六年级奥数--比例解行程问题

1 10 个性化辅导讲义个性化辅导讲义 年 级 时 间年 月 日 课 题比例解行程问题 教学目标1 了解物体匀速运动的特点 2 掌握运用比例知识解决行程问题的方法 3 培养想像力 增强思维力 教 学 内 容 知识梳理 我们常常会应用比例的工具分析 2 个物体在某一段相同路线上的运动情况 我们将甲 乙 的速度 时间 路程分别用来表示 大体可分为以下两种情况 vvtts s 乙乙乙甲甲甲 1 当 2 个物体运行速度在所讨论的路线上保持不变时 经过同一段时间后 他们走过的路 程之比就等于他们的速度之比 这里因为时间相同 即 所以由 svt svt 甲甲甲 乙乙乙 ttt 乙甲 ss tt vv 甲乙 乙甲 乙甲 得到 甲乙在同一段时间t内的路程之比等于速度比 ss t vv 甲乙 乙甲 sv sv 甲甲 乙乙 2 当 2 个物体运行速度在所讨论的路线上保持不变时 走过相同的路程时 2 个物体所用 的时间之比等于他们速度的反比 这里因为路程相同 即 由 svt svt 甲甲甲 乙乙乙 sss 乙甲 svtsvt 乙乙乙甲甲甲 得 甲乙在同一段路程s上的时间之比等于速度比的反比 svtvt 乙乙甲甲 vt vt 甲乙 乙甲 比例的知识是小学数学最后一个重要内容 从某种意义上讲仿佛扮演着一个小学 压轴知 识点 的角色 从一个工具性的知识点而言 比例在解很多应用题时有着 得天独厚 的优势 往往体现 在方法的灵活性和思维的巧妙性上 使得一道看似很难的题目变得简单明了 比例的技巧不仅 可用于解行程问题 对于工程问题 分数百分数应用题也有广泛的应用 2 10 例题精讲 例题 1 甲 乙两人同时地出发 在 两地之间匀速往返行走 甲的速度大于乙的速度 AAB 甲每次到达地 地或遇到乙都会调头往回走 除此以外 两人在之间行走方向不会改变 ABAB 已知两人第一次相遇的地点距离地米 第三次的相遇点距离地米 那么第二次相遇B1800B800 的地点距离地 B 练习 甲 乙两人都从A地经B地到C地 甲 8 点出发 乙 8 点 45 分出发 乙 9 点 45 分到达 B地时 甲已经离开B地 20 分 两人刚好同时到达C地 问 到达C地时是什么时间 例题 2 某人沿公路前进 迎面来了一辆汽车 他问司机 后面有骑自行车的人吗 司机回 答 10 分前我超过一个骑自行车的人 这人继续走了 10 分 遇到了这个骑自行车的人 如 果自行车的速度是人步行速度的三倍 那么汽车速度是人步行速度的多少倍 练习 从甲地到乙地全部是山路 其中上山路程是下山路程的 一辆汽车上山速度是下山速 2 3 度的一半 从甲地到乙地共行 7 时 这辆汽车从乙地返回甲地需要多少时间 3 10 例题 3 甲火车 4 分行进的路程等于乙火车 5 分行进的路程 乙火车上午 8 00 从B站开往A站 开出若干分后 甲火车从A站出发开往B站 上午 9 00 两列火车相遇 相遇的地点离A B两 站的距离的比是 15 16 甲火车从A站发车的时间是几点几分 练习 甲 乙两列火车的速度比是 5 4 乙车先从B站开往A站 当走到离B站 72 千米的地方 时 甲车从A站发车开往B站 如果两列火车相遇的地方离A B两站距离的比是 3 4 那么 A B两站之间的距离为多少千米 例题 4 甲 乙两班学生到离校 24 千米的飞机场参观 但只有一辆汽车 一次只能乘坐一个班的 学生 为了尽快到达飞机场 两个班商定 由甲班先坐车 乙班先步行 同时出发 甲班学生 在途中某地下车后步行去飞机场 汽车则从某地立即返回接在途中步行的乙班学生 如果甲 乙两班学生步行速度相同 汽车速度是他们步行速度的 7 倍 那么汽车应在距飞机场多少千米 处返回接乙班学生 才能使两班同时到达飞机场 4 10 练习 小明和小光同时从解放军营地回校执行任务 小光步行速度是小明的倍 营地有一辆 4 3 摩托车 只能搭乘一人 它的速度是小明步行速度的 16 倍 为了使小光和小明在最短时间内到 达 小明和小光需要步行的距离之比是多少 例题 5 甲 乙 丙三只蚂蚁从A B C三个不同的洞穴同时出发 分别向洞穴B C A爬行 同时到达后 继续向洞穴C A B爬行 然后返回自己出发的洞穴 如果甲 乙 丙三只蚂蚁 爬行的路径相同 爬行的总距离都是 7 3 米 所用时间分别是 6 分钟 7 分钟和 8 分钟 蚂蚁乙 从洞穴B到达洞穴C时爬行了 米 蚂蚁丙从洞穴C到达洞穴A时爬行了 米 练习 在一圆形跑道上 甲从 A 点 乙从 B 点同时出发反向而行 6 分后两人相遇 再过 4 分甲到达 B 点 又过 8 分两人再次相遇 甲 乙环行一周各需要多少分 5 10 例题 6 小芳从家到学校有两条一样长的路 一条是平路 另一条是一半上坡路 一半下坡 路 小芳上学走这两条路所用的时间一样多 已知下坡的速度是平路的 1 6 倍 那么上坡的速 度是平路速度的多少倍 练习 每天早晨 小刚定时离家步行上学 张大爷也定时出家门散步 他们相向而行 并且准 时在途中相遇 有一天 小刚提早出门 因此比平时早 7 分钟与张大爷相遇 已知小刚步行速 度是每分钟 70 米 张大爷步行速度是每分钟 40 米 那么这一天小刚比平时早出门多少分钟 例题 7 一辆车从甲地开往乙地 如果把车速提高 20 那么可以比原定时间提前 1 时到达 如 果以原速行驶 100 千米后再将车速提高 30 那么也比原定时间提前 1 时到达 求甲 乙两地 的距离 练习 王叔叔开车从北京到上海 从开始出发 车速即比原计划的速度提高了 1 9 结果提前一 个半小时到达 返回时 按原计划的速度行驶 280 千米后 将车速提高 1 6 于是提前 1 小时 40 分到达北京 北京 上海两市间的路程是多少千米 6 10 例题 8 一列火车出发 1 小时后因故停车 0 5 小时 然后以原速的前进 最终到达目的地晚 3 4 1 5 小时 若出发 1 小时后又前进 90 公里再因故停车 0 5 小时 然后同样以原速的前进 3 4 则到达目的地仅晚 1 小时 那么整个路程为多少公里 练习 甲 乙两人同时从山脚开始爬山 到达山顶后就立即下山 他们两人的下山速度都是各 自上山速度的 1 5 倍 而且甲比乙速度快 两人出发后 1 小时 甲与乙在离山顶 600 米处相 遇 当乙到达山顶时 甲恰好到半山腰 那么甲回到出发点共用多少小时 例题 9 甲 乙两人从相距 490 米的 A B 两地同时步行出发 相向而行 丙与甲同时从 A出 发 在甲 乙二人之间来回跑步 遇到乙立即返回 遇到甲也立即返回 已知丙每分钟跑 240 米 甲每分钟走 40 米 当丙第一次折返回来并与甲相遇时 甲 乙二人相距 210 米 那么乙 每分钟走多少米 甲下一次遇到丙时 甲 乙相距多少米 7 10 练习 A B两地相距 125 千米 甲 乙二人骑自行车分别从A B两地同时出发 相向而行 丙 骑摩托车以每小时 63 千米的速度 与甲同时从A出发 在甲 乙二人间来回穿梭 与乙相遇立 即返回 与甲相遇也立即返回 若甲车速度为每小时 9 千米 且当丙第二次回到甲处时 甲 丙同时出发的那一次为丙第零次回到甲处 甲 乙二人相距 45 千米 问 当甲 乙二人相距 20 千米时 甲与丙相距多少千米 例题 10 从甲地到乙地 需先走一段下坡路 再走一段平路 最后再走一段上坡路 其中下坡路 与上坡路的距离相等 陈明开车从甲地到乙地共用了 3 小时 其中第一小时比第二小时多走 15 千米 第二小时比第三小时多走 25 千米 如果汽车走上坡路比走平路每小时慢 30 千米 走下坡路比走平路每小时快 15 千米 那么甲乙两地相距多少千米 练习 一座石台的下底面是边长为 10 米的正方形 它的一个顶点A处有一个虫子巢穴 虫甲每 分爬 6 厘米 虫乙每分爬 10 厘米 甲沿正方形的边由A B C D A不停的爬行 甲先爬行 2 厘米后 乙沿甲爬行过的路线追赶甲 当乙遇到甲后 乙就立即沿原路返回巢穴 然后乙再沿 甲爬行过的路线追赶甲 在甲爬行的一圈内 乙最后一次追上甲时 乙爬行了多长时间 8 10 举一反三 1 甲 乙两人同时从 A地出发到 B 地 经过 3 小时 甲先到 B 地 乙还需要 1 小时到达 B 地 此时甲 乙共行了 35 千米 求 A B 两地间的距离 2 一辆汽车从甲地开往乙地 如果车速提高 20 可以提前 1 小时到达 如果按原速行驶一段距 离后 再将速度提高 30 也可以提前 1 小时到达 那么按原速行驶了全部路程的几分之几 3 兄弟两人骑马进城 全程 51 千米 马每时行 12 千米 但只能由一个人骑 哥哥每时步行 5 千米 弟弟每时步行 4 千米 两人轮换骑马和步行 骑马者走过一段距离就下鞍拴马 下鞍拴 马的时间忽略不计 然后独自步行 而步行者到达此地 再上马前进 若他们早晨 6 点动身 则何时能同时到达城里 4 如图 5 甲 乙两地相距 360 千米 一辆卡车载有 6 箱药品 从甲地开往乙地 同时 一辆摩 托车从乙地出发 与卡车相向而行 卡车速度是 40 千米 小时 摩托车速度是 80 千米 小时 摩托车与卡车相遇后 从卡车上卸下 2 箱药品运回乙港 摩托车到达乙地卸下药品后 又立即 掉头 摩托车每次与卡车相遇 都从卡车上卸下 2 箱药品运回乙地 那么将全部的 6 箱药品都 运送到乙地至少需要多少时间 这时摩托车一共行驶了多少路程 9 10 课堂总结 我的收获 我的疑惑 课后作业 1 上午 8 点整 甲从 A地出发匀速去 B 地 8 点 20 分甲与从 B 地出发匀速去 A地的乙相 遇 相遇后甲将速度提高到原来的 3 倍 乙速度不变 8 点 30 分 甲 乙两人同时到达各自 的目的地 那么 乙从 B 地出发时是 8 点几分 2 甲 乙两人分别从两地同时出发 相向而行 出发时他们的速度之比是 3 2 相遇后 AB 甲的速度提高 20 乙的速度提高 这样当甲到达地时 乙离地还有 41 千米 那么 1 3 BA 两地相距千米 AB 3 B地在A C两地之间 甲从B地到A地去送信 甲出发 10 分后 乙从B地出发到C地去送另 一封信 乙出发后 10 分 丙发现甲 乙刚好把两封信拿颠倒了 于是他从B地出发骑车去追赶 甲和乙 以便把信调过来 已知甲 乙的速度相等 丙的速度是甲 乙速度的 3 倍 丙从出发 到把信调过来后返回B地至少要用多少时间 10 10 4 早晨 小张骑车从甲地出发去乙地 下午 1 点 小王开车也从甲地出发 前往乙地 下午 2 点时两人之间的距离是 15 千米 下午 3 点时 两人之间的距离还是 l5 千米 下午 4 点时 小王到达乙地 晚上 7 点小张到