【步步高】2014届高三数学一轮 13.2 合情推理与演绎推理导学案 理 北师大版

1 13 2 13 2 合情推理与演绎推理合情推理与演绎推理 2014 高考会这样考 1 从近几年的高考来看 高考对本部分的考查多以选择或填空题的 形式出现 主要考查利用归纳推理 类比推理去寻求更为一般的 新的结论 试题的难度 以低 中档为主 2 演绎推理主要与立体几何 解析几何 函数与导数等知识结合在一起 命制综合题 复习备考要这样做 1 联系具体实例 体会几种推理的概念和特点 并结合这些方法解决 一些应用问题 2 培养归纳 类比 演绎的推理思维模式 培养分析 解决问题的能力 1 合情推理主要包括归纳推理和类比推理 合情推理的过程 1 归纳推理 根据一类事物中部分事物具有某种属性 推断该类事物中每一个事物都 有这种属性 我们将这种推理方式称为归纳推理 简称归纳 简言之 归纳推理是由 部分到整体 由个别到一般的推理 归纳推理的基本模式 a b c M且a b c具有某属性 结论 任意d M d也具有某属性 2 类比推理 由于两类不同对象具有某些类似的特征 在此基础上 根据一类对象的 其他特征 推断另一类对象也具有类似的其他特征 我们把这种推理过程称为类比推 理 简称类比 简言之 类比推理是由特殊到特殊的推理 类比推理的基本模式 A 具有属性a b c d B 具有属性a b c 结论 B具有属性d a b c d与a b c d 相似或相同 2 演绎推理 从一般性的原理出发 推出某个特殊情况下的结论 我们把这种推理称为 演绎推理 简言之 演绎推理是由一般到特殊的推理 1 三段论 是演绎推理的一般模式 包括 大前提 已知的一般原理 小前提 所研究的特殊情况 结论 根据一般原理 对特殊情况做出的判断 2 三段论 可以表示为 大前提 M是P 2 小前提 S是M 结论 S是P 用集合说明 即若集合M的所有元素都具有性质P S是M的一个子集 那么S中所有 元素也都具有性质P 难点正本 疑点清源 1 在解决问题过程中 合情推理具有猜测和发现结论 探索和提供思路的作用 合情推 理的结论可能为真 也可能为假 结论的正确性有待于进一步的证明 2 应用三段论解决问题时 应首先明确什么是大前提 什么是小前提 如果大前提与推 理形式是正确的 结论必定是正确的 如果大前提错误 尽管推理形式是正确的 所 得结论也是错误的 3 演绎推理是由一般到特殊的推理 它常用来证明和推理数学问题 注意推理过程的严 密性 书写格式的规范性 1 2012 陕西 观察下列不等式 1 1 22 3 2 1 1 22 1 32 5 3 1 1 22 1 32 1 42 7 4 照此规律 第五个不等式为 答案 1 1 22 1 32 1 42 1 52 1 62 11 6 解析 观察每行不等式的特点 每行不等式左端最后一个分数的分母的开方与右端值 的分母相等 且每行右端分数的分子构成等差数列 第五个不等式为 1 0 观察 x x 2 f1 x f x x x 2 f2 x f f1 x x 3x 4 f3 x f f2 x x 7x 8 f4 x f f3 x x 15x 16 根据以上事实 由归纳推理可得 3 当n N N 且n 2 时 fn x f fn 1 x 答案 x 2n 1 x 2n 解析 依题意 先求函数结果的分母中x项系数所组成数列的通项公式 由 1 3 7 15 可推知该数列的通项公式为an 2n 1 又函数结果的分母中常数项依 次为 2 4 8 16 故其通项公式为bn 2n 所以当n 2 时 fn x f fn 1 x x 2n 1 x 2n 3 给出下列三个类比结论 ab n anbn与 a b n类比 则有 a b n an bn loga xy logax logay与 sin 类比 则有 sin sin sin a b 2 a2 2ab b2与 a a b b 2类比 则有 a a b b 2 a a2 2a a b b b b2 其中结论正确的个数是 A 0 B 1 C 2 D 3 答案 B 4 因为指数函数y ax是增函数 大前提 而y x是指数函数 小前提 所以函数 1 3 y x是增函数 结论 上面推理的错误在于 1 3 A 大前提错误导致结论错 B 小前提错误导致结论错 C 推理形式错误导致结论错 D 大前提和小前提错误导致结论错 答案 A 5 2012 江西 观察下列各式 a b 1 a2 b2 3 a3 b3 4 a4 b4 7 a5 b5 11 则a10 b10等于 A 28 B 76 C 123 D 199 答案 C 解析 从给出的式子特点观察可推知 等式右端的值 从第三项开始 后一个式子的 右端值等于它前面两个式子右端值的和 照此规律 则a10 b10 123 题型一 归纳推理 例 1 已知函数f x x2 1 x2 1 分别求f 2 f f 3 f f 4 f的值 1 2 1 3 1 4 4 2 归纳猜想一般性结论 并给出证明 3 求值 f 1 f 2 f 3 f 2 012 f f f 1 2 1 3 1 2 012 思维启迪 所求函数值的和应该具有规律性 经观察可发现f x f 1 1 x 解 1 f x x2 1 x2 f 2 f 1 1 2 22 1 22 1 2 2 1 1 2 2 22 1 22 1 22 1 同理可得f 3 f 1 f 4 f 1 1 3 1 4 2 由 1 猜想f x f 1 1 x 证明 f x f 1 x x2 1 x2 1 x 2 1 1 x 2 1 x2 1 x2 1 x2 1 3 由 2 可得 原式 f 1 f 2 f 1 2 f 3 f 1 3 f 2 012 f 1 2 012 f 1 2 011 2 011 1 2 4 023 2 探究提高 本题实质是根据前几项 归纳猜想一般规律 归纳推理是由部分到整体 由特殊到一般的推理 由归纳推理所得的结论不一定正确 通常归纳的个体数目越多 越具有代表性 那么推广的一般性命题也会越可靠 它是一种发现一般性规律的重要 方法 已知经过计算和验证有下列正确的不等式 2 2 0 n 0 则当m n 20 时 有 0 n 0 则当 10 m n 20 时 有 0 且a 1 a ax a 1 证明 函数y f x 的图像关于点对称 1 2 1 2 2 求f 2 f 1 f 0 f 1 f 2 f 3 的值 1 证明 函数f x 的定义域为全体实数 任取一点 x y 它关于点对称的 1 2 1 2 点的坐标为 1 x 1 y 由已知得y a ax a 则 1 y 1 a ax a ax ax a f 1 x a a1 x a a a ax a a ax a a ax ax ax a 1 y f 1 x 即函数y f x 的图像关于点对称 1 2 1 2 2 解 由 1 有 1 f x f 1 x 即f x f 1 x 1 f 2 f 3 1 f 1 f 2 1 f 0 f 1 1 则f 2 f 1 f 0 f 1 f 2 f 3 3 归纳不准确致误 典例 5 分 如图所示 坐标纸上的每个单元格的边长为 1 由下往上的六个点 1 2 3 4 5 6 的横 纵坐标分别对应数列 an n N N 的前 12 项 如下表所示 a1a2a3a4a5a6a7a8a9a10a11a12 x1y1x2y2x3y3x4y4x5y5x6y6 8 按如此规律下去 则a2 009 a2 010 a2 011等于 A 1 003 B 1 005 C 1 006 D 2 010 易错分析 本题中的 按如此规律下去 就是要求由题目给出的 6 个点的坐标和数列 的对应关系 归纳出该数列的一般关系 可能出现的错误有两种 一是归纳时找不准 前几项 的规律 胡乱猜测 二是弄错奇偶项的关系 本题中各个点的纵坐标对应 数列的偶数项 并且逐一递增 即a2n n n N N 各个点的横坐标对应数列的奇数项 正负交替后逐一递增 并且满足a4n 3 a4n 1 0 n N N 如果弄错这些关系就会得到 错误的结果 如认为当n为偶数时an n 就会得到a2 009 a2 010 a2 011 2 010 的错 误结论 而 选 D 解析 a1 1 a2 1 a3 1 a4 2 a5 2 a6 3 a7 2 a8 4 这个数 列的规律是奇数项为 1 1 2 2 3 偶数项为 1 2 3 故a2 009 a2 011 0 a2 010 1 005 故a2 009 a2 010 a2 011 1 005 答案 B 温馨提醒 由归纳推理得到的结论具有猜测的性质 结论是否真实 还需经过逻辑证 明和实践检验 因此 它不能作为数学证明的工具 方法与技巧 1 合情推理主要包括归纳推理和类比推理 数学研究中 在得到一个新结论前 合情推 理能帮助猜测和发现结论 在证明一个数学结论之前 合情推理常常能为证明提供思 路与方向 2 演绎推理是从一般的原理出发 推出某个特殊情况下的结论的推理方法 是由一般到 特殊的推理 常用的一般模式是三段论 数学问题的证明主要通过演绎推理来进行 3 合情推理仅是 合乎情理 的推理 它得到的结论不一定正确 而演绎推理得到的结 论一定正确 前提和推理形式都正确的前提下 失误与防范 1 合情推理是从已知的结论推测未知的结论 发现与猜想的结论都要经过进一步严格证 明 2 演绎推理是由一般到特殊的证明 它常用来证明和推理数学问题 注意推理过程的严 密性 书写格式的规范性 3 合情推理中运用猜想时不能凭空想象 要有猜想或拓展依据 9 A 组 专项基础训练 时间 35 分钟 满分 57 分 一 选择题 每小题 5 分 共 20 分 1 正弦函数是奇函数 f x sin x2 1 是正弦函数 因此f x sin x2 1 是奇函数 以上推理 A 结论正确 B 大前提不正确 C 小前提不正确 D 全不正确 答案 C 解析 f x sin x2 1 不是正弦函数是复合函数 所以小前提不正确 2 由 若a b 0 m 0 则与 之间的大小关系为 7 10 5 8 9 11 8 10 13 25 9 21 b m a m b a A 相等 B 前者大 C 后者大 D 不确定 答案 B 3 由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则 mn nm 类比得到 a a b b b b a a m n t mt nt 类比得到 a a b b c c a a c c b b c c m n t m n t 类比得到 a a b b c c a a b b c c t 0 mt xt m x 类比得到 p p 0 a a p p x x p p a a x x m n m n 类比得到 a a b b a a b b 类比得到 ac bc a b a a c c b b c c a a b b 以上式子中 类比得到的结论正确的个数是 A 1 B 2 C 3 D 4 答案 B 解析 正确 错误 4 2011 江西 观察下列各式 72 49 73 343 74 2 401 则 72 011的末两位数字 为 A 01 B 43 C 07 D 49 答案 B 解析 因为 71 7 72 49 73 343 74 2 401 75 16 807 76 117 649 所以这 些数的末两位数字呈周期性出现 且周期T 4 又因为 2 011 4 502 3 所以 72 011 的末两位数字与 73的末两位数字相同 故选 B 二 填空题 每小题 5 分 共 15 分 5 在 Rt ABC中 若 C 90 AC b BC a 则 ABC外接圆半径r 运用 a2 b2 2 类比方法 若三棱锥的三条侧棱两两互相垂直且长度分别为a b c 则其外接球的 10 半径R 答案 a2 b2 c2 2 解析 构造法 通过类比可得R 证明 a2 b2 c2 2 作一个在同一个顶点处棱长分别为a b c的长方体 则这个长方体的体对角线的长 度是 故这个长方体的外接球的半径是 这也是所求的三棱 a2 b2 c2 a2 b2 c2 2 锥的外接球的半径 6 在平面内有n n N N n 3 条直线 其中任何两条不平行 任何三条不过同一点 若 这n条直线把平面分成f n 个平面区域 则f 5 的值是 f n 的表达式是 答案 16 f n n2 n 2 2 解析 由题意 n条直线将平面分成 1 个平面区域 故f 5 16 f n n n 1 2 n2 n 2 2 7 仔细观察下面 和 的排列规律 若依此规律继续下去 得到一系列的 和 那么在前 120 个 和 中 的个数是 答案 14 解析 进行分组 则前n组两种圈的总数是f n 2 3 4 n 1 易知 n n 3 2 f 14 119 f 15 135 故n 14 三 解答题 共 22 分 8 10 分 已知函数y f x 满足 对任意a b R R a b 都有af a bf b af b bf a 试证明 f x 为 R R 上的单调增函数 证明 设x1 x2 R R 取x1x1f x2 x2f x1 x1 f x1 f x2 x2 f x2 f x1 0 f x2 f x1 x2 x1 0 x10 f x2 f x1 所以y f x 为 R R 上的单调增函数 9 12 分 f x 先分别求f 0 f 1 f 1 f 2 f 2 f 3 然后归 1 3x 3 纳猜想一般性结论 并给出证明 11 解 f 0 f 1 1 30 3 1 31 3 1 1 3 1 3 1 3 3 3 1 3 1 3 1 3 3 3 同理可得 f 1 f 2 f 2 f 3 3 3 3 3 由此猜想f x f 1 x 3 3 证明 f x f 1 x 1 3x 3 1 31 x 3 1 3x 3 3x 3 3 3x 1 3x 3 3x 3 3 3x 3 3x 3 3 3x 3 3 B 组 专项能力提升 时间 25 分钟 满分 43 分 一 选择题 每小题 5 分 共 15 分 1 定义一种运算 对于自然数n满足以下运算性质 1 1 1 1 2 n 1 1 n 1 1 则 n 1 等于 A n B n 1 C n 1 D n2 答案 A 解析 由 n 1 1 n 1 1 得n 1 n 1 1 1 n 2 1 2 1 1 n 1 又 1 1 1 n 1 n 2 为提高信息在传输中的抗干扰能力 通常在原信息中按一定规则加入相关数据组成传 输信息 设定原信息为a0a1a2 ai 0 1 i 0 1 2 传输信息为h0a0a1a2h1 其中 h0 a0 a1 h1 h0a2 运算规则为 00 0 01 1 10 1 11 0 例如原 信息为 111 则传输信息为 01111 信息在传输过程中受到干扰可能导致接收信息出错 则下列接收信息一定有误的是 A 11010 B 01100 C 10111 D 00011 答案 C 解析 对于选项 C 传输信息是 10111 对应的原信息是 011 由题目中运算规则知 h0 01 1 而h1 h0 a2 1 1 0 故传输信息应是 10110 12 3 已知函数f x sin x ex x2 010 令f1 x f x f2 x f1 x f3 x f2 x fn 1 x fn x 则f2 011 x 等于 A sin x ex B cos x ex C sin x ex D cos x ex 答案 D 解析 f1 x f x cos x ex 2 010 x2 009 f2 x f 1 x sin x ex 2 010 2 009x2 008 f3 x f 2 x cos x ex 2 010 2 009 2 008x2 007 f4 x f 3 x sin x ex 2 010 2 009 2 008 2 007x2 006 由此可以看出 该函数前 2 项的和成周期性变化 周期T 4 而f2 011 x f 2 010 x 此时其最后一项的导数将变为 0 故求f2 011 x 的值 只需研究该函数前 2 项和的变化规律即可 于是 f2 011 x f 3 4 502 x cos x ex 二 填空题 每小题 5 分 共 15 分 4 给出下列命题 命题 1 点 1 1 是直线y x与双曲线y 的一个交点 1 x 命题 2 点 2 4 是直线y 2x与双曲线y 的一个交点 8 x 命题 3 点 3 9 是直线y 3x与双曲线y 的一个交点 27 x 请观察上面命题 猜想出命题n n是正整数 为 答案 点 n n2 是直线y nx与双曲线y 的一个交点 n3 x 解析 观察题中给出的命题易知 命题n中交点坐标为 n n2 直线方程为y nx 双曲线方程为y 故猜想命题n 点 n n2 是直线y nx与双曲线y 的一个交 n3 x n3 x 点 5 2012 湖北 回文数是指从左到右读与从右到左读都一样的正整数 如 22 121 3 443 94 249 等 显然 2 位回文数有 9 个 11 22 33 99 3 位回文数有 90 个 101 111 121 191 202 999 则 1 4 位回文数有 个 2 2n 1 n N N 位回文数有 个 答案 90 9 10n 解析 1 4 位回文数有 1001 1111 1221 1991 10 个 13 2001 2112 2222 2992 10 个 9009 9119 9229 9999 10 个 共 90 个 2 5 位回文数有 Error 100 个 Error 100 个 5 位回文数共 9 102个 又 3 位回文数有 9 101个 2n 1 位回文数共 9 10n个 6 2012 福建 数列 an 的通项公式an ncos 1 前n项和为Sn 则S2 n 2 012 答案 3 018 解析 当n 4k 1 k