初一数学乘法公式、因式分解拓展题

1 初一数学乘法公式 因式分解拓展题 1 已知 x 2015 2 x 2017 2 34 则 x 2016 2的值是 A 4B 8C 12D 16 2 已知 a 2014x 2015 b 2014x 2016 c 2014x 2017 则 a2 b2 c2 ab ac bc 的值是 A 0B 1C 2D 3 3 已知甲 乙 丙均为 x 的一次多项式 且其一次项的系数皆为正整数 若甲 与乙相乘为 x2 4 乙与丙相乘为 x2 15x 34 则甲与丙相加的结果与下列哪一个 式子相同 A 2x 19B 2x 19C 2x 15D 2x 15 4 若 x2 mx k 是一个完全平方式 则 k 等于 A m2B m2C m2D m2 5 n 是整数 式子 1 1 n n2 1 计算的结果 A 是 0 B 总是奇数 C 总是偶数 D 可能是奇数也可能是偶数 6 已知 a b 3 ab 2 则 a2 b2的值是 7 分解因式 a3 4a2b 4ab2 8 分解因式 x3 xy2 9 如果 x2 p x2 7 的展开式中不含有 x2项 则 p 10 已知 a b 8 a2b2 4 则 ab 11 观察下列各式的规律 a b a b a2 b2 a b a2 ab b2 a3 b3 a b a3 a2b ab2 b3 a4 b4 可得到 a b a2016 a2015b ab2015 b2016 12 我国南宋数学家杨辉用三角形解释二项和的乘方规律 称之为 杨辉三角 这个三角形给出了 a b n n 1 2 3 4 的展开式的系数规律 按 a 的 次数由大到小的顺序 2 请依据上述规律 写出 x 2016展开式中含 x2014项的系数是 13 观察下列等式 1 2 3 4 n n n 1 1 3 6 10 n n 1 n n 1 n 2 1 4 10 20 n n 1 n 2 n n 1 n 2 n 3 则有 1 5 15 35 n n 1 n 2 n 3 14 如图中的四边形均为矩形 根据图形 写出一个正确的等式 15 在一次数学课上 李老师对大家说 你任意想一个非零数 然后按下列步 骤操作 我会直接说出你运算的最后结果 操作步骤如下 第一步 计算这个数与 1 的和的平方 减去这个数与 1 的差的平方 第二步 把第一步得到的数乘以 25 第三步 把第二步得到的数除以你想的这个数 1 若小明同学心里想的是数 9 请帮他计算出最后结果 9 1 2 9 1 2 25 9 2 老师说 同学们 无论你们心里想的是什么非零数 按照以上步骤进行 操作 得到的最后结果都相等 小明同学想验证这个结论 于是 设心里想的 数是 a a 0 请你帮小明完成这个验证过程 16 若我们规定三角 表示为 abc 方框 表示为 xm yn 例如 1 19 3 24 31 3 请根据这个规 定解答下列问题 3 1 计算 2 代数式为完全平方式 则 k 3 解方程 6x2 7 17 把一张正方形桌子改成长方形 使长比原边长增加 2 米 宽比原边长短 1 米 设原桌面边长为 x 米 x 1 5 问改变后的桌子面积比原正方形桌子的面 积是增加了还是减少了 说明理由 18 阅读与观察 我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列 如图 1 的 杨辉三角 就是其中的 一例 杨辉 字谦光 南宋时期杭州人 在他所著的 详解九章算法 艺术中 揖录了如图 1 所示的三角形数表 称之为 开方作法本源 图 经观察研究发现 在两腰上的数位 1 的前提下 杨辉三角有许多重要的特点 例如 每个数都等 于它上方两数之和等等 如图 2 某同学发现杨辉三角给出了 a b n n 为正整数 的展开式 按 a 的 次数由大到小的顺序排列 的系数规律 例如 在三角形中第三行的三个数 1 2 1 恰好对应 a b 2 a2 2ab b2展开式中各项的系数 第四行的四个数 1 3 3 1 恰好对应着 a b 3 a3 3a2b 3ab2 b3展开式中各项的系数等等 1 通过观察 请你写出杨辉三角具有的任意两个特点 阅读材料中的特点 除外 2 计算 993 3 992 3 99 1 3 请你直接写出 a b 4的展开式 19 如果一个自然数可以表示为两个连续奇数的立方差 那么我们就称这个自 然数为 麻辣数 如 2 13 1 3 26 33 13 所以 2 26 均为 麻辣数 立方差公式 a3 b3 a b a2 ab b2 1 请判断 98 和 169 是否为 麻辣数 并说明理由 2 在小组合作学习中 小明提出新问题 求出在不超过 2016 的自然数中 所有的 麻辣数 之和为多少 小组的成员胡图图略加思索后说 这个难不倒图 4 图 我们知道奇数可以用 2k 1 表示 再结合立方差公式 请你顺着胡图图 的思路 写出完整的求解过程 20 若一个正整数能表示为两个正整数的平方差 则称这个正整数为 智慧数 如 3 22 12 7 42 32 8 32 12 因此 3 7 8 都是 智慧数 1 18 智慧数 2017 智慧数 填 是 或 不是 2 除 1 外的正奇数一定是 智慧数 吗 说明理由 21 在一次数学课上 李老师对大家说 你任意想一个非零数 然后按下列步 骤操作 我会直接说出你运算的最后结果 1 若小明同学心里想的是数 9 请帮他计算出最后结果 9 1 2 9 1 2 25 9 2 老师说 同学们 无论你们心里想的是什么非零数 按照以上步骤进行 操作 得到的最后结果都相等 小明同学想验证这个结论 于是 设心里想的 数是 a a 0 请你帮小明完成这个验证过程 22 阅读与计算 对于任意实数 a b 规定运算 的运算过程为 a b a2 ab 根据运算符号的意义 解答下列问题 1 计算 x 1 x 1 2 当 m m 2 m 2 m 时 求 m 的值 5 23 已知多项式 A x 2 2 x 1 x 9 1 化简多项式 A 时 小明的结果与其他同学的不同 请你检査 小明同学的解题过程 在标出 的几项中出现错误的是 正确的解 答过程为 2 小亮说 只要给出 x2 2x l 的合理的值 即可求出多项式 A 的值 小明给 出 x2 2x l 值为 4 请你求出此时 A 的值 24 1 因式分解 x y 3x y 2x 3x y 2 设 y kx 是否存在实数 k 使得上式的化简结果为 x2 求出所有满足条件 的 k 的值 若不能 请说明理由 25 十字相乘法 能把二次三项式分解因式 对于形如 ax2 bxy cy2的关于 x y 的二次三项式来说 方法的关键是把 x2项系数 a 分解成两个因数 a1 a2的积 即 a a1 a2 把 y2项系数 c 分解成两个因数 c1 c2的积 即 c c1 c2 并使 a1 c2 a2 c1正好等于 xy 项的系数 b 那么可以直接写成结果 ax2 bxy cy2 a1x c1y a2x c2y 例 分解因式 x2 2xy 8y2 解 如图 1 其中 1 1 1 8 4 2 而 2 1 2 1 4 x2 2xy 8y2 x 4y x 2y 而对于形如 ax2 bxy cy2 dx ey f 的 x y 的二元二次式也可以用十字相乘法来分 解 如图 2 将 a 分解成 mn 乘积作为一列 c 分解成 pq 乘积作为第二列 f 分 解成 jk 乘积作为第三列 如果 mq np b pk qj e mk nj d 即第 1 2 列 第 2 3 列和第 1 3 列都满足十字相乘规则 则原式 mx py j nx qy k 例 分解因式 x2 2xy 3y2 3x y 2 解 如图 3 其中 1 1 1 3 1 3 2 1 2 6 而 2 1 3 1 1 1 1 2 3 1 3 1 2 1 1 x2 2xy 3y2 3x y 2 x y 1 x 3y 2 请同学们通过阅读上述材料 完成下列问题 1 分解因式 6x2 17xy 12y2 2x2 xy 6y2 2x 17y 12 x2 xy 6y2 2x 6y 2 若关于 x y 的二元二次式 x2 7xy 18y2 5x my 24 可以分解成两个一次因式 的积 求 m 的值 26 通过对 因式分解 的学习 我们知道可以用拼图来解释一些多项式的因 式分解 如图 1 中 1 2 3 号卡片各若干张 如果选取 1 号 2 号 3 号卡片分 别为 1 张 2 张 3 张 你能通过拼图 2 形象说明 a2 3ab 2b2 a b a 2b 的分解结果吗 请在画出图形 27 把一个自然数所有数位上的数字先平方再求和得到一个新数 叫做第一次 运算 再把所得新数所有数位上的数字先平方再求和又将得到一个新数 叫做 第二次运算 如此重复下去 若最终结果为 1 我们把具有这种特征的自然数 称为 快乐数 例如 32 32 22 13 12 32 10 12 02 1 70 72 02 49 42 92 97 92 72 130 12 32 02 10 12 02 1 所以 32 和 70 都是 快乐数 1 写出最小的两位 快乐数 判断 19 是不是 快乐数 请证明任意一个 快 乐数 经过若干次运算后都不可能得到 4 7 2 若一个三位 快乐数 经过两次运算后结果为 1 把这个三位 快乐数 与它 的各位上的数字相加所得的和被 8 除余数是 2 求出这个 快乐数 28 村料一 我们可以将任意三位数记为 其中 a b c 分别表示该数的 百位数字 十位数字和个位数字 且 a 0 显然 100a 10b c 材料二 若一个三位数的百位数字 十位数字和个位数字均不为 0 则称之为 原始数 比如 123 就是一个原始数 将原始数的三个数位上的数字交换顺序 可产生出 5 个新的原始数 比如由 123 可以产生出 132 213 231 312 321 这 5 个新原始数 将这 6 个数相加 得到的和 1332 称为由原始数 123 生成的终 止数 问题 1 分别求出由下列两个原始数生成的终止数 247 638 2 若由一个原始数生成的终止数为 1110 求满足条件的所有原始数 29 大家一定熟知杨辉三角 观察下列等式 根据前面各式规律 则 a b 5 30 我们知道 对于一个图形 通过两种不同的方法计算它的面积 可以得到 一个数学等式 例如图 1 可以得到 a 2b a b a2 3ab 2b2 请解答下列问 题 1 写出图 2 中所表示的数学等式 2 利用 1 中所