2012年高考数学二轮限时训练 立体几何 2 理

1 第五部分 立体几何 第五部分 立体几何 2 2 限时 时间 45 分钟 满分 100 分 一 选择题 1 设平面 的法向量为 1 2 2 平面 的法向量为 2 4 k 若 则 k A 2 B 4 C 4 D 2 解析解析 2 4 k 1 2 2 2 k 2 k 4 答案答案 C 2 已知平面 内有一个点 M 1 1 2 平面 的一个法向量是n n 6 3 6 则 下列点 P 中在平面 内的是 A P 2 3 3 B P 2 0 1 C P 4 4 0 D P 3 3 4 解析解析 n n 6 3 6 是平面 的法向量 答案答案 A 3 2012 年唐山二模 设正方体 ABCD A1B1C1D1的棱长为 2 则点 D1到平面 A1BD 的距离 是 A B 3 2 2 2 C D 2 2 3 2 3 3 2 解析解析 如图建立空间直角坐标系 则 D1 0 0 2 A1 2 0 2 D 0 0 0 B 2 2 0 答案答案 D 4 长方体 ABCD A1B1C1D1中 AB AA1 2 AD 1 E 为 CC1的中点 则异面直线 BC1与 AE 所成角的余弦值为 A B 10 10 30 10 C D 2 15 10 解析解析 建立坐标系如图 3 则 A 1 0 0 E 0 2 1 B 1 2 0 C1 0 2 2 所以异面直线 BC1与 AE 所成角的余弦值为 30 10 答案答案 B 5 若正三棱锥的侧面都是直角三角形 则侧面与底面所成二面角的余弦值是 A B 6 3 3 3 C D 2 3 1 3 解析解析 以正三棱锥 O ABC 的顶点 O 为原点 OA OB OC 为 x y z 轴建系 设侧棱长为 1 则 A 1 0 0 B 0 1 0 C 0 0 1 侧面 OAB 的法向量为 底面 ABC 的法向量为 n 4 答案答案 B 二 填空题 6 2011 年上海模拟 设平面 与向量a a 1 2 4 垂直 平面 与向量 b b 2 3 1 垂直 则平面 与 位置关系是 解析解析 由已知a a b b分别是平面 的法向量 a a b b 2 6 4 0 a a b b 答案答案 垂直 7 若直线 l 的方向向量a a 2 3 1 平面 的一个法向量n n 4 0 1 则直线 l 与平面 所成的角的正弦值等于 解析解析 设直线 l 与平面 所成角为 则 sin cos a a n n a a n n a a n n 8 1 4 9 1 42 1 7 14 17 238 34 答案答案 238 34 8 四棱锥 P ABCD 的底面为边长的正方形 顶点在底面的射影为底面的中心 O 且 2 PO 1 则此四棱锥的两个相邻的侧面所成的二面角的余弦值为 5 解析解析 如图 建立坐标系 则 P 0 0 1 B 1 0 0 C 0 1 0 D 1 0 0 设平面 PBC 的一个法向量为n n1 x1 y1 z1 平面 PCD 的一个法向量为n n2 x2 y2 z2 令 x1 1 则 z1 1 y1 1 令 y2 1 则 z2 1 x2 1 n n1 1 1 1 n n2 1 1 1 6 cos n n1 n n2 n n1 n n2 n n1 n n2 1 1 1 3 3 1 3 由题意可知 所成二面角余弦值为 1 3 答案答案 1 3 三 解答题 9 2011 年广州模拟 正三棱柱 ABC A1B1C1的所有棱长均为 2 P是侧棱 AA1上任意一 点 1 求正三棱柱 ABC A1B1C1的体积 2 判断直线 B1P 与平面 ACC1A1是否垂直 请证明你的结论 3 当 BC1 B1P 时 求二面角 C B1P C1的余弦值 解析解析 1 VABC A1B1C1 S ABC AA1 22 2 2 3 43 2 不垂直 建立如图所示的空间直角坐标系 O xyz 设 AP a 则 A C B1 P 的坐标分别为 7 0 1 0 0 1 0 B1P 不垂直 AC 直线 B1P 不可能与平面 ACC1A1垂直 即 2 2 a 2 0 a 1 又 BC1 B1C BC1 平面 CB1P 设平面C1B1P 的法向量为 n 1 y z 二面角 C B1P C1 的余弦值的大小为 8 10 如图 四面体 ABCD 中 O E 分别是 BD BC 的中点 CA CB CD BD 2 AB AD 2 1 求证 AO 平面 BCD 2 求异面直线 AB 与 CD 所成角的余弦值 3 求点 E 到平面 ACD 的距离 解析解析 1 连接 OC BO DO AB AD AO BD BO DO BC CD CO BD 在 AOC 中 由已知可得 AO 1 CO 3 而 AC 2 AO2 CO2 AC2 AOC 90 即 AO OC BD OC O AO 平面 BCD 2 以 O 为原点 建立如图空间直角坐标系 则 B 1 0 0 D 1 0 0 C 0 0