 C P CC 1 对于等分组问题 分法数 等分组数的阶乘 按序分组的总数 2 对于不等分组问题 分法数 按序分组的总数 3 对于混合分组问题 分法数 相等组数的阶乘 按序分组的总数 3 当堂检测当堂检测 1 某班级要从 4 名男生 2 名女生中选派 4 人参加某次社区服务 如果要求至少有 1 名女生 那么不同 的选派方案种数为 A 14B 24C 28D 48 解法一 从正面看 至少有 1 名女生 可以分为有 1 名女生的情况和有两名女生的情况 分别为和 13 24 C C 种 所以总共有种 22 24 C C 1322 2424 14C CC C 解法二 从反面看 6 人中选 4 人的方案种 没有女生的方案只有一种 所以满足要求的方案总 4 6 15C 数有 14 种 思路 解法一 用分类计数原理直接解题 解法二为间接法思路 解法一 用分类计数原理直接解题 解法二为间接法 2 某城市的汽车牌照号码由 2 个英文字母后接 4 个数字组成 其中 4 个数字互不相同的牌照号码共有 A B 个C 个D 个 2 14 2610 CP 24 2610 P P 2 14 26 10C 24 2610 P 戴氏教育集团 开阳校区 戴氏中考 高考 高中数学专用讲义 主讲 胡老师 第 4 页 共 8 页 心有多大 舞台就有多大 解 乘法原理 先排英文字母 没要求两个字母不同 所以英文字母有种 接下来 4 个数字要求 2 1 26 C 互不相同 有种 所以总共有个牌照 选 A 4 10 P 2 14 2610 CP 思考 如果要求字母互不相同 或数字可以相同 则要怎么解呢 排列问题求幂策略思考 如果要求字母互不相同 或数字可以相同 则要怎么解呢 排列问题求幂策略 3 从 5 位同学中选派 4 位同学在星期五 星期六 星期日参加公益活动 每人一天 要求星期五有 2 人 参加 星期六 星期日各有 1 人参加 则不同的选派方法共有 A 40 种B 60 种 C 100 种 D 120 种 解 乘法原理 5 位同学中选 4 位参加活动 有种 在这 4 位中选 2 为星期五去 有种 剩下的两 4 5 C 2 4 C 位安排星期六和星期日 有种 所以总共有种 选 B 2 P 42 542 60C C P 思路 排列组合混合问题先选后排策略思路 排列组合混合问题先选后排策略 4 甲 乙 丙 3 位志愿者安排在周一至周五的 5 天中参加某项志愿者活动 要求每人参加一天且每天至 多安排一人 并要求甲安排在另外两位前面 不同的安排方法共有 A 20 种B 30 种C 40 种D 60 种 解 分类计数 甲在星期一有种安排方法 甲在星期二有种安排方法 甲在星期三有 2 4 12P 2 3 6P 种安排方法 总共有种 特殊元素优先策略 以甲的位置为分类基础 看乙丙的特殊元素优先策略 以甲的位置为分类基础 看乙丙的 2 2 2P 126220 排列 排列 5 甲 乙 丙3人站到共有7级的台阶上 若每级台阶最多站2人 同一级台阶上的人不区分站的位置 则不同的站法种数是 用数字作答 解 对于 7 个台阶上每一个只站一人 则有种 若有一个台阶有 2 人 另一个是 1 人 则共有 3 7 P 种 因此共有不同的站法种数是 336 种 w w w k s 5 u c o m 12 37 C P 思路 分类计数原理 加法原理 思路 分类计数原理 加法原理 6 12 名同学合影 站成前排 4 人后排 8 人 现摄影师要从后排 8 人中抽 2 人调整到前排 若其他人的相 对顺序不变 则不同调整方法的总数是 A B C D 22 83 C P 26 86 C P 22 86 C P 22 85 C P 解法一 从后排 8 人中选 2 人共种选法 这 2 人插入前排 4 人中且保证前排人的顺序不变 则先从 4 2 8 C 人中的 5 个空挡插入一人 有种插法 余下的一人则要插入前排 5 人的空挡 有种插法 1 5 5C 1 6 6C 故为 综上知选 C 112 566 C CP 解法二 从后排 8 人中选 2 人共种选法 这 2 人插入前排 4 人中且保证前排人的顺序不变 如果两个 2 8 C 戴氏教育集团 开阳校区 戴氏中考 高考 高中数学专用讲义 主讲 胡老师 第 5 页 共 8 页 心有多大 舞台就有多大 人相邻 则有种 如果两个人不相邻 则有种 由加法原理得 1 52 C P 2 52 C P 答案与解法一相同 这里用到公式 121222 5252552626 C PC PCCPC PP 11 1 rrr nnn CCC 思路 排列组合混合问题先选后排策略 解法三 不相邻问题插空策略思路 排列组合混合问题先选后排策略 解法三 不相邻问题插空策略 7 用数字 0 1 2 3 4 5 可以组成没有重复数字的四位数中 不能被整除的数共 5 解 正面解法 先排末位 不为 0 或 5 则有种 紧接着排最高位 最高位不为 0 有种 中间两 1 4 C 1 4 C 位种 则总共有种 2 4 P 112 444 192C C P 思路 特殊元素优先策略思路 特殊元素优先策略 8 用 1 2 3 4 5 6 组成六位数 没有重复数字 要求任何相邻两个数字的奇偶性不同 且 1 和 2 相邻 这样的六位数的个数是 用数字作答 解 本小题主要考查排列组合知识 依题先排除 1 和 2 的剩余 4 个元素有种方案 再向这排 22 22 28PP 好的 4 个元素中插入 1 和 2 捆绑的整体 有种插法 不同的安排方案共有种 1 5 P 221 225 240PPP 奇奇偶偶 1 2 1 2 1 2 2 1 2 1 思路 特殊元素优先策略 不相邻元素插空法 此题要注意的是捆绑元素因为顺序是固定的 所以可以思路 特殊元素优先策略 不相邻元素插空法 此题要注意的是捆绑元素因为顺序是固定的 所以可以 看做一个元素 看做一个元素 9 2009 四川卷 2 位男生和 3 位女生共 5 位同学站成一排 若男生甲不站两端 3 位女生中有且只有 两位女生相邻 则不同排法的种数是 A 60 B 48 C 42 D 36 解 第一步 先排女生 从 3 名女生中任取 2 人 捆 在一起记作 A A 共有种不同排法 22 32 6C P 剩下一名女生记作 B 两名男生分别记作甲 乙 第二步 排男生甲 男生甲必须在 A B 之间 若甲在 A B 两端 则为使 A B 不相邻 只有把男生乙排在 A B 之间 此时就不能满足男生甲不在两端的要 求 此时共有 6 2 12 种排法 A 左 B 右和 A 右 B 左 第三步 再在排好的三个元素中选出四个位置 插入乙 所以 共有 12 4 48 种不同排法 思路 特殊元素位置优先 捆绑法思路 特殊元素位置优先 捆绑法 插空法插空法 10 将 13 个球队分成 3 组 一组 5 个队 其它两组 4 个队 有多少分法 5442 13842 C C CA 思路 平均分组问题除法策略思路 平均分组问题除法策略 戴氏教育集团 开阳校区 戴氏中考 高考 高中数学专用讲义 主讲 胡老师 第 6 页 共 8 页 心有多大 舞台就有多大 11 2009 重庆卷理 将 4 名大学生分配到 3 个乡镇去当村官 每个乡镇至少一名 则不同的分配方案 有 种 用数字作答 解 分两步完成 第一步将 4 名大学生按 2 1 1 分成三组 其分法有 第二步将分好的三组 211 421 2 2 C C C P 分配到 3 个乡镇 其分法有所以满足条件得分配的方案有 3 P 211 3 421 3 2 2 36 C C C P P 思路 平均分组问题除法策略思路 平均分组问题除法策略 乘法原理乘法原理 12 10 名学生分成 3 组 其中一组 4 人 另两组 3 人 但正副班长不能分在同一组 有多少种不同的分组方 法 1540 思路 平均分组问题除法策略思路 平均分组问题除法策略 间接法间接法 13 某校高二年级共有六个班级 现从外地转入 4 名学生 要安排到该年级的两个班级且每班安排 2 名 则不同的安排方案种数为 2222 4262 90C C AA 思路 平均分组问题除法策略思路 平均分组问题除法策略 4 高考专题高考专题 1 一排 9 个座位坐了 3 个三口之家 若每家人坐在一起 则不同的坐法种数为 A B C D 3 3 3 33 4 3 9 2 将字母 a a b b c c排成三行两列 要求每行的字母互不相同 每列的字母也互不相同 则不同的排 列方法共有 A 12 种 B 18 种 C 24 种 D 36 种 3 现有 16 张不同的卡片 其中红色 黄色 蓝色 绿色卡片各 4 张 从中任取 3 张 要求这些卡片不 能是同一种颜色 且红色卡片至多 1 张 不同取法的种数为 D A 232 B 252 C 472 D 484 4 两人进行乒乓球比赛 先赢 3 局者获胜 决出胜负为止 则所有可能出现的情形 各人输赢局次的不 同视为不同情形 共有 A 10 种 B 15 种 C 20 种 D 30 种 5 三位同学参加跳高 跳远 铅球项目的比赛 若每人都选择其中两个项目 则有且仅有两人选择的项 目完全相同的概率是 结果用最简分数表示 6 将 2 名教师 4 名学生分成 2 个小组 分别安排到甲 乙两地参加社会实践活动 每个小组由 名教 1 师和 2 名学生组成 不同的安排方案共有 种 种 种 种 A12 B10 C D 7 从正方体的 6 个面中选取 3 个面 其中有 2 个面不相邻的选法共有 A 8 种 B 12 种 C 16 种 D 20 种 8 从 6 名志愿者中选出 4 人分别从事翻译 导游 导购 保洁四项不同工作 若其中甲 乙两名志愿者 都不能从事翻译工作 则选派方案共有 戴氏教育集团 开阳校区 戴氏中考 高考 高中数学专用讲义 主讲 胡老师 第 7 页 共 8 页 心有多大 舞台就有多大 A 280 种 B 240 种 C 180 种 D 96 种 9 某班新年联欢会原定的 5 个节目已排成节目单 开演前又增加了两个新节目 如果将这两个新节目插 入原节目单中 且两个新节目不相邻 那么不同插法的种数为 A 6 B 12 C 15 D 30 10 某班新年联欢会原定的 5 个节目已排成节目单 开演前又增加了两个新节目 如果将这两个节目插 入原节目单中 那么不同插法的种数为 A 42 B 30 C 20 D 12 11