【解析版】河南省郑州大学附中2013届高三数学第三次月考试题 文 新人教A版

1 河南省郑州大学附中河南省郑州大学附中 20132013 届届高三第三次月考数学试卷 文科 高三第三次月考数学试卷 文科 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一 选择题 共 12 小题 每题 5 分 满分 60 分 每小题给出的 4 个选项中 只有一选项 是符合题目要求的 1 5 分 设集合 M 0 1 3 N 0 1 7 则 M N A 0 1 B 0 1 C D 0 1 3 7 考点 交集及其运算 专题 计算题 分析 根据集合 M 0 1 3 N 0 1 7 找出它们的公共元素 再求交集 解答 解 集合 M 0 1 3 N 0 1 7 M N 0 1 故选 A 点评 本题考查交集及其运算问题 注意交集的定义 较简单 2 5 分 已知复数 a 3i 4 bi a b R 则 a b A B C 1D 2 考点 复数相等的充要条件 专题 计算题 分析 利用复数代数形式的相等 求出 a b 由此能求出 a b 的值 解答 解 复数 a 3i 4 bi a 4 b 3 故 a b 1 故选 C 点评 本题考查复数相等条件的应用 是基础题 解题时要认真审题 仔细解答 3 5 分 已知向量 1 k k 1 6 若 则正实数 k 的值为 A 3B 2C 3 或 2 D 3 或 2 考点 平行向量与共线向量 平面向量的坐标运算 2 专题 平面向量及应用 分析 由向量的共线定理得充要条件即可计算出 k 的值 解答 解 1 6 k k 1 0 化为 k2 k 6 0 解得 k 3 k 2 又 k 0 k 3 故选 A 点评 正确理解向量的共线定理是解题的关键 4 5 分 f x lnx 2x 5 的零点所在区间为 A 1 2 B 2 3 C 3 4 D 4 5 考点 函数的零点 专题 函数的性质及应用 分析 由函数的解析式求得 f 2 f 3 0 再根据函数零点的判定定理可得 f x lnx 2x 5 的零点所在区间 解答 解 f x lnx 2x 5 f 2 ln2 1 0 f 3 ln3 1 0 f 2 f 3 0 根据函数零点的判定定理可得 f x lnx 2x 5 的零点所在区间为 2 3 故选 B 点评 本题主要考查函数的零点的定义 判断函数的零点所在的区间的方法 属于基础 题 5 5 分 2012 许昌县模拟 如图示 边长为 2 的正方形中有一封闭曲线围成的阴影区 域 在正方形中随机撒一粒豆子 它落在阴影区域内的概率为 则阴影区域的面积为 A B C D 无法计算 考点 几何概型 3 专题 计算题 分析 本题考查的知识点是根据几何概型的意义进行模拟试验 计算不规则图形的面积 关键是要根据几何概型的计算公式 列出豆子落在阴影区域内的概率与阴影部分面 积及正方形面积之间的关系 解答 解 正方形中随机撒一粒豆子 它落在阴影区域内的概率 P 又 S正方形 4 S阴影 故选 B 点评 利用几何概型的意义进行模拟试验 估算不规则图形面积的大小 关键是要根据几 何概型的计算公式 探究不规则图形面积与已知的规则图形的面积之间的关系 及 它们与模拟试验产生的概率 或频数 之间的关系 并由此列出方程 解方程即可 得到答案 6 5 分 若 是第三象限的角 则 A B C D 考点 两角和与差的正弦函数 同角三角函数间的基本关系 专题 计算题 分析 根据 的所在的象限以及同角三角函数的基本关系求得 sin 的值 进而利用两角 和与差的正弦函数求得答案 解答 解 是第三象限的角 sin 所以 sin sin cos cos sin 故选 A 点评 本题主要考查了两角和与差的正弦函数 以及同角三角函数的基本关系的应用 根 据角所在的象限判断三角函数值的正负是做题过程中需要注意的 7 5 分 2012 泉州模拟 设长方体的长 宽 高分别为 2a a a 其顶点都在一个球 面上 则该球的表面积为 A 3 a2B 6 a2C 12 a2D 24 a2 考点 球的体积和表面积 4 专题 计算题 分析 本题考查的知识点是球的体积和表面积公式 由长方体的长 宽 高分别为 2a a a 其顶点都在一个球面上 则长方体的对角线即为球的直径 即球的半径 R 满足 2R 2 6a2 代入球的表面积公式 S球 4 R2 即可得到答案 解答 解 根据题意球的半径 R 满足 2R 2 6a2 所以 S球 4 R2 6 a2 故选 B 点评 长方体的外接球直径等于长方体的对角线长 8 5 分 设 m n 是两条不同的直线 是两个不同的平面 则下列命题中正确的是 A 若 m n m 则 n B 若 m 则 m C 若 m 则 m D 若 m n m n 则 考点 命题的真假判断与应用 空间中直线与直线之间的位置关系 空间中直线与平面之 间的位置关系 专题 常规题型 分析 A 选项 m n m 则 n 可由线面平行的判定定理进行判断 B 选项 m 则 m 可由面面垂直的性质定理进行判断 C 选项 m 则 m 可由线面的位置关系进行判断 D 选项 a b a b 则 可由面面垂直的判定定理进行判断 解答 解 A 选项不正确 因为 n 是可能的 B 选项不正确 因为 m 时 m m 都是可能的 C 选项不正确 因为 m 时 可能有 m D 选项正确 可由面面垂直的判定定理证明其是正确的 故选 D 点评 本题考查线面平行 线面垂直以及面面垂直的判断 主要考查空间立体的感知能力 以及组织相关知识进行判断证明的能力 属基础题 9 5 分 已知点 F A 分别为双曲的左焦点 右顶点 点 B 0 b 满足 则双曲线的离心率为 A B C D 考点 双曲线的简单性质 5 专题 计算题 分析 根据题意判断出 FB AB 利用勾股定理求得 a 和 c 关系 整理成关于 e 的方程求得 双曲线的离心率 解答 解 FB AB FB 2 AB 2 FA 2 即 c2 b2 a2 b2 a c 2 整理得 c2 a2 ac 0 等式除以 a2得 e2 e 1 0 求得 e 舍负 e 故选 D 点评 本题主要考查了双曲线的简单性质 解题过程中关键是利用了勾股定理找到了 a 和 c 的关系 10 5 分 2007 浙江 设 f x 是函数 f x 的导函数 将 y f x 和 y f x 的图象画在同一个直角坐标系中 不可能正确的是 A B C D 考点 利用导数研究函数的单调性 导数的几何意义 专题 压轴题 分析 本题可以考虑排除法 容易看出选项 D 不正确 因为 D 的图象 在整个定义域内 不具有单调性 但 y f x 和 y f x 在整个定义域内具有完全相同的走势 不 具有这样的函数 解答 解析 检验易知 A B C 均适合 不存在选项 D 的图象所对应的函数 在整个定义 域内 不具有单调性 但 y f x 和 y f x 在整个定义域内具有完全相同的走 势 不具有这样的函数 故选 D 点评 考查函数的单调性问题 11 5 分 设曲线 y xn 1 n N 在点 1 1 处的切线与 x 轴的交点的横坐标为 xn 则 log2011x1 log2011x2 log2011x2010的值为 A log20112010B 1C log20112010 1D 1 6 考点 利用导数研究曲线上某点切线方程 对数的运算性质 专题 计算题 分析 先求曲线在点 1 1 处的切线方程 从而得出切线与 x 轴的交点的横坐标为 xn 再求相应的函数值 解答 解 y xn 1在 1 1 处的切线方程为 y 1 n 1 x 1 该切线与 x 轴的交点 的横坐标为 xn 所以 log2011x1 log2011x2 log2011x2010 故选 B 点评 本题利用了导数的几何意义 同时利用了对数运算的性质求出函数 12 5 分 若框图所给程序运行的结果 那么判断框中可以填入的关于 k 的判断 条件是 A k 2010 B k 2009 C k 2010 D k 2009 考点 程序框图 专题 图表型 分析 框图在给累加变量和循环变量赋值后 先执行了一次运算 然后再判断执行 从执 行框看出 程序执行的是数列求和运算 根据程序运行的结果 得到 S 的值 从而得到 k 的值 则判断框中的条件可求 7 解答 解 由框图可知 程序执行的是求数列 的前 n 项和的运算 由 所以框图最后输出的 S 为的形式 由程序运行的结果 所以 S 所以 k 2010 所以判断框中的条件为 k 2010 时 程序继续执行一次 k 2009 1 2010 再次判断时不满足条件 算法结束 故选 A 点评 本题考查了程序框图 考查了数列的求和 程序虽然先执行了一次运算 实则是循 环结构中的当型循环 此题是中档题 二 填空题 共 4 小题 每小题 5 分 满分 20 分 13 5 分 计算 45 考点 有理数指数幂的运算性质 专题 计算题 分析 把幂指数小于 0 的写到分母上去 变代分数为假分数加以开方 最后一项用非 0 的 0 次幂等于 1 解答 解 故答案为 45 点评 本题考查了有理指数幂的运算性质 解答的关键是熟记有关性质 同时需熟练掌握 分数指数幂与根式的互化 属基础题 14 5 分 一个几何体的三视图如图所示 其中主视图中 ABC 是边长为 2 的正三角形 俯视图为正六边形 则该几何体的体积为 8 考点 由三视图求面积 体积 专题 计算题 分析 该几何体是正六棱锥 依据数据求解即可 解答 解 由三视图可知几何体是正六棱锥 底面边长为 1 侧棱长为 2 该几何体的体积 故答案为 点评 本小题考查三视图求体积 考查简单几何体的三视图的运用 培养同学们的空间想 象能力和基本的运算能力 基础题 15 5 分 2012 宝鸡模拟 已知实数 x y 满足不等式组 则目标函数 z x 3y 的最大值为 4 考点 简单线性规划 专题 计算题 分析 本题主要考查线性规划的基本知识 先画出约束条件 的可行域 再求出 可行域中各角点的坐标 将各点坐标代入目标函数的解析式 分析后易得目标函数 Z x 3y 的最大值 解答 解 约束条件 的可行域如下图示 由图易得目标函数 z x 3y 在 1 1 处取得最大值 4 故答案为 4 9 点评 点评 在解决线性规划的小题时 我们常用 角点法 其步骤为 由约束条件画 出可行域 求出可行域各个角点的坐标 将坐标逐一代入目标函数 验证 求 出最优解 16 5 分 定义 ad bc 已知 a b c 为 ABC 的三个内角 A B C 的对边 若 0 且 a b 10 则 c 的最小值为 考点 二阶矩阵 专题 计算题 压轴题 分析 由定义 ad bc 得到关于 cosC 的式子 解出 cosC 的值 再结合 a b 10 由余 弦定理和基本不等式求最值即可 解答 解 由题意 2cosC 1 cosC 2 cosC 1 2cos2C 3cosC 2 0 所以 cosC 或 cosC 2 舍去 由余弦定理 c2 a2 b2 2abcosC a b 2 2ab ab a b 2 ab 因为 a b 10 且 所以 c2 50 所以 c 的最小值为 故答案为 点评 本题考查二阶矩阵 解三角形 基本不等式求最值等知识 考查利用所学知识解决 问题的能力 三 解答题 共 6 小题 满分 70 分 17 12 分 北京卷文 15 已知函数 f x 2cos2x sin2x 10 求 f 的值 求 f x 的最大值和最小值 考点 三角函数的最值 二倍角的余弦 专题 计算题 分析 I 直接代入函数解析式求解即可 II 先用降幂公式 辅助角公式 再用换元法将函数转化为二次函数求最值 解答 解 I f 2 II f x 2 2 cosx 2 1 1 cosx 2 3 cosx 2 1 cosx 1 1 cosx 1 时 f x 取最大值 2 cosx 0 时 f x 取最小值 1 点评 本题主要考查了三角函数的求值 恒等变换和最值问题 也考查了二倍角公式及辅 助角公式 18 12 分 2007 丰台区一模 已知数列 an 满足 an 1 2an 0 且 a3 2 是 a2 a4的等差 中项 求数列 an 的通项公式 an 若 bn anlog2an Sn b1 b2 bn 求使 Sn n 2n 1 50 成立的正整数 n 的最小值 考点 数列的应用 专题 计算题 分析 由题意知数列 an 是以 2 为公比的等比数列 再由 a3 2 是 a2 a4的等差中项 可知 a1 2 所以数列 an 的通项公式 an 2n 由题设条件知 bn n 2n 由此可知 Sn 2 2 22 3 23 4 24 n 2n 2Sn 22 2 23 3 24 4 25 n 1 2n n 2n 1 再由错位相减法可知使 Sn n 2n 1 50 成立的正整数 n 的最小值为 5 解答 解 an 1 2an 0 即 an 1 2an 数列 an 是以 2 为公比的等比数列 a3 2 是 a2 a4的等差中项 a2 a4 2a3 4 2a1 8a1 8a1 4 a1 2 数列 an 的通项公式 an 2n 由 及 bn anlog2an得 bn n 2n Sn b1 b2 bn Sn 2 2 22 3 23 4 24 n 2n 2Sn 22 2 23 3 24 4 25 n 1 2n n 2n 1 得 Sn 2 22 23 24 25 2n n 2n 1 11 要使 Sn n 2n 1 50 成立 只需 2n 1 2 50 成立 即 2n 1 52 n35 使 Sn n 2n 1 50 成立的正整数 n 的最小值为 5 点评 本题考查数列性质的综合运用 解题时要注意计算能力的培养 19 12 分 已知集合 A x x2 3 a 1 x 2 3a 1 0 B 1 当 a 2 时 求 A B 2 求使 B A 的实数 a 的取值范围 考点 交集及其运算 集合的包含关系判断及应用 专题 计算题 分析 1 把 a 的值分别代入二次不等式和分式不等式 然后通过求解不等式化简集合 A B 再运用交集运算求解 A B 2 把集合 B 化简后 根据集合 A 中二次不等式对应二次方程判别式的情况对 a 进 行分类讨论 然后借助于区间端点值之间的关系列不等式组求解 a 的范围 解答 解 1 当 a 2 时 A x x2 3 a 1 x 2 3a 1 0 x x2 9x 14 0 2 7 B x 4 5 A B 4 5 2 B 2a a2 1 当 a 时 A 3a 1 2 要使 B A 必须 此时 a 1 当时 A 使 B A 的 a 不存在 a 时 A 2 3a 1 要使 B A 必须 此时 1 a 3 综上可知 使 B A 的实数 a 的范围为 1 3 1 点评 本题考查了交集及其运算 考查了集合的包含关系及其应用 考查了分类讨论的数 12 学思想 解答此题的关键是对集合 A 的讨论 此题是中档题 20 12 分 2009 江苏 如图 在直三棱柱 ABC A1B1C1中 E F 分别是 A1B A1C 的中 点 点 D 在 B1C1上 A1D B1C 求证 1 EF 平面 ABC 2 平面 A1FD 平面 BB1C1C 考点 直线与平面平行的判定 平面与平面垂直的判定 专题 证明题 分析 1 要证明 EF 平面 ABC 证明 EF BC 即可 2 证明平面 A1FD 平面 BB1C1C 证明 A1D 面 BB1C1C 即可 解答 证明 1 因为 E F 分别是 A1B A1C 的中点 所以 EF BC 又 EF 面 ABC BC 面 ABC 所以 EF 平面 ABC 2 因为直三棱柱 ABC A1B1C1 所以 BB1 面 A1B1C1 BB1 A1D 又 A1D B1C 所以 A1D 面 BB1C1C 又 A1D 面 A1FD 所以平面 A1FD 平面 BB1C1C 点评 本题考查直线与平面平行和垂直的判断 考查学生空间想象能力 逻辑思维能力 是中档题 21 12 分 2012 汕头一模 已知函数 f x xlnx 求 f x 的最小值 若对所有 x 1 都有 f x ax 1 求实数 a 的取值范围 考点 利用导数求闭区间上函数的最值 函数恒成立问题 专题 综合题 分析 1 先求出函数的定义域 然后求导数 根据导函数的正负判断函数的单调性进而 可求出最小值 2 将 f x ax 1 在 1 上恒成立转化为不等式对于 x 1 恒成立 然后令 对函数 g x 进行求导 根据导函 数的正负可判断其单调性进而求出最小值 使得 a 小于等于这个最小值即可 解答 解 f x 的定义域为 0 f x 的导数 f x 1 lnx 13 令 f x 0 解得 令 f x 0 解得 从而 f x 在单调递减 在单调递增 所以 当时 f x 取得最小值 依题意 得 f x ax 1 在 1 上恒成立 即不等式对于 x 1 恒成立 令 则 当 x 1 时 因为 故 g x 是 1 上的增函数 所以 g x