《实变函数》试卷一与参考答案

第 1 页 共 10 页 学院学院第第 学年度第学年度第 学期学期 实变实变函数函数 试试卷一卷一 专业 班级 姓名 学号 注注 意意 事事 项项 1 本试卷共 6 页 2 考生答题时必须准确填写专业 班级 学号等栏目 字迹要清楚 工 整 一 单项选择题一 单项选择题 3 分 5 15 分 1 1 下列各式正确的是 A B 1 lim nk nnk n AA 1 lim nk nk nn AA C D 1 lim nk nnk n AA 1 lim nk nk nn AA 2 设 P 为 Cantor 集 则下列各式不成立的是 A c B C D P0mP PP PP 3 下列说法不正确的是 A 凡外侧度为零的集合都可测 B 可测集的任何子集都可测 C 开集和闭集都是波雷耳集 D 波雷耳集都可测 4 设是上的有限的可测函数列 则下面不成立的是 n fxE ae 题号一二三四五总分 得分 得 分 考生答题不得超此线 第 2 页 共 10 页 A 若 则 B 是可测函数 n fxf x n fxf x sup n n fx C 是可测函数 D 若 则可测 inf n n fx n fxf x f x 5 设 f x 是上有界变差函数 则下面不成立的是 ba A 在上有界 B 在上几乎处处存在导数 xf ba xf ba C 在上 L 可积 D xf ba b a afbfdxxf 二二 填空题填空题 3 分 5 15 分 1 ss C AC BAAB 2 设是上有理点全体 则 E 0 1 E o EE 3 设是中点集 如果对任一点集都有E n RT 则称是可测的EL 4 可测的 条件是它可以表成一列简单函数的极限函数 xf 填 充分 必要 充要 5 设为上的有限函数 如果对于的一切分划 使 f x a b a b 则称为 f x 上的有界变差函数 a b 三 下列命题是否成立三 下列命题是否成立 若成立若成立 则证明之则证明之 若不成立若不成立 则举则举 反例说明反例说明 5 分 4 20 分 1 设 若E是稠密集 则是无处稠密集 1 ER CE 2 若 则一定是可数集 0 mEE 得 分 得 分 第 3 页 共 10 页 3 若是可测函数 则必是可测函数 f x f x 4 设在可测集上可积分 若 则 f xE 0 xE f x 0 E f x 四 解答题四 解答题 8 分 2 16 分 1 8分 设 则在上是否可积 是否 2 1 xx f x x 为无理数 为有理数 f x 0 1R 可积 若可积 求出积分值 L 得 分 考 生 答 题 不 得 超 过 此 线 第 4 页 共 10 页 2 8分 求 0 ln limcos x n xn exdx n 五 证明题五 证明题 6 分 4 10 34 分 1 6 分 证明上的全体无理数作成的集其势为 0 1c 得 分 第 5 页 共 10 页 2 6 分 设是上的实值连续函数 则对于任意常数 f x 是闭集 a Ex f xa 3 6 分 在上的任一有界变差函数都可以表示为两个增函数之差 a b f x 4 6 分 设在上可积 则 mEf x E n eEfn lim0 n n n me 考 生 答 题 不 得 超 过 此 线 第 6 页 共 10 页 5 10分 设是上有限的函数 若对任意 存在闭子集 f xE ae0 使在上连续 且 证明 是上的可测函FE f xF m EF f xE 数 鲁津定理的逆定理 得 分 阅卷人 复查人 第 7 页 共 10 页 试卷一试卷一 参考答案及评分标准 参考答案及评分标准 一 1 C 2 D 3 B 4 A 5 D 二 1 2 3 0 1 0 1 m Tm TEm TCE 4 充要 5 成一有界数集 1 1 n ii i f xf x 三 1 错误 2 分 例如 设是上有理点全体 则和都在中稠密E 0 1ECE 0 1 5 分 2 错误 2 分 例如 设是集 则 但c 故其为不可数集ECantor0mE E 5 分 3 错误 2 分 例如 设是上的不可测集 E a b x xE f x x xa bE 则是上的可测函数 但不是上的可测函 f x a b f x a b 数 5 分 4 错误 2 分 5 分0mE 时 对E上任意的实函数 f x 都有 0 E f x dx 四 1 在上不是可积的 因为仅在处连续 即不连续点为 f x 0 1R f x1x 正测度集 3 分 因为是有界可测函数 在上是可积的 6 分 f x f x 0 1L 第 8 页 共 10 页 因为与相等 进一步 8 分 f x 2 x ae 1 2 0 10 1 3 f x dxx dx 2 解 设 则易知当时 ln cos x n xn fxex n n 0 n fx 2 分 又因 所以当时 2 ln1 ln 0 tt tt 3t 3 0nx 4 分 ln ln ln3ln3 1 33 xnnxxnnx x nnxnn 从而使得 6 分 ln3 1 3 x n fxx e 但是不等式右边的函数 在上是可积的 故有 0 L 8 分 00 lim lim 0 nn nn fx dxfx dx 五 1 设 0 1 E AEQ BEEQ 2 分BMB 是无限集 可数子集 3 分 AAMM 是可数集 5 分 BMB MEABAMB M AMB MMB M 且 6 分 EBBc 2 2 分 lim nn n xEExxx 则存在中的互异点列使 3 分 nn xEf xa lim n n f xxf xf xa 在点连续 5 分xE 6 分E 是闭集 3 对 使对任意互不相交的有限个1 0 ii a ba b 第 9 页 共 10 页 当时 有 2 分 1 n ii i ba 1 1 n ii i f bf a 将等分 使 对 有 a bm 1 1 n ii i xx T 101i xzz ki zx 所以在上是有界变差函 1 1 1 k ii i f zf z f x 1 ii xx 数 5 分 所以从而 因此 是上的有界变差函 1 1 i i x x f V b a fm V f x a b 数 6 分 4 在上可积 2 分 f xElim 0 n mEfnmEf 据积分的绝对连续性 0 0 eE me 有 4 分 e f xdx 对上述 从而 即0 knk mEfn n n e n mef xdx 6 分lim0 n n n me 5 存在闭集在连 nN 1 2 nn n FE m EFf x n F 续 2 分 令 则在连 1 n kn k FF nn n k xFk x