函数定义域与值域经典类型总结-练习题-含答案

1 求函数定义域 值域方法和典型题归纳求函数定义域 值域方法和典型题归纳 一 基础知识整合一 基础知识整合 1 函数的定义 设集合 A 和 B 是非空数集 按照某一确定的对应关系 f 使得集合 A 中任意一个数 x 在集合 B 中都有唯一确定的数 f x 与之对应 则称 f 为 A 到 B 的一个函数 2 由定义可知 确定一个函数的主要因素是 确定的对应关系 f 集 合 A 的取值范围 由这两个条件就决定了 f x 的取值范围 y y f x x A 3 定义域 由于定义域是决定函数的重要因素 所以必须明白定义域指的 是 1 自变量放在一起构成的集合 成为定义域 2 数学表示 注意一定是用集合表示的范围才能是定义域 特殊的一 个个的数时用 列举法 一般表示范围时用集合的 描述法 或 区 间 来表示 4 值域 是由定义域和对应关系 f 共同作用的结果 是个被动变量 所以求值域时一定注意求的是定义域范围内的函数值的范围 1 明白值域是在定义域 A 内求出函数值构成的集合 y y f x x A 2 明白定义中集合 B 是包括值域 但是值域不一定为集合 B 二 求函数定义域二 求函数定义域 一 求函数定义域的情形和方法总结 一 求函数定义域的情形和方法总结 1 1 已知函数解析式时 已知函数解析式时 只需要使得函数表达式中的所有式子有意义 1 常见情况简总 表达式中出现分式时 表达式中出现分式时 分母一定满足不为 0 表达式中出现根号时表达式中出现根号时 开奇次方时 根号下可以为任意实数 开偶次 方时 根号下满足大于或等于 0 非负数 2 表达式中出现指数时 表达式中出现指数时 当指数为 0 时 底数一定不能为 0 根号与分式结合 根号开偶次方在分母上时 根号与分式结合 根号开偶次方在分母上时 根号下大于 0 表达式中出现指数函数形式时 表达式中出现指数函数形式时 底数和指数都含有 x 必须满足指数 底数大于 0 且不等于 1 0 底数1 表达式中出现对数函数形式时 表达式中出现对数函数形式时 自变量只出现在真数上时 只需满足 真数上所有式子大于 0 且式子本身有意义即可 自变量同时出现在底数 和真数上时 要同时满足真数大于 0 底数要大于 0 且不等于 1 2 log 1 x f xx 注 注 1 出现任何情形都是要注意 让所有的式子同时有意义 及最后求 的是所有式子解集的交集交集 2 求定义域时 尽量不要对函数解析式进行变形 以免发生变化 形如 2 x f x x 练习练习 1 1 求下列函数的定义域 求下列函数的定义域 2 215 33 xx y x 1 1 1 1 536 x xxx 或或 3 2 1 1 1 x y x 2 2 0 x x 02 1 21 4 1 1 1 yxx x 3 3 1 220 1 2 xxxxx 且 2 2 抽象函数 没有解析式的函数抽象函数 没有解析式的函数 解题的方法精髓是 换元法 根据换元的思想 我们进行将括号为整 体的换元思路解题 所以关键在于求括号整体的取值范围 总结为 1 给出了定义域就是给出了所给式子中 x 的取值范围 4 2 在同一个题中 x 不是同一个 x 3 只要对应关系 f 不变 括号的取值范围不变 4 求抽象函数的定义域个关键在于求 f x 的取值范围 及括号的取值 范围 例例 1 1 已知 f x 1 的定义域为 1 1 求 f 2x 1 的定义域 解 解 f x 1 的定义域为 1 1 及其中 及其中 x x 的取值范围是的取值范围是 1 1 1 1 x 1x 1 的取值范围就是括号的取值范围 的取值范围就是括号的取值范围 012x f x 的定义域为 0 2 f f 不变 括号的取值范围不变 不变 括号的取值范围不变 f 2x 1 中 0212x 13 22 x f 2x 1 的定义域为 13 22 xx 练习 2 2 设函数设函数的定义域为的定义域为 则函数 则函数的定义域为的定义域为 f x 01 2 f x 函数 函数的定义域为的定义域为 1 1 2 fx 4 9 3 3 若函数 若函数的定义域为的定义域为 则函数 则函数的定义域是的定义域是 1 f x 2 3 21 fx 5 函数 函数的定义域为的定义域为 5 0 2 1 2 f x 11 32 3 3 复合函数定义域复合函数定义域 复合函数形如 理解复合函数就是可以看作由几个我们 yf g x 熟悉的函数组成的函数 或是可以看作几个函数组成一个新的函数形式 例例 2 2 2 3 1 2 f xg xf xf x 若函数的定义域为 求g x 的定义域 分析 分析 由题目可以看出 g x 是由 y x 1 y x 2 和 y f x 三个函数复合起 来的新函数 此时做加运算 所以只要求出 f x 1 和 f x 2 的定义域 再 根据求函数定义域要所有式子同时满足 即只要求出 f x 1 和 f x 2 的定 义域的交集即可 解 解 由 f x 的定义域为 2 3 则 f x 1 的定义域为 3 2 f x 2 的定义域为 0 4 解得 0 x 2 32 04 x x 所以 g x 的定义域为 0 2 一 求函数值域方法和情形总结 一 求函数值域方法和情形总结 1 1 直接观察法 利用函数图象 直接观察法 利用函数图象 6 一般用于给出图象或是常见的函数的情形 根据图象来看出 y 值的取 值范围 练习练习 1 1 求值域 求值域 2 23yxx 1 2 x 0 5 y 2 2 配方法配方法 适用于二次函数型或是可以化解成二次函数型的函数 此时注意对称 轴的位置 在定义域范围内 以 a 0 为例 此时对称轴的地方为最大值 定义域为内端点离对称轴最远的端点处有最小值 对称轴在定义域的两边 则根据单调性来求值域 总结为三个要点 1 含参数的二次型函数 首 先判断是否为二次型 即讨论 a 2 a 不为 0 时 讨论开口方向 3 注意区间 即讨论对称轴 例例 1 1 求 2 46f xxx 在 1 5 上的值域 解 配方 解 配方 2 2 2f xx f x 的对称轴为 x 2 在 1 5 中间 min 2 2yf 端点 5 离 x 2 距离较远 此时为最大值 7 max 5 11yf 所以 f x 的值域为 2 11 练习练习 2 2 求值域 求值域 2 23yxx xR 4 y y 3 3 分式型分式型 1 1 分离常量法 分离常量法 应用于分式型的函数 并且是自变量 x 的次数为 1 或 是可以看作整体为 1 的函数 具体操作 先将分母搬到分子的位子上去 观察与原分子的区别 不够什么就给什么 化为 d ya bxc 例例 2 2 51 42 x f x x 求的值域 解 解 510 42 1 5157 44 424242 42 x x f x xxx 由于分母不可能为 0 则意思就是函数值不可能取到 5 4 8 即 函数 f x 的值域为 5 4 y y 练习练习 求值域求值域 31 1 x y x 3 3 3 y y 2 2 利用 利用来求函数值域 来求函数值域 适用于函数表达式为分式形式 并且只 2 0 x 出现形式 此时由于为平方形式大多时候 x 可以取到任意实数 显然用 2 x 分离常量法是行不通 只有另想它法 有界变量法 例例 3 3 求函数的值域 2 2 31 2 x f x x 解 解 由于不等于 0 可将原式化为 2 2x 9 22 231yxyx 即 由于 2 3 1 2yxy 2 0 x 只需 则有3y 2 12 0 3 y x y 3 y 12 0y 所以 函数值域 1 3 2 y 练习练习 4 4 求值域求值域 2 2 594 1 xx y x 1 5 2 y yy 且 10 3 3 方程根的判别式法 方程根的判别式法 适用于分式形式 其中既出现变量 x 又出现 混合 此时不能化为分离常量 也不能利用上述方法 对于其中定义域 2 x 为 R 的情形 可以使用根的判别式法 例例 4 4 求函数的值域 2 2 1 x y x 解 由于函数的定义域为 R 即 2 10 x 原式可化为 2 20yxxy 由于 x 可以取到任意的实数 那么也就说总有一个 x 会使得上述方程有 实数根 即方程有根那么判别式大于或等于 0 注 这里只考虑有无根 并不考虑根为多少 所以 2 440y 所以 函数值域为 1 1y 练习 求值域 5 2 1 1 y x 11 4 4 换元法换元法 通过换元将一个复杂的问题简单化更便于求函数值域 一般函数特征 是函数解析式中含有根号形式 以及可将问题转换为我们熟悉的函数形式 等问题 而换元法其主要是让我们明白一种动态的方法来学习的一种思路 注重换元思维的培养 并不是专一的去解答某类问题 应该多加平时练习 注 换元的时候应及时确定换元后的元的取值范围 例例 5 5 求函数的值域 21f xxx 解 令 带入原函数解析式中得 2 1 0 1txtxt 则 222 115 2 1 222 48 yttttt 因为 0t 所以 函数的值域为 15 8 y 练习 求值域 6 6 1 2yxx 1 2 y y 12 一 选择题 共一 选择题 共 10 小题 小题 1 2007 河东区一模 若函数 f x 的定义域为 A 函数 g x 的定义域为 B 则使 A B 的实数 a 的取值范围是 A 1 3 B 1 3 C 2 4 D 2 4 13 2 若函数 f x 的定义域是 1 1 则函数 f x 1 的定义域是 A 1 1 B 0 2 C 2 0 D 0 1 3 2010 重庆 函数的值域是 A 0 B 0 4 C 0 4 D 0 4 4 2009 河东区二模 函数的值域是 A 0 B C 0 2 D 0 5 已知函数 y x2 4x 5 x 3 3 时的值域为 A 2 26 B 1 26 C 1 26 D 1 26 6 函数 y 在区间 3 4 上的值域是 14 A 1 2 B 3 4 C 2 3 D 1 6 7 函数 f x 2 3x2 x3在区间 2 2 上的值域为 A 2 22 B 6 22 C 0 20 D 6 24 8 函数的值域是 A y y R 且