上海市金山区2013届高三数学上学期期末考试试题沪教版

1 金山区金山区 20122012 学年第一学期期末考试学年第一学期期末考试 高三数学试卷 一模 高三数学试卷 一模 满分 150 分 完卷时间 120 分钟 答题请写在答题纸上 答题请写在答题纸上 一 填空题一 填空题 本大题共有本大题共有 1414 小题 满分小题 满分 5656 分分 考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写 结果 每个空格填对得结果 每个空格填对得 4 4 分 否则一律得零分 分 否则一律得零分 1 函数f x 3x 2 的反函数f 1 x 2 若全集 U R R 集合A x 2 x 2 B x 0 x 1 则正确命题的个数是 A 1 B 2 C 3 D 4 三 解答题 本大题共有三 解答题 本大题共有 5 5 个小题 满分个小题 满分 7474 分 解答下列各题必须在答题纸相应编号的规分 解答下列各题必须在答题纸相应编号的规 开始 结束 1 1 SS k k 是 否 输出 S 第 16 题图 S 0 k 1 k 2011 k k 1 3 定区域内写出必要的步骤 定区域内写出必要的步骤 1919 本题满分 本题满分 1212 分 第分 第 1 1 小题小题 6 6 分 第分 第 2 2 小题小题 6 6 分 分 已知集合A x x a 2 x R R B x 0 2 0 2 2 x x axx xf 1 当a 4 时 证明函数f x 在上是减函数 2 0 2 求函数f x 的最小值 2222 本题满分 本题满分 1616 分 第分 第 1 1 小题小题 4 4 分 第分 第 2 2 小题小题 6 6 分 第分 第 3 3 小题小题 6 6 分 分 4 设椭圆的中心为原点O 长轴在x轴上 上顶点为A 左 右焦点分别为F1 F2 线段 OF1 OF2的中点分别为B1 B2 且 AB1B2是面积为的直角三角形 过 1作直线l交椭圆4 于P Q两点 1 求该椭圆的标准方程 2 若 22 QBPB 求直线l的方程 3 设直线l与圆O x2 y2 8 相交于M N两点 令 MN 的长度为t 若t 求 4 2 7 B2PQ的面积的取值范围 S 2323 本题满分 本题满分 1818 分 第分 第 1 1 小题小题 4 4 分 第分 第 2 2 小题小题 6 6 分 第分 第 3 3 小题小题 8 8 分 分 已知数列 an 满足 其中 0 且 7 6 1 a 121 10 nn aaaa 1 n N N 为数列 an 的前项和 n Sn 1 若 求的值 31 2 2 aaa 2 求数列 an 的通项公式 n a 3 当时 数列 an 中是否存在三项构成等差数列 若存在 请求出此三项 若不 1 3 存在 请说明理由 5 金山区金山区 20122012 学年第一学期高三期末考试试题评分标准学年第一学期高三期末考试试题评分标准 一 填空题 1 定义域不写不扣分 2 x 2 x 0 或 1 x 2 3 4 2 5 2 2 3 x 6 2 1 7 160 8 9 10 40 11 104 2410 5 6 1 44 22 yx 12 13 4 14 18 17 24 二 选择题 15 D 16 C 17 A 18 C 三 简答题 19 解 1 由 x a 2 得a 2 x a 2 所以A x a 2 x a 2 3 分 由 1 得 0 即 2 x 3 所以B x 2 x 3 6 分 21 2 x x 3 2 x x 2 若A B 所以 10 分 22 23 a a 所以 0 a 1 12 分 20 解 1 3 分 xfmxx 2cos32sin2sin 2 3 xm 因为所以 4 分 max 2 f xm 1m 令 2k 2x 2k 得到 单调增区间为 k Z Z 6 2 3 2 5 1212 kk 分 无 k Z Z 扣 1 分 2 因为 则 所以 8 分 31f B 2sin 2 131 3 B 6 B 又 则 3abc 3sinsinsinABC 15 3sinsin 26 AA 化简得 所以 12 分 1 sin 62 A 3 A 所以 故 ABC为直角三角形 14 分 2 C 6 21 解 1 当时 1 分4 a2 4 x xxf 任取 0 x1 x2 2 则f x1 f x2 3 12 12 44 xx xx 21 2121 4 xx xxxx 分 因为 0 x10 即f x1 f x2 5 分 所以函数f x 在上是减函数 6 分 2 0 2 7 分2 x a xxf22 a 当且仅当时等号成立 8 分ax 当 即时 的最小值为 10 分20 a40 a xf22 a 当 即时 在上单调递减 11 分2 a4 a xf 2 0 所以当时 取得最小值为 13 分2 x xf 2 a 综上所述 14 分 4 2 4022 min a a aa xf 22 解 1 设所求椭圆的标准方程为 右焦点为 0 1 2 2 2 2 ba b y a x 0 2 cF 因 AB1B2是直角三角形 又 AB1 AB2 故 B1AB2 90 得c 2b 1 分 在 Rt AB1B2中 从而 3 分 12 2 4 AB B Sb 20 222 cba 因此所求椭圆的标准方程为 4 分 22 1 204 xy 2 由 1 知 由题意知直线 的倾斜角不为 0 故可设直线 的方程为 1 2 0 2 0 BB ll 代入椭圆方程得 6 分2xmy 22 54160mymy 设P x1 y1 Q x2 y2 则y1 y2是上面方程的两根 因此 12 2 4 5 m yy m 又 所以 5 16 2 21 m yy 211222 2 2 B PxyB Qxy 7 8 分 212122 2 2 yyxxQBPB 2 2 1664 5 m m 由 得 0 即 解得 21 PBQB 22 B P B Q 2 16640m 2m 所以满足条件的直线有两条 其方程分别为 x 2y 2 0 和x 2y 2 0 10 分 3 当斜率不存在时 直线 此时 11 分 l2 x4 MN 5 516 S 当斜率存在时 设直线 则圆心到直线的距离 l 2 xkyO 1 2 2 k k d 因此t 得 13 分72 1 4 82 2 2 k k MN 3 1 2 k 联立方程组 得 由韦达定理知 1 420 2 22 yx xky 0164 51 222 kkyyk 所以 2 2 21 2 21 51 16 51 4 k k yy k k yy 22 24 21 51 4 54 k kk yy 因此 42 12 22 14 4 8 5 2 1 5 kk Syy k 设 所以 所以 15 分 2 8 1 5 3 uku 2 8 51325 524 S u 5 516 35 S 综上所述 B2PQ的面积 16 分 5 516 35 S 23 解 1 令 得到 令 得到 2 分1 n 7 1 2 a2 n 2 3 7 1 7 1 a 由 计算得 4 分 31 2 2 aaa 6 7 2 由题意 可得 01 121 nn aaaa 所以有 2 01 121 naaaa nn 又 5 分0 1 1 nn aa 2 n1 0 得到 故数列从第二项起是等比数列 7 分 2 1 1 naa nn n a 8 又因为 所以n 2 时 8 分 7 1 2 a 2 1 7 1 n n a 所以数列 an 的通项 10 分 2 1 7 1 1 7 6 2 n n a n n 3 因为 所以 11 分 3 1 2 4 7 3 1 7 6 2 n n a n n 假设数列 an 中存在三项am ak ap成等差数列 不防设m k p 2 因为当n 2 时 数列 an 单调递增 所以 2ak am ap 即 2 4k 2 4m 2 4p 2 化简得 2 4k p 4m p 1 3 7 3 7 3 7 即 22k 2p 1 22m 2p 1 若此式成立 必有 2m 2p 0 且 2k 2p 1 1 故有 m p k 和题设矛盾 14 分 假设存