2013海口二模海南省海口市2013年高考模拟二数学理含答案

海南省海口市海南省海口市 2013 年高考模拟试题年高考模拟试题 二二 数学 理科 注意事项 1 本次考试的试卷分为试题卷和答题卷 本卷为试题卷 请将答案和解答写在答题卷 指定的位置 在试题卷和其它位置解答无效 2 本试卷满分 150 分 考试时间 120 分钟 第 卷 选择题 一 选择题 本大题共 12 小题 每小题 5 分 共 60 分 在每小题给出的四个选项中 只有 一项是符合题目要求的 每小题选出答案后 请用 2B 铅笔把机读卡上对应题目的答案标号 涂黑 如需改动 用橡皮擦干净后 再选涂其他答案标号 在本卷上作答无效 1 设全集合 集合 则集合 3 AxRx 1 1 BxR x RA B A B C D 1 3 1 3 3 0 1 3 3 0 1 3 2 已知命题 中 命题 是钝角三角形 则是的pABC0AB AC qABCpq A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充分必要条件 D 既不充分也不必要条件 3 复数的共轭复数在复平面上对应的点在 2013 2013 12 1 i z i A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限 4 若 则下列不等式 0a 0b 2ab 22 2ab 11 2 ab 1ab 恒成立的是2ab A B C D 5 已知 e 是自然对数的底数 函数e的零点为 函数 f x 2 x x a 的零点为 则下列不等式中成立的是 ln2g xxx b A B 1f aff b 1f af bf C D 1ff af b 1f bff a 6 设 则 32 sin 45 sin2 A B C D 8 25 8 25 17 25 17 25 7 过双曲线的左焦点作垂直于双曲线渐近线的直线 以右焦点 22 22 1 0 0 xy ab ab 1 F 为圆心 为半径的圆和直线相切 则双曲线的离心率为 2 F 2 OF A B C D 3 2 235 8 设偶函数 的部分图象如图所示 sin xAxf 0 A 0 0 KLM 为等腰直角三角形 KML 90 则的值为 1KL 1 6 f A B C D 4 3 1 4 1 2 4 3 9 某几何体的三视图如右图所示 则该几何体的表面积为 A B 75 9 C D 4510 45 5 10 海口市某次考试有 10000 名考生 现从中随机抽取 100 名考生的成绩 1 x 作为样本 执行如上图所示的程序框图 输入 2 x 3 x 100 x 1 x 输出的结果 若总体服从正态分布 试估计该次考试 2 x 3 x 100 x4S 7x 中 10000 名考生的成绩不小于 5 分的人数为 A 人 B 人34134772 C 人 D 人84139722 参考数据 若 则 2 XN 0 6826PX 220 9544PX 330 9974PX 11 已知球的半径 线段上一点满足 过且与成 O3OD ODM2OMMD MOD30 角的平面截球的表面得到圆 三棱锥的底面内接于圆 顶点在OCSABC ABCCS 球的表面上 则三棱锥体积的最大值为OSABC A B C D 8 68 34 64 3 12 已知函数在处的切线斜率为 则的图象和直线与 lnf xaxx 1x lng xax xe 轴所围成的图形的面积是x A B C D 1e 2 1e 第 9 题图 第 10 题图 第 8 题图 x y K LO M 第 卷 非选择题 二 填空题 本大题共 4 小题 每小题 5 分 共 20 分 把答案填在答题卡中的指定位置 13 的常数项等于 6 1 2 x x 14 已知区域 向区域内随机 1 0 1 yx x yy x 1 0 yx Mx y y 投一点 点落在区域内的概率为 PPM 15 在 中 角 所对的边分别是 若 且ABCABCabc sin 2 sin C A 则 22 3 2 baac cosB 16 已知抛物线的焦点为 过焦点倾斜角为的直线交抛物线于 2 2 0 ypx p FF30 A 两点 点 在抛物线准线上的射影分别是 若四边形的面积为BAB A B AA B B 则抛物线的方程为 48 三 解答题 本大题共 5 小题 共 60 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步 骤 请 将答题的过程写在答题卷中指定的位置 17 本小题满分 12 分 设数列的前项和为 且 n an n S221 nn aSn nN 求 123 a a a 求证 数列是等比数列 2 n a 求数列的前项和 n nan n T 18 本小题满分 12 分 2013 年 首都北京经历了 59 年来雾霾天气最多的一个月 经气象局统计 北京市从 1 月 1 日至 1 月 30 日这 30 天里有 26 天出现雾霾天气 环境空气质量指数 AQI 技术规 定 试行 依据 AQI 指数高低将空气污染级别分为 优 指数为 0 50 良 指数为 51 100 轻微污染 指数为 101 150 轻度污染 指数为 151 200 中度污染 指数为 201 250 中度重污染 指数为 251 300 重度污染 指数大于 300 下面表 1 是该观测 点记录的 4 天里 AQI 指数与当天的空气水平可见度 千米 的情况 表 2 是某气象My 观测点记录的北京 1 月 1 日到 1 月 30 日 AQI 指数频数统计结果 表表 1 1 AQIAQI 指数指数与当天的空气水平可见度与当天的空气水平可见度 千米 情况 千米 情况My AQI 指数M900700300100 空气可见度 千米 y 0 53 56 59 5 表表 2 2 北京 北京 1 1 月月 1 1 日到日到 1 1 月月 3030 日日 AQIAQI 指数频数统计指数频数统计 设变量 根据表 1 的数据 求出关于的线性回归方程 100 M x y x 小王在记录表 2 数据的观测点附近开了一家小饭馆 饭馆生意的好坏受空气质量 影响很大 假设每天空气质量的情况不受前一天影响 经小王统计 AQI指数不高于 时 饭馆平均每天净利润约 700 元 AQI 指数在至时 饭馆平均每天净利润约200200400 元 AQI指数大于时 饭馆每天要净亏损 200 元 400400 将频率看作概率 求小王在连续三天里饭馆净利润约 1200 元的概率 计算该饭馆一月份每天收入的数学期望 用最小二乘法求线性回归方程系数公式 1 2 2 1 n ii i n i i x ynxy b xnx aybx 19 本小题满分 12 分 如图 在四棱锥中 PABCD ADBC ABAD 平面平面ABPA 224BCABADBE PAB ABCD 求证 平面平面 PED PAC 若直线与平面所成的角的正弦值为 PEPAC 求二面角的平面角的余弦值 5 5 APCD 20 本小题满分 12 分 定义 若两个椭圆的离心率相等 则称两个椭圆是 相似 的 如图 椭圆与椭圆 1 C 2 C 是相似的两个椭圆 并且相交于上下两个顶点 椭圆 的长轴长是 1 C 22 22 1 0 xy ab ab 4 椭圆 短轴长是 1 点 分别是椭圆的左焦点与右焦 2 C 22 22 1 0 yx mn mn 1 F 2 F 1 C 点 AQI 指数 0 200 200 400 400 600 600 800 800 1000 频数361263 第 19 题图 求椭圆 的方程 1 C 2 C 过的直线交椭圆于点 求 1 F 2 CMN 面积的最大值 2 F MN 21 本小题满分 12 分 设函数 2 cosf xaxx 证明 时 函数在上单调递增 1 2 a f x 0 证明 恒成立 2 4sin2 ln310 xxxx 四 选考题 从下列三道解答题中任选一道作答 作答时 请注明题号 若多做 则按首 做题计入总分 满分 10 分 请将答题的过程写在答题卷中指定的位置 22 本小题满分 10 分 选修 4 1 几何证明选讲 切线与圆切于点 圆内有一点满足 的平分线交圆于 ABBCABAC CAB AED 延长交圆于 延长交圆于 连EECFDCG 接 FG 证明 ACFG 求证 ECEG 23 本小题满分 10 分 选修 4 4 坐标系与参数方程 已知曲线的极坐标方程是 以极点为原点 极轴为轴正方向建立平面直 1 C4cos x 角坐标系 直线的参数方程是 为参数 2cos 1sin xt yt 求曲线的直角坐标方程 1 C 设直线与曲线交于 两点 点的直角坐标为 若 求 1 CABM 2 1 3ABMB 直线的普通方程 第 20 题图 第 22 题图 24 本小题满分 10 分 选修 4 5 不等式选讲 已知函数 1 f xxxa 若 求不等式的解集 0a 0f x 若方程有三个不同的解 求的取值范围 f xx a 2013 年海口市高考模拟测试 数学试题 理科 参考答案 一 选择题 一 选择题 题号123456789101112 答案DACBADBDACBA 三 解答题 三 解答题 13 14 15 16 60 1 2 1 4 2 2 3yx 三 解答题三 解答题 17 解 解 123 3 8 18aaa 3 分 因为 所以有成立221 nn aSn 11 223 nn aSn 两式相减得 所以 即 11 222 nnn aaa 1 22 nn aa 1 22 2 nn aa 所以数列是以 5 为首项 公比为 2 的等比数列 2 n a 7 分 由 得 即 则 1 25 2n n a 1 5 22 n n a 1 522 n n nann 设数列的前项和为 1 52 n n n n P 则 011 5 1 25 2 252n n Pn 121 25 1 25 2 25 1 252 nn n Pnn 两式相减得 121 55 25 25 252 55 25 nnn n Pnn 所以 55 25 n n Pn 所以数列的前项和 n nan 1 55 252 2 n n n n Tn 整理得 2 55 25 n n Tnnn 12 分 18 解 由 则 100 M x 1 9x 2 7x 3 3x 4 1x 5x 5y 4 1 90 573 53 6 51 9 558 ii i x y 4 2 1 140 i i x 2 5845 521 1404520 b 2141 55 204 a 关于的线性回归方程是 yx 2141 204 yx 8 分 由表 2 知AQI指数不高于的频率为 0 1 AQI 指数在至的频率为200200400 0 2 AQI指数大于的频率为 0 7 设 饭馆某天收入约 700 元 为事件 饭馆某天400A 收入约 400 元 为事件 饭馆某天亏损约 200 元 为事件 若将频率看作概率 则BC 0 1P A 0 2P B 0 7P C 则 连续三天里饭馆净利润约 1200 元 的概率 322 3 0 20 10 70 029PP BBBP ACCP CACP CCAC 8 分 由 设饭馆每天的收入为 则的分布列为XX X200 400700 P0 70 20 1 10 分 则的数学期望为 X 2000 74000 27000 1E X 10 12 分 19 法一 取中点 连接 则 ADFBF FDBE 四边形是平行四边形 FBEDFBED 直角 和直角 中 BAFCBA2 BACB AFBA 直角 直角 易知BAF CBABFAC 2 分EDAC 平面平面 平面平面 PAB ABCDPAB ABCDAB ABPA 平面PA ABCD 4 分PAED PAACA 平面 5 分ED PAC 平面平面 6 分PED PAC 设交于 连接 则是直线与平面所成的角 设EDACGPGEPG PEPAC1BE 由 知 AGD CGE 2 3 DGAD GEEC 2ABAD 33 5 55 EGDE 2 5 5 DG 5 sin 5 EG EPG PE 3PE 22 5 2AEPAPEAE 9 分 作于 由 知平面 GHPC HPCDE PC HDG PCDG 是二面角的平面角 GHD APCD 10 分 PCA GCH 而 PAPC GHGC 22 6 5 5 GCCEEG 30 5 PA GC GH PC 6 tan 3 GHD 即二面角的平面角的余弦值为 15 cos 5 GHD APCD 15 5 12 分 法二 平面平面 PAB ABCD 平面平面 PAB ABCDAB ABPA 平面PA ABCD 又 故可如图建立空间直角坐标系ABAD oxyz 2 分 由已知 0 2 0 D 2 1 0 E 2 4 0 C 0 0 P 0 2 4 0 AC 0 0 AP 2 1 0 DE 4400DE AC 0DE AP DEAC DEAP 平面 4 分ED PAC 平面平面 6 分PED PAC 由 平面的一个法向量是 PAC 2 1 0 DE 2 1 PE 设直线与平面所成的角为 PEPAC 2 415 sin cos 5 5 5 PE DE 2 0 即 2 0 0 2 P 8 分 设平面的一个法向量为 PCDn 000 xyz 2 2 0 DC 0 2 2 DP 由 nDC nDP 令 则 00 00 220 220 xy yz 0 1x n 1 1 1 10 分 cos n 2115 535 DE 11 分 显然二面角的平面角是锐角 APCD 二面角的平面角的余弦值为 APCD 15 5 12 分 20 设椭圆的半焦距为 椭圆的 由已知 1 Cc 2 C c 2 a bm 1 2 n 椭圆与椭圆的离心率相等 即 1 C 2 C cc am 即 2222 22 abmn am 22 1 1 bn am bn am 3 分 即 2 1bmban 1bm 4 分 椭圆的方程是 椭圆的方程是 1 C 2 2 1 4 x y 2 C 2 2 1 1 4 x y 6 分 显然直线的斜率不为 故可设直线的方程为 03xmy 联立 得 即 22 3 41 xmy yx 22 4 3 10ymy 22 14 8 3110mymy 7 分 222 19244 14 16440mmm 2 2 2 411 2 1 14 m MNm m 8 分 的高即为点到直线的距离 2 F MN 2 F 30l xmy 22 303 2 3 11 m h mm 9 分 的面积 2 F MN 2 2 2 2 14112 3 2 3 12 214 411 411 m SMN h m m m 等号成立当且仅当 即 2 2 12 4112 124 3 411 m m 2 2 12 411 411 m m 时 23 2 m 即 的面积的最大值为 2 31 24 3 S 2 F MN 1 2 12 分 21 证明 则 2sing xfxaxx 0 0g 2cosg xax 1 分 1 2 a 1cos1x 2cos1cos1 10g xaxx 在单调递增 g x 0 3 分 即 min 0 0gxg 0fx 5 分 从而在上单调递增 f x 0 6 分 证明 要证 2 4sin2 ln310 xxxx 只需证 即 证明如下 2 2 ln314sinxxxx 1 2ln3 4sinxxxx x 设 则 1 2ln3h xxx x 2 222 21321 31 1 3 xxxx h x xxxx 8 分 已知当时 单调递减 0 1 x 0h x h x 当时 单调递增 1 x 0h x h x 在上的最小值为 即 h x 0 1 4h 1 2ln34h xxx x 10 分 又由 当且时 1 2 a 0 x sinxx 即不等式恒成立 1 2ln3 4sinxxxx x 2 4sin2 ln310 xxxx 12 分 四 选考题 从下列三道解答题中任选一道作答 作答时 请注明题号 若多做 则按首 做题计入总分 满分 10 分 请将答题的过程写在答题卷中指定的位置 22