上海市普陀区2012届高三数学4月质量调研（二模）试题 理 沪教版

用心 爱心 专心1 上海市普陀区上海市普陀区 20122012 年高三年级第二次质量调研年高三年级第二次质量调研 数学试卷数学试卷 理科 理科 说明 本试卷满分 150 分 考试时间 120 分钟 本套试卷另附答题纸 每道题的解答必须 写在答题纸的相应位置 本卷上任何解答都不作评分依据 一 填空题 本大题满分 56 分 本大题共有 14 小题 要求直接将结果填写在答题纸对应 的空格中 每个空格填对得 4 分 填错或不填在正确的位置一律得零分 1 函数 22 sincos 22 xx f x 的最小正周期是 2 二项式 6 1 x x 的展开式中的常数项是 请用数值作答 3 函数 1log 1 2 1 x y的定义域是 4 设 1 e 与 2 e 是两个不共线的向量 已知 12 2ABeke 12 3CBee 12 2CDee 则当ABD 三点共线时 k 5 已知各项均为正数的无穷等比数列 n a中 1 21a 3 21a 则此数列的各项和S 6 已知直线l的方程为230 xy 点 1 4 A与点B关于直 线l对称 则点B的坐标为 7 如图 该框图所对应的程序运行后输出的结果S的值为 8 若双曲线的渐近线方程为3yx 它的一个焦点的坐标为 10 0 则该双曲线 的标准方程为 9 如图 需在一张纸上印上两幅大小完全相同 面积都是 32cm2的照片 排版设计为 纸上左右留空各 3cm 上下留空各 2 5cm 图间留空为 1cm 照此设计 则这张纸的最 小面积是 cm2 10 给出问题 已知ABC 满足coscosaAbB 试判定ABC 的形状 某学生的解 答如下 解 i 由余弦定理可得 开始 2012 n sin 3 n SS 1nn 输出 S 结束 是 否 0 0Sn 第第 7 题图题图 第第 9 题图题图 用心 爱心 专心2 222222 22 bcaacb ab bcac 2222222 abcabab 222 cab 故ABC 是直角三角形 ii 设ABC 外接圆半径为R 由正弦定理可 得 原式等价于2 sincos2 sincosRAARBB sin2sin2AB AB 故ABC 是等腰三角形 综上可知 ABC 是等腰直角三角形 请问 该学生的解答是否正确 若正确 请在下面横线中写出解题过程中主要用到的 思想方法 若不正确 请在下面横线中写出你认为本题正确的结果 11 已知数列 n a是等比数列 其前n项和为 n S 若 10 20S 20 60S 则 30 10 S S 12 若一个底面边长为 3 2 侧棱长为6的正六棱柱的所有顶点都在一个球面上 则此 球的体积为 13 用红 黄 蓝三种颜色分别去涂图中标号为1 2 3 9 的9个小正方 形 如右图 需满足任意相邻 有公共边的 小正方形所涂颜色都不相同 且标号为 1 5 9 的小正方形涂相同的颜色 则符合条件的所有涂法 中 恰好满足 1 3 5 7 9 为同一颜色 2 4 6 8 为同一颜色 的概率为 14 设 Nn n a表示关于x的不等式 1 44 loglog 5 4 21 n xxn 的正整数解的 个数 则数列 n a的通项公式 n a 二 选择题 本大题满分 20 分 本大题共有 4 题 每题有且只有一个结论是正确的 必须 把正确结论的代号写在答题纸相应的空格中 每题选对得 5 分 不选 选错或选出的代号 超过一个 不论是否都写在空格内 或者没有填写在题号对应的空格内 一律得零分 15 lg lg lgxyz成等差数列 是 2 yxz 成立的 A 充分非必要条件 B 必要非充分条件 C 充要条件 D 既非充分也非必要条件 16 设 是直线l的倾斜角 且cos0a 则 的值为 A arccosa B arccosa C arccosa D arccosa 123 456 789 第第 13 题图题图 用心 爱心 专心3 17 设全集为R 集合 2 2 1 4 x Mxy 3 0 1 x Nx x 则集合 2 2 31 24 xxy 可表示为 A MN B MN C R C MN D R MC N 18 对于平面 和直线a b m n 下列命题中真命题是 A 若 am an mn 则a B 若 ab b 则 a C 若 abab 则 a D 若 aab 则 ab 三 解答题 本大题满分 74 分 本大题共有 5 题 解答下列各题必须在答题纸规定的方框 内写出必要的步骤 19 本题满分 12 分 已知函数 2f xkx 0k 的图像分别与x轴 y轴交于A B两点 且22ABij 函数6 2 xxxg 当x满足不等式 f xg x 时 求函数 1 g x y f x 的最小值 20 本题满分 12 分 第 1 小题满分 6 分 第 2 小题满分 6 分 如图 已知圆锥体SO的侧面积为15 底面半径OA和 OB互相垂直 且3OA P是母线BS的中点 1 求圆锥体的体积 2 异面直线SO与PA所成角的大小 结果用反三角函数表示 21 本大题满分 14 分 第 1 小题满分 7 分 第 2 小题满分 7 分 已知ABC 中 1AC 2 3 ABC 设BACx 记 f xAB BC A B S P O 第第 20 题题 图图 用心 爱心 专心4 1 求 f x的解析式及定义域 2 设 6 1g xm f x 是否存在实数m 使函数 xg的值域为 3 1 2 若存在 求出m的值 若不存在 请说明理由 22 本大题满分 16 分 第 1 小题满分 5 分 第 2 小题满分 5 分 第 3 小题满分 6 分 已知数列 n a是首项为2的等比数列 且满足 n nn paa2 1 N n 1 求常数p的值和数列 n a的通项公式 2 若抽去数列 n a中的第一项 第四项 第七项 第23 n项 余下 的项按原来的顺序组成一个新的数列 n b 试写出数列 n b的通项公式 3 在 2 的条件下 设数列 n b的前n项和为 n T 是否存在正整数n 使得 1 11 3 n n T T 若存在 试求所有满足条件的正整数n的值 若不存在 请说明理由 23 本大题满分 20 分 第 1 小题满分 4 分 第 2 小题满分 6 分 第 3 小题最高分 10 分 设点F是抛物线L 2 2ypx 0 p 的焦点 123n PPPP 是抛物线L上的 n个不同的点 3 n Nn 1 当2p 时 试写出抛物线L上的三个定点 1 P 2 P 3 P的坐标 从而使得 123 6FPFPFP 2 当3n 时 若 123 0 n FPFPFPFP 求证 123 n FPFPFPFPnp 3 当3n 时 某同学对 2 的逆命题 即 若 123 n FPFPFPFPnp 则 123 0 n FPFPFPFP 开展了研究并发现其为假命题 请你就此从以下三个研究方向中任选一个开展研究 用心 爱心 专心5 试构造一个说明该逆命题确实是假命题的反例 本研究方向最高得 4 分 对任意给定的大于 3 的正整数n 试构造该假命题反例的一般形式 并说明你的理由 本研究方向最高得 8 分 如果补充一个条件后能使该逆命题为真 请写出你认为需要补充的一个条件 并说明加 上该条件后 能使该逆命题为真命题的理由 本研究方向最高得 10 分 评分说明 本小题若选择不止一个研究方向 则以实得分最高的一个研究方向的得分作 为本小题的最终得分 2012 年普陀区高三第二次质量调研数学试卷参考答案 一 填空题 每小题 4 分 满分 56 分 1 2 2 20 3 文 1 理 0 1 12 4 8 5 2 2 3 2 6 2 5 7 3 8 1 9 2 2 y x 9 196 10 等腰或直角三角形 11 文 6 理 7 12 文 34 理 2 9 13 文 108 理 18 1 14 1 3 41 N n n 二 选择题 每题 5 分 满分 20 分 题号 15161718 答案 ABDD 三 解答题 满分 74 分 19 本题满分 12 分 解 由题意知 0 2 k A 2 0 B 则 2 2 2 2 k AB 可解得 1 k 即2 xxf 因为 xgxf 即62 2 xxx 解不等式得到 4 2 x 2 15 2 g xxx y f xx 2 2 5 2 11 25 22 xx x xx 因为 4 2 x 则 6 0 2 x所以35 2 1 2 1 x x xf xg 当且仅当 2 1 2 x x 即12 x 1 x时 等号成立 用心 爱心 专心6 x C BA 所以 当1 x时 1 xf xg 的最小值为3 20 本题满分 12 分 解 1 由题意 15OA SB 得5BS 故 2222 534SOSBOB 从而体积 22 11 3412 33 VOASO 2 如图 2 取OB中点H 联结PHAH 由P是SB的中点知PHSO 则APH 或其补角 就是异 面直线SO与PA所成角 由SO 平面OAB PH 平面OAB PHAH 在OAH 中 由OAOB 得 22 3 5 2 AHOAOH 在Rt APH 中 90AHP 1 2 2 PHSB 3 5 2 AH 则 3 5 tan 4 AH APH PH 所以异面直线SO与PA所成角的大小 3 5 arctan 4 21 本题满分 14 分 其中第 1 小题 7 分 第 2 小题 7 分 解 1 如图 在ABC 中 由 2 3 ABC xBAC 可得xACB 3 又 1AC 故由正弦定理得 2 2 sin3 sin sin 33 ABBCAC x x 用心 爱心 专心7 2 sin 33 ABx 2 sin 3 BCx 则函数 f xAB BC 2 cossin sin 333 AB BCxx 231 sin cossin 322 xxx 2 31 sin2sin 63 xx 11 3sin2cos2 66 xx 11 sin 2 366 x 其中定义域为0 3 x 说明 亦可用积化和差方法化简 2111 sin sin coscos 2 cos 2 33333336 f xxxxx 2 6 12sin 2 1 6 g xmf xmxm 由0 3 x 可得 5 2 666 x 6 2sin x 1 2 1 显然 0m 则 1 当0 m时 1 1 g xm 则 xg的值域为 2 3 1 2 3 1 m 2 1 m 2 当0m 时 1 1 g xm 不满足 xg的值域为 2 3 1 因而存在实数 2 1 m 使函数 xg的值域为 3 1 2 22 本大题满分 16 分 第 1 小题满分 5 分 第二小题满分 5 分 第 3 小题满分 6 分 1 解 由 n nn paaa2 2 11 得22 2 pa 422 2 3 ppa 又因为存在常数p 使得数列 n a为等比数列 则 31 2 2 aaa 即 422 2 22 22 ppp 所以1 p 故数列 n a为首项是 2 公比为 2 的等比数列 即 n n a2 此时 1 1 222 nnn n a也满足 则所求常数p的值为 1 且 2 N n n an 2 解 由等比数列的性质得 i 当 2 N nk k 时 k kn ab 3 3 2 用心 爱心 专心9 ii 当 21 N nkk 时 13 13 2 k kn ab 所以 31 2 3 2 2 21 N 2 2 n n n nk bk nk 3 文科 解 注意到 21 n b 是首项 1 4b 公比8q 的等比数列 2 n b是首项 2 8b 公比8q 的等比数列 则 i 当2nk N k 时 21321242 nkkk TTbbbbbb 4 81 8 81 8181 kk 2 12 81212 812 77 n k ii 当21nk N k 时 1 2 2122 12 8125 8125 812 8 777 n kk k nkkk TTTb 即 1 2 2 5 812 21 7 N 12 812 2 7 n n n nk Tk nk 3 理科 解 续文科解答过程 假设存在正整数n满足条件 则 1111 118 1 33 nnnnn nnnn TTbbb TTTT 则 i 当 2 N nk k 时 32 121 2 228 88 88 12 81212 8123 7 kk k nk kk nk bb TT 1k 即当2n 时满足条件 ii 当 21 N nkk 时 用心 爱心 专心10 12 87 8896 8 5 8125 812319 7 kk k nk kk nn bb TT 因为 Nk 所以此时无满足条件的正整数n 综上可得 当且仅当2n 时 1 11 3 n n T T 23 本大题满分 20 分 第 1 小题满分 4 分 第 2 小题满分 6 分 第 3 小题最高分 10 分 理 解 1 抛物线L的焦点为 0 2 p F 设 111222333 P x yP xyP xy 分别过 123 PPP 作抛物线L的准线l的垂线 垂足分别为 123 QQQ 由抛物线定义得 123112233123 222 ppp FPFPFPPQPQPQxxx 6 2 3 321 p xxx 因为2p 所以3 321 xxx 故可取 2 1 2 2 1 21 PP 3 P 6 2 3 满足条件 2 设 111222333 nnn P x yP xyP xyP xy 分别过 123n PPPP 作抛物线L的准线l垂线 垂足分别为 123n QQQQ 由抛物线定义得 123112233 nnn FPFPFPFPPQPQPQPQ 123 2222 n pppp xxxx 123 2 n np xxxx 又因为 123 0 n FPFPFPFP 123 0 2222 n pppp xxxx 2 21 np xxx n 所以 123 n FPFPFPFP 123 2 n np xxxx np 用心 爱心 专心12 3 取4 n时 抛物线L的焦点为 0 2 p F 设 111222333 P x yP xyP xy 444 yxP分别过 123 PPP 4 P 作抛物线L的准 线l垂线 垂足分别为 123 QQQ 4 Q 由抛物线定义得 4321 FPFPFPFP 44332211 QPQPQPQP 2 4 4321 p xxxx p4 则pxxxx2 4321 不妨取 2 2 4 11 p y p x 2 2 p x py 2 2 3 p x py 3 44 36 42 pp xy 则 4321 FPFPFPFP pxxxx2 4321 4321 yyyy 26 0 2 p 0 故 1 2 42 pp P 2 2 p Pp 3 2 p Pp 4 36 42 pp P 是一个当4n 时 该 逆命题的一个反例 反例不唯一 设 111222333 nnn P x yP xyP xyP xy 分别过 123n PPPP 作 抛物线L的准线l的垂线 垂足分别为 123n QQQQ 由 123 n FPFPFPFPnp 及抛物线的定义得 np np xxx n 2 21 即 2 21 np xxx n 因为上述表达式与点 111222333 nnn P x yP xyP xyP xy 的纵坐标无关 所以只要将这n点都取在x轴的上方 则它们的纵坐标都大于零 则 n FPFPFP 21 2 21 np xxx n 21n yyy 0 21n yyy 而0 21 n yyy 所以0 21 n FPFPFP 说明 本质上只需构造满足条件且 12 0 n yyy 的一组n个不同的点 均为反例 用心 爱心 专心12 补充条件 1 点 i P的纵坐标 i y 1 2 in 满足 123 0 n yyyy 即 当3n 时 若 123 n FPFPFPFPnp 且点 i P的纵坐标 i y 1 2 in 满足 123 0 n yyyy 则 123 0 n FPFPFPFP 此命 题为真 事实上 设 111222333 nnn P x yP xyP xyP xy 分别过 123n PPPP 作抛物线L准线l的垂线 垂足分别为 123n QQQQ 由 12 n FPFPFPnp 及抛物线的定义得np np xxx n 2 21