第三讲_自适应控制

56 第三讲第三讲 自适应控制自适应控制 3 1 自适应控制 自适应控制也是一种鲁棒控制方法 前面所讲的所有鲁棒控制 包括变结构控制 它们的基本思想是基于被控对象与内环控制的不匹配及不确定性的最坏情形的估计而展开 设计的 它们的内环控制律是固定的 外环控制增益根据不确定性的估计来设定 而自适 应控制的基本思想是根据一些在线算法改变控制律中的增益值或其他参数 控制器在操作 过程中 学得 一套合适的参数 自适应控制尤其适合于机器人这种执行重复的作业任务 的场合 通过不断的重复 自适应控制可以改善跟踪性能 根据设计技术不同 机器人自 适应控制分为三类 即模型参考自适应控制 MRAC 自校正自适应控制 STAC 和线性 摄动自适应控制 其控制器结构图如图 5 4 所示 图 5 4 自适应控制器的基本结构 3 2 基于逆动力学的自适应控制 本节主要讨论自适应控制在机器人控制问题上的应用 刚性机器人适于自适应控制的 一个关键特征是参数线性关键特征是参数线性 也就是说 虽然运动方程是非线性的 但如果把方程系数中连 杆质量 惯性矩等参数分离出来却可以得到线性的关系 n 个连杆的刚性机器人动力学方 程可以写成 5 1 upqqqYqgqqqCqqM 式中 是 n r 维矩阵 p 是 r 维参数向量 qqqY 机器人界的学者在 20 世纪 80 年代中期得到了这一结果 随之第一个全局收敛的自 适应控制律也出现了 这些自适应控制律的结果都是基于逆动力学展开的 首先 系统动力学方程为 5 2 upqqqYqgqqqCqqM 逆动力学控制律为 5 3 q uM q aC q q qg q 其中 5 4 10 ddd q aqK qqKqq 57 是理想的轨迹 是位置跟踪误差 分别为 M C g p 的估计值 d q d qqe M C g p 5 5 MqC q q qg qY q q q p 记 C q q qg qhC q q qg qh 在以前的分析中 之间的不匹配 导致不好的轨迹跟踪性能 于是调整hhMM 控制输入来克服其影响 而自适应逆动力学则让控制律 5 3 的结构保持不变 更新 q a 项 hM 和 5 3 代入 5 2 得到 5 6 heKeKqMhqM d 10 可以得到 5 7 pqqqYhqMekekeM 01 这里 ppphhhMMM 假定是可逆的 误差动力学可以写成 M 5 8 ppYMeKeKe 1 01 这里 5 9 YM 1 我们可以象以前一样 通过调整增益参数矩阵使双积分系统稳定 5 8 式写 10 K K 成状态空间的形式为 5 10 pBAxx 其中 5 11 e e xB KK I A 1 00 10 我们需要得到一种更新参数向量的算法并证明整个系统的稳定性 为了达到这个目 p 的 选择一个正定对称矩阵 并解下面的 Lyapunov 方程 Q 5 12 0 QPAPAT 选择 Lyapunov 函数 5 13 ppPxxV TT 其中为 5 12 式的唯一正定解 为正定对称矩阵 沿着 5 13 式的解轨迹 对P 58 Lyapunov 函数进行微分 V 5 14 2pPxBpQxxV TTTT 这就很容易看出 我们按下式选择参数更新律就可以使 5 14 式的第二项变为零 5 15 PxBp TT 1 由于向量是常数 于是我们用下式更新ppp p 5 16 PxBp TT 1 这就有 5 17 0 QxxV T 可以证明 整个系统在 Lyapunov 意义下是稳定的 方程 5 13 说明是正的 方程V 5 17 说明是非增的 且以 0 为下界 因此均为有界的 并且还是所谓V tptx tx 的平方可积函数 即函数 在一些附加的连续性条件下 函数当时总是收敛 2 L 2 L t 于 0 这就是说 跟踪误差收敛于 0 但为了严格证明跟踪误差的确变为零 必须考虑一些 其它因素 这在自适应控制文献中占了很大的份额 我们必须保证 5 9 式中的是有界的 第一 由于中包含 我们必须保证不会变成奇异的 一种方法就是限定估计 1 M 1 M 参数总是落在真实参数的一个邻域内 这再次需要对不确定性要有一个最坏的估计 如果估计参数偏离了真实参数的邻域 估计算法能够重置估计参数为真实参数 p 邻域的某个边界 第二 由于依赖于操作机的加速度 包含在 5 9 式的项 为了实现参数更新控 q Y 制律 需要测量或计算估计加速度 近来提出的自适应逆动力学的实现方法中不需 要测量关节的加速度 而可以用一阶滤波器来实现利用速度估计加速度 5 18 dt d sq s s qr 1 如果时间常数 很小 则 5 19 qqsqr 3 3 基于保守性的运动控制方法 Slotine 和 Li 方法 该方法不同于逆动力学自适应控制方法 即使有准确的参数值 控制律也不对机器人的 运动方程进行线性化 然而 它克服了逆动力学自适应控制的主要障碍 即它不需要测量 或估计操作机的加速度 也不需要估计惯量矩阵的逆 该方法主要采用的手段是利用了机 器人动力学保守特性和反对称性 3 3 1 基于保守性的运动控制方法的一般概念 给定操作机的动力学方程为 5 20 M q qC q q qg qu 设控制律为 5 21 D uM q aC q q vg qK r 59 其中 ddd vqqqqq 5 22 d avqq rqvqq 这里 是对角的正定矩阵 把 5 21 5 22 式代入 5 20 式可得 D K 5 23 0 rKrqqCrqM D 注意到非线性控制律 5 21 和逆动力学控制律是有明显区别的 它在内闭环 5 23 中不能产生一个线性系统 因而它的稳定性分析更困难 为了证明 5 23 的稳定性 考虑 Lyapunov 函数 5 24 1 2 TT D Vr M q rqK q 微分 5 24 式并将 5 23 式解出的带入rqM 1 2 2 TTT D Vr M q rr M q rqK q 5 25 1 2 2 2 TTT DD r K rqK qrMC r 应用是反对称矩阵这一事实 及的定义有 CM2 r 5 26 TTT DD T VqKqq K q e Qe 其中 5 27 0 0 T D D K Q K 这样在误差空间的平衡点处是全局渐近稳定的 0e 事实上 如果惯性矩阵的模有常值的界 这是有可能的 如各关节都是转动关 M q 节的情形 直接就可证明该控制律的跟踪误差是全局指数稳定的 在我们前述的逆动力学 控制时很容易得出了相同的结论 基于保守性的控制方法与逆动力学控制相比较究竟有多 大的优越性 现在仅从稳定性分析上看还不十分清楚 我们将在下两节看到基于保守性的 控制方法的优点体现在它的鲁棒控制和自适应控制上 在鲁棒控制方案中 不确定界 的假设不需要了 这就大大简化了不确定界的计算 在自适应控制 1 1EMMI AA AA 方案中 它既不需要测量或估计操作机的加速度 也不需要惯量矩阵估计值是有界的 M 因此基于保守性的控制方法与逆动力学控制相比 在它的鲁棒控制和自适应控制上具有明 显的优势 3 3 2 基于保守性的鲁棒控制方法 60 本节我们将基于机器人动力学方程与动力学参数的线性特征和反对称性 应用上述的 基于保守性的运动控制方法 导出一种新的鲁棒控制方法 在设计中简化了不确定界的计 算 我们将控制律修正为 5 28 DD uM q aC q q vg qK rY q q v aK r 将控制律 5 28 式带入系统动力学方程 5 20 式 有 5 29 D MqCqgMaCvgK r 由于 我们 5 29 式重写为 qrvra qrv 5 30 D MrCrK rMaCvg Y q q v a 我们可以这样选择 5 31 0 其中是动力学参数的名义值 可能做到的最佳估计值 它是个定值的向量 是 0 一个附加的控制项 这样系统 5 30 将变成 5 32 D MrCrK rY q q v a 其中是一个常值向量 表示系统参数的不确定性 如果这种不确定性可以 0 由一个非负的常数来界定 即 5 33 0 AA AA 那么附加的控制项可以这样选择 5 34 T T T TT Y r Y r Y r Y rY r AA AA AA 如果 如果 考虑 Lyapunov 函数 1 2 TT D Vr M q rqK q 微分函数 可得到 V 5 35 TT Ve Qer Y 控制律 5 34 作用下 系统闭环跟踪误差的最终一致有界性证明可参见逆动力学控 制中的定理 3 详细证明留作练习详细证明留作练习 在这里 对常矢量 不随时间变化 的界的确定 要比在逆动力学控制中对时变 量的界的确定要容易的多 这里的界仅依赖于机器人的惯性参数 而逆动力学控制中 的依赖于机器人的状态矢量 参考轨迹及对惯性矩阵的估计 x t M q 61 3 3 3 基于保守性的自适应控制方法 在自适应方法中 控制律方程 5 28 中的 被看做是对真实参数矢量的随时间变 化的估计 将控制律 5 28 带入到机器人的动力学方程 5 20 中 5 36 D MqCqgMaCvgK r 由于 我们将 5 36 式重写为 vrqvrq 5 37 D MrCrK rMaCvg Y q q v a 其中 MMM CCC ggg 注意 5 37 式中的并不依赖于机械手的加速度 而仅与机械手的给定参考轨迹的加速Y 度及机械手的速度跟踪误差有关 参数的估计方法采用自适应控制中的标准方法 如 梯度法 最小二乘法等 这里采用 梯度更新律 5 38 1 T Yq q v a r 接下来 我们选择 Lyapunov 函数 5 39 11 22 TTT D Vr M q rqK q 可以证明跟踪误差全局收敛到零 并且参数估计有界 在给出证明之前 我们首先应认识到自适应控制律与鲁棒控制律的重要不同点 在鲁 棒控制律中 系统的状态为和 在自适应控制律中 满足微分方程 5 38 的事实 q q 由于向量是常数 意味着全状态矢量应包括 状态方程应由方程 5 37 5 38 耦合给出 基于上述原因 我们在 Lyapunov 函数 5 39 式 的选择上 增加 了正定项 上述的注解对基于逆动力学的自适应控制律的设计同样适用 1 2 T 现在沿着系统 5 37 的解轨迹对 Lyapunov 函数微分 将有 5 40 TTTTT DD VqKqq K qY r 这就很容易看出 我们将 5 38 式带入 5 40 式 将有 5 41 0 TTTT DD VqKqq K qe Qe 的定义与前面一样 表明闭环系统在 Lyapunov 意义下是稳定的 Q 注意我们只得到了是半负定的 而不是负定的 这是因为没有包含的负定项 事实V V 62 上这种情形在此类自适应控制律设计中经常遇到 也是自适应控制在应用中遇到挑战的基 本原因 比如对外扰动缺乏鲁棒性 参数估计缺乏收敛性等 有关自适应控制存在的问题 的详细讨论已超出了本课程的范围 回到我们讨论的问题 尽管现在我们仅得到闭环系统 5 37 5 38 在 Lyapunov 意 义下是稳定的 进一步的分析可以得到更强的结论 首先从方程 5 41 看 是非增的 V 的值不会比它在的大 由于由一些非负定项的和组成 这就意味着它的每一 V t0t V 项作为时间的函数是有界的 关于跟踪误差 我们也可注意到是误差矢量 r q q q V 的二次型函数 积分 5 41 式 有 e t 5 42 0 0 t T V tVeQed 上式表明误差矢量函数是平方可积函数 这种函数稍微增加点约束 就可得到 e t 当时 它趋于零 下面我们要借助于 Barbalat s 引理 t 引理引理 5 1 假设假设是平方可积函数 且是平方可积函数 且是有界的 那么必有 当是有界的 那么必有 当时 时 fRR f t 0f t 我们知道 由于和都是有界的 那么也必有界 因此我们知道是平方rqq q q q 可积函数并且是有界的 因此当时 q t 0q 要说明速度跟踪误差同样收敛于零 我们必须引用方程 5 37 从中我们可证明 是有界的 只要我们保证加速度的给定值是有界的 就可得到速度误差渐近收敛 q d qt 于零 3 4 动力学未建模问题 众所周知机器人的动力学不确定性 即未建模动力学 比如关节柔性 给机器人自 适应控制的稳定性带来了严重的问题 那么我们不禁要问 当机器人关节存在柔性的时候 自适应控制的性能究竟如何呢 这里我们达到了机器人控制理论