初二数学菱形、矩形复习题

初二数学菱形 矩形复习题 矩形 定义 有一个是直角的平行四边形是矩形 性质 判定 菱形 定义 有一组邻边相等的平行四边形是菱形 性质 判定 1 如图 矩形 ABCD 的周长为 20cm 两条对角线相交于 O 点 过点 O 作 AC 的垂线 EF 分 别交 AD BC 于 E F 点 连接 CE 则 CDE 的周长为 2 如图 在矩形 ABCD 中 AB 3 AD 4 点 P 在 AB 上 PE AC 于 E PF BD 于 F 则 PE PF 等于 3 如图 在矩形 ABCD 中 DE AC 于 E EDC EDA 1 3 且 AC 8 则 DE 的长度是 4 如图 E F 分别是矩形 ABCD 边 AD BC 上的点 且 ABG DCH 的面积分别为 15 和 20 则图中阴影部分的面积为 5 若菱形两条对角线长分别为 6 和 8 则这个菱形的面积为 6 若菱形的周长为 16 两邻角度数之比为 1 2 则该菱形的面积为 7 如图 O 是菱形 ABCD 的对角线 AC BD 的交点 E F 分别是 OA OC 的中点 下列结论 S ADE S EOD 四边形 BFDE 也是菱形 四边形 ABCD 的面积为 EF BD ADE EDO DEF 是轴对称图形 其中正确的结论有 8 如果矩形一条较短的边是 5 两条对角线的夹角是 60 则对角线长是 9 Rt ABC 中 BAC 90 AB 3 AC 4 P 为边 BC 上一动点 PE AB 于 E PF AC 于 F M 为 EF 中点 则 AM 的最小值为 10 如图 四边形 ABCD 为矩形 H F 分别为 AD BC 边的中点 四边形 EFGH 为矩形 E G 分别在 AB CD 边上 则图中四个直角三角形面积之和与矩形 EFGH 的面积之比为 11 如图 在矩形 ABCD 中 AD 5 AB 4 点 E G H F 分别在 AB BC CD AD 上 且 AF CG 2 BE DH 1 点 P 是直线 EF GH 之间任意一点 连接 PE PF PG PH 则 PEF 和 PGH 的面积和等于 12 如图 四边形 ABCD 是矩形 点 E 在线段 CB 的延长线上 连接 DE 交 AB 于点 F AED 2 CED 点 G 是 DF 的中点 若 BE 1 AG 4 则 AB 的长为 13 如图 点 P 在第一象限 ABP 是边长为 2 的等边三角形 当点 A 在 x 轴的正半轴上 运动时 点 B 随之在 y 轴的正半轴上运动 运动过程中 点 P 到原点的最大距离是 若将 ABP 的 PA 边长改为 另两边长度不变 则点 P 到原点的最大距离变为 14 如图 在菱形 ABCD 中 AD 8 ABC 120 E 是 BC 的中点 P 为对角线 AC 上的一个 动点 则 PE PB 的最小值为 15 如图 在 ABC 中 ABC 90 BD 为 AC 的中线 过点 C 作 CE BD 于点 E 过点 A 作 BD 的平行线 交 CE 的延长线于点 F 在 AF 的延长线上截取 FG BD 连接 BG DF 若 AG 13 CF 6 则 BG 16 下列命题 矩形的对角线互相平分且相等 对角线相等的四边形是矩形 菱形的每一条对角线平分一组对角 一条对角线平分一组对角的平行四边形 是菱形 其中正确的命题为 注 把你认为正确的命题序号都填上 17 如图 在矩形 ABCD 中 AE AF 过点 E 作 EH EF 交 DC 于点 H 过 F 作 FG EF 交 BC 于 G 当 AD AB 满足 关系 时 四边形 EFGH 为矩形 18 如图 ABC 中 AC 的中垂线交 AC AB 于点 D F BE DF 交 DF 延长线于点 E 若 A 30 BC 6 AF BF 则四边形 BCDE 的面积是 19 如图 在 ABC 中 ACB 90 AC 6 BC 8 点 D 是斜边 AB 上任意一点 DE AC DF BC 垂足分别是点 E F 点 Q 是 EF 的中点 则线段 DQ 长的最小值等于 20 如图 矩形 ABCD 中 AB 20cm BC 4cm 点 P 从 A 开始沿折线 A B C D 以 4cm s 的速度运动 点 Q 从 C 开始沿 CD 边以 1cm s 的速度移动 如果点 P Q 分别从 A C 同时出 发 当其中一点到达 D 时 另一点也随之停止运动 设运动时间为 t s 当 t 时 四边形 APQD 也为矩形 21 如图 在菱形 ABCD 中 BAD 60 AC 与 BC 交于点 O E 为 CD 延长线上的一点 且 CD DE 连接 BE 分别交 AC AD 于点 F G 连接 OG 则下列结论中一定成立的是 把所有正确结论的序号都填在横线上 OG AB 与 EGD 全等的三角形共有 5 个 S四边形 CDGF S ABF 由点 A B D E 构成的四边形是菱形 22 如图 在正五边形 ABCDE 中 连接 AC AD CE CE 交 AD 于点 F 连接 BF 则线段 AC BF CD 之间的关系式是 23 如图 已知四边形 ABCD 是平行四边形 并且 A D 1 求证 四边形 ABCD 为矩形 2 点 E 是 AB 边的中点 F 为 AD 边上一点 1 2 2 若 CE 4 CF 5 求 DF 的长 24 已知 如图 在 ABC 中 D 是 BC 边上的一点 连接 AD 取 AD 的中点 E 过点 A 作 BC 的平行线与 CE 的延长线交于点 F 连接 DF 1 求证 AF DC 2 请问 AD 与 CF 满足什么条件时 四边形 AFDC 是矩形 并说明理由 25 如图 在平行四边形 ABCD 中 DAB 60 AB 2AD 点 E F 分别是 AB CD 的中点 过点 A 作 AG BD 交 CB 的延长线于点 G 1 求证 四边形 DEBF 是菱形 2 请判断四边形 AGBD 是什么特殊四边形 并加以证明 26 如图 四边形 ABCD 中 AB AC AD BC CD 锐角 BAC 的角平分线 AE 交 BC 于点 E AF 是 CD 边上的中线 且 PC CD 与 AE 交于点 P QC BC 与 AF 交于点 Q 求证 四边形 APCQ 是菱形 27 矩形 ABCD 中 E 是 CD 上一点 且 AE CE F 是 AC 上一点 FH AE 于 H FG CD 于 G 求证 FH FG AD 28 如图 在 ABC 中 AC 9 AB 12 BC 15 P 为 BC 边上一动点 PG AC 于点 G PH AB 于点 H 1 求证 四边形 AGPH 是矩形 2 在点 P 在运动过程中 GH 是否存在最小值 若存在 请求出 若不存在 请说明理 由 29 如图 等腰三角形 ABC 中 AB AC AD 平分 BAC 交 BC 于点 D 在线段 AD 上任取一点 P 点 A 除外 过点 P 作 EF AB 分别交 AC BC 于点 E 和点 F 作 PQ AC 交 AB 于点 Q 连接 QE 1 求证 四边形 AEPQ 为菱形 2 当点 P 在何处时 菱形 AEPQ 的面积为四边形 EFBQ 面积的一半 30 在 ABC 中 BAC 90 AD BC 于 D BG 平分 ABC 交 AD 于 E 交 AC 于 G GF BC 于 F 连接 EF 1 如图 1 求证 四边形 AEFG 是菱形 2 如图 2 若 E 为 BG 的中点 过点 E 作 EM BC 交 AC 于 M 在不添加任何辅助线的情况 下 请直接写出图 2 中是 CM 长倍的所有线段 31 阅读下面短文 如图 ABC 是直角三角形 C 90 现将 ABC 补成矩形 使 ABC 的两个顶点为矩 形一边的两个端点 第三个顶点落在矩形这一边的对边上 那么符合要求的矩形可以画出 两个矩形 ACBD 和矩形 AEFB 如图 解答问题 1 设图 中矩形 ACBD 和矩形 AEFB 的面积分别为 S1 S2 则 S1 S2 填 或 2 如图 ABC 是钝角三角形 按短文中的要求把它补成矩形 那么符合要求的矩形 可以画 个 利用图 把它画出来 3 如图 ABC 是锐角三角形且三边满足 BC AC AB 按短文中的要求把它补成矩形 那么符合要求的矩形可以画出 个 利用图 把它画出来 4 在 3 中所画出的矩形中 哪一个的周长最小 为什么 32 如图 1 菱形 ABCD 中 点 E F 分别为 AB AD 的中点 连接 CE CF 1 求证 CE CF 2 如图 2 若 H 为 AB 上一点 连接 CH 使 CHB 2 ECB 求证 CH AH AB 33 如图 在四边形 ABCD 中 AB AD CB CD E 是 CD 上一点 BE 交 AC 于 F 连接 DF 1 证明 BAC DAC AFD CFE 2 若 AB CD 试证明四边形 ABCD 是菱形 3 在 2 的条件下 试确定 E 点的位置 使得 EFD BCD 并说明理由 34 将两张完全相同的矩形纸片 ABCD FBED 按如图方式放置 BD 为重合的对角线 重叠 部分为四边形 DHBG 1 试判断四边形 DHBG 为何种特殊的四边形 并说明理由 2 若 AB 8 AD 4 求四边形 DHBG 的面积 35 如图 四边形 ABCD 中 AB DC B 90 F 为 DC 上一点 且 FC AB E 为 AD 上一 点 EC 交 AF 于点 G 1 求证 四边形 ABCF 是矩形 2 若 EA EG 求证 ED EC 36 如图 1 平行四边形 ABCD DE AB 垂足 E 在 BA 的延长线上 BF DC 垂足 F 在 DC 的延长线上 1 求证 四边形 BEDF 是矩形 2 如图 2 若 M N 分别为 AD BC 的中点 连接 EM EN FM FN 求证 四边形 EMFN 是平行四边形 37 如图 1 在 Rt ABC 中 ACB 90 点 D 是边 AB 的中点 点 E 在边 BC 上 AE BE 点 M 是 AE 的中点 联结 CM 点 G 在线段 CM 上 作 GDN AEB 交边 BC 于 N 1 如图 2 当点 G 和点 M 重合时 求证 四边形 DMEN 是菱形 2 如图 1 当点 G 和点 M C 不重合时 求证 DG DN 参考答案 矩形 定义 有一个是直角的平行四边形是矩形 性质 判定 菱形 定义 有一组邻边相等的平行四边形是菱形 性质 1 如图 矩形 ABCD 的周长为 20cm 两条对角线相交于 O 点 过点 O 作 AC 的垂线 EF 分 别交 AD BC 于 E F 点 连接 CE 则 CDE 的周长为 解答 解 四边形 ABCD 是矩形 AB DC BC AD OA OC OB OD AD BC EDO FBO 矩形 ABCD 的周长为 20cm BC DC 10cm EF AC CE CF 在 ODE 和 OBF 中 ODE OBF ASA DE BF CDE 的周长 DE CE DC BF CF DC BC DC 10cm 2 如图 在矩形 ABCD 中 AB 3 AD 4 点 P 在 AB 上 PE AC 于 E PF BD 于 F 则 PE PF 等于 解答 解 方法一 设 AP x PB 3 x EAP EAP AEP ABC AEP ABC 故 同理可得 BFP DAB 故 得 PE PF 方法二 面积法 如图 作 BM AC 于 M 则 BM S AOB S AOP S POB AO BM AO PE OB PF OA OB PE PF BM 3 如图 在矩形 ABCD 中 DE AC 于 E EDC EDA 1 3 且 AC 8 则 DE 的长度是 解答 解 四边形 ABCD 是矩形 ADC 90 AC BD 8 OA OC AC 4 OB OD BD 4 OC OD ODC OCD EDC EDA 1 3 EDC EDA 90 EDC 22 5 EDA 67 5 DE AC DEC 90 DCE 90 EDC 67 5 ODC OCD 67 5 ODC OCD DOC 180 COD 45 OE DE OE2 DE2 OD2 2DE2 OD2 16 DE 2 4 如图 E F 分别是矩形 ABCD 边 AD BC 上的点 且 ABG DCH 的面积分别为 15 和 20 则图中阴影部分的面积为 解答 解 连接 EF S ABF S EBF S EFG S ABG 15 同理 S EFH S DCH 20 S阴影 S EFG S DCH 15 20 35 5 若菱形两条对角线长分别为 6 和 8 则这个菱形的面积为 解答 解 菱形的面积为 6 8 24 6 若菱形的周长为 16 两邻角度数之比为 1 2 则该菱形的面积为 解答 解 如图 两邻角度数之比为 1 2 两邻角和为 180 ABC 60 BAD 120 周长为 16 边长 AB 4 菱形的对角线 AC 4 BD 2 4sin60 4 面积 AC BD 4 4 8 7 如图 O 是菱形 ABCD 的对角线 AC BD 的交点 E F 分别是 OA OC 的中点 下列结论 S ADE S EOD 四边形 BFDE 也是菱形 四边形 ABCD 的面积为 EF BD ADE EDO DEF 是轴对称图形 其中正确的结论有 解答 解 正确 E F 分别是 OA OC 的中点 AE OE S ADE AE OD OE OD S EOD S ADE S EOD 正确 四边形 ABCD 是菱形 E F 分别是 OA OC 的中点 EF OD OE OF OD OD DE DF 同理 BE BF 四边形 BFDE 是菱形 正确 菱形 ABCD 的面积 AC BD E F 分别是 OA OC 的中点 EF AC 菱形 ABCD 的面积 EF BD 不正确 由已知可求得 FDO EDO 而无法求得 ADE EDO 正确 EF OD OE OF OD OD DEO DFO DEF 是轴对称图形 正确的结论有四个 分别是 8 如果矩形一条较短的边是 5 两条对角线的夹角是 60 则对角线长是 10 解答 解 如图 在矩形 ABCD 中 AO BO AC BD 的夹角是 60 ABO 是等边三角形 AO AB 5 对角线 AC 2AO 2 5 10 故答案为 10 9 Rt ABC 中 BAC 90 AB 3 AC 4 P 为边 BC 上一动点 PE AB 于 E PF AC 于 F M 为 EF 中点 则 AM 的最小值为 解答 解 由题意知 四边形 AFPE 是矩形 点 M 是矩形对角线 EF 的中点 则延长 AM 应过点 P 当 AP 为直角三角形 ABC 的斜边上的高时 即 AP BC 时 AM 有最小值 此时 AM AP 由勾股定理知 BC 5 S ABC AB AC BC AP AP AM AP 10 如图 四边形 ABCD 为矩形 H F 分别为 AD BC 边的中点 四边形 EFGH 为矩形 E G 分别在 AB CD 边上 则图中四个直角三角形面积之和与矩形 EFGH 的面积之比为 1 1 解答 解 连接 HF 四边形 ABCD 为矩形 AD BC AD BC D 90 H F 分别为 AD BC 边的中点 DH CF DH CF D 90 四边形 HFCD 是矩形 HFG 的面积是CD DH S矩形 HFCD 即 S HFG S DHG S CFG 同理 S HEF S BEF S AEH 图中四个直角三角形面积之和与矩形 EFGH 的面积之比是 1 1 故答案为 1 1 11 如图 在矩形 ABCD 中 AD 5 AB 4 点 E G H F 分别在 AB BC CD AD 上 且 AF CG 2 BE DH 1 点 P 是直线 EF GH 之间任意一点 连接 PE PF PG PH 则 PEF 和 PGH 的面积和等于 解答 解 连接 FH EG AF CG 2 AE CH 4 1 3 A C 90 AEF CHG S AEF S CHG 3 同理可证 FHD GEB S FHD S GEB 1 5 FH EG EF GH 即四边形 EFHG 是平行四边形 且 S平行四边形 S矩形 2S AEF 2S FHD 11 过 P 作 EF GH 的垂线 交 EF 于 M GH 于 N 则 S EFP S GHP EF PM PN EF MN S EFHG 故答案为 12 如图 四边形 ABCD 是矩形 点 E 在线段 CB 的延长线上 连接 DE 交 AB 于点 F AED 2 CED 点 G 是 DF 的中点 若 BE 1 AG 4 则 AB 的长为 解答 解 四边形 ABCD 是矩形 点 G 是 DF 的中点 AG DG ADG DAG AD BC ADG CED AGE ADG DAG 2 CED AED 2 CED AED AGE AE AG 4 在 Rt ABE 中 AB 故答案为 13 如图 点 P 在第一象限 ABP 是边长为 2 的等边三角形 当点 A 在 x 轴的正半轴上 运动时 点 B 随之在 y 轴的正半轴上运动 运动过程中 点 P 到原点的最大距离是 1 若将 ABP 的 PA 边长改为 另两边长度不变 则点 P 到原点的最大距离变为 1 解答 解 取 AB 的中点 M 连 OM PM 在 Rt ABO 中 OM 1 在等边三角形 ABP 中 PM 无论 ABP 如何运动 OM 和 PM 的大小不变 当 OM PM 在一直线上时 P 距 O 最远 O 到 AB 的最大值是AB 1 此时在斜边的中点 M 上 由勾股定理得 PM OP 1 将 AOP 的 PA 边长改为 另两边长度不变 22 22 PBA 90 由勾股定理得 PM 此时 OP OM PM 1 故答案为 1 1 14 如图 在菱形 ABCD 中 AD 8 ABC 120 E 是 BC 的中点 P 为对角线 AC 上的一个 动点 则 PE PB 的最小值为 4 解答 解 连接 BD DE 四边形 ABCD 是菱形 B D 关于直线 AC 对称 DE 的长即为 PE PB 的最小值 ABC 120 BCD 60 BCD 是等边三角形 E 是 BC 的中点 DE BC CE BC 8 4 DE 4 故答案为 4 15 如图 在 ABC 中 ABC 90 BD 为 AC 的中线 过点 C 作 CE BD 于点 E 过点 A 作 BD 的平行线 交 CE 的延长线于点 F 在 AF 的延长线上截取 FG BD 连接 BG DF 若 AG 13 CF 6 则 BG 5 解答 解 AG BD BD FG 四边形 BGFD 是平行四边形 CF BD CF AG 又 点 D 是 AC 中点 BD DF AC 四边形 BGFD 是菱形 设 GF x 则 AF 13 x AC 2x 在 Rt ACF 中 CFA 90 AF2 CF2 AC2 即 13 x 2 62 2x 2 解得 x 5 即 BG 5 故答案是 5 16 下列命题 矩形的对角线互相平分且相等 对角线相等的四边形是矩形 菱形的每一条对角线平分一组对角 一条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形 其中正确的命题为 注 把你认为正确的命题序号都填上 解答 解 矩形的对角线互相平分且相等 故正确 对角线相等的四边形是矩形 不能正确判定 故错误 菱形的每一条对角线平分一组对角 这是菱形的一条重要性质 故正确 一条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形 故正确 故答案为 17 如图 在矩形 ABCD 中 AE AF 过点 E 作 EH EF 交 DC 于点 H 过 F 作 FG EF 交 BC 于 G 当 AD AB 满足 AB AD 关系 时 四边形 EFGH 为矩形 解答 解 四边形 ABCD 是矩形 A 90 AE AF AFE AEF 45 又 EH EF FG EF GFB HED 45 DHE 和 BGF 都是等腰直角三角形 如果四边形 EFGH 是矩形 则 EH FG ED FB 又 AE AF AD AB 故答案是 AD AB 18 如图 ABC 中 AC 的中垂线交 AC AB 于点 D F BE DF 交 DF 延长线于点 E 若 A 30 BC 6 AF BF 则四边形 BCDE 的面积是 18 解答 解 AF BF 即 F 为 AB 的中点 又 DE 垂直平分 AC 即 D 为 AC 的中点 DF 为三角形 ABC 的中位线 DE BC DF BC 又 ADF 90 C ADF 90 又 BE DE DE AC CDE E 90 四边形 BCDE 为矩形 BC 6 DF BC 3 在 Rt ADF 中 A 30 DF 3 tan30 即 AD 3 CD AD 3 则矩形 BCDE 的面积 S CD BC 18 故答案为 18 19 如图 在 ABC 中 ACB 90 AC 6 BC 8 点 D 是斜边 AB 上任意一点 DE AC DF BC 垂足分别是点 E F 点 Q 是 EF 的中点 则线段 DQ 长的最小值等于 2 4 解答 解 在 ABC 中 ACB 90 AC 6 BC 8 AB 10 连接 CD DE AC DF BC 四边形 EDFC 是矩形 EF CD EDF 90 点 Q 是 EF 的中点 DQ EF CD 当 CD 最小时 则 DQ 最小 根据垂线段最短可知当 CD AB 时 则 CD 最小 DQ EF CD 2 4 故答案为 2 4 20 如图 矩形 ABCD 中 AB 20cm BC 4cm 点 P 从 A 开始沿折线 A B C D 以 4cm s 的速度运动 点 Q 从 C 开始沿 CD 边以 1cm s 的速度移动 如果点 P Q 分别从 A C 同时出 发 当其中一点到达 D 时 另一点也随之停止运动 设运动时间为 t s 当 t 4 时 四边形 APQD 也为矩形 解答 解 根据题意 当 AP DQ 时 四边形 APQD 为矩形 此时 4t 20 t 解得 t 4 s 故答案是 4 21 如图 在菱形 ABCD 中 BAD 60 AC 与 BC 交于点 O E 为 CD 延长线上的一点 且 CD DE 连接 BE 分别交 AC AD 于点 F G 连接 OG 则下列结论中一定成立的是 把所有正确结论的序号都填在横线上 OG AB 与 EGD 全等的三角形共有 5 个 S四边形 CDGF S ABF 由点 A B D E 构成的四边形是菱形 解答 解 四边形 ABCD 是菱形 AB BC CD DA AB CD OA OC OB OD AC BD BAG EDG ABO BCO CDO AOD CD DE AB DE 在 ABG 和 DEG 中 ABG DEG AAS AG DG OG 是 ACD 的中位线 OG CD AB 正确 AB CE AB DE 四边形 ABDE 是平行四边形 BCD BAD 60 ABD BCD 是等边三角形 AB BD AD ODC 60 OD AG 四边形 ABDE 是菱形 正确 AD BE 由菱形的性质得 ABG BDG DEG 在 ABG 和 DCO 中 ABG DCO SAS ABO BCO CDO AOD ABG BDG DEG 不正确 OB OD AG DG OG 是 ABD 的中位线 OG AB OG AB GOD ABD ABF OGF GOD 的面积 ABD 的面积 ABF 的面积 OGF 的面积的 4 倍 AF OF 2 1 AFG 的面积 OGF 的面积的 2 倍 又 GOD 的面积 AOG 的面积 BOG 的面积 S四边形 ODGF S ABF 不正确 正确的是 故答案为 22 如图 在正五边形 ABCDE 中 连接 AC AD CE CE 交 AD 于点 F 连接 BF 则线段 AC BF CD 之间的关系式是 AC2 BF2 4CD2 解答 解 五边形 ABCDE 是正五边形 AB CE AD BC 四边形 ABCF 是平行四边形 又 AB BC CD DE EA 四边形 ABCF 是菱形 AC BF OB2 OC2 BC2 AC 2OC BF 2OB AC2 BF2 2OC 2 2OB 2 4OC2 4OB2 4BC2 又 BC CD AC2 BF2 4CD2 故答案为 AC2 BF2 4CD2 23 如图 已知四边形 ABCD 是平行四边形 并且 A D 1 求证 四边形 ABCD 为矩形 2 点 E 是 AB 边的中点 F 为 AD 边上一点 1 2 2 若 CE 4 CF 5 求 DF 的长 解答 1 证明 四边形 ABCD 是平行四边形 AB CD A D 180 又 A D A D 90 平行四边形 ABCD 为矩形 2 解 延长 DA CE 交于点 G 四边形 ABCD 是矩形 DAB B 90 AD BC GAE 90 G ECB E 是 AB 边的中点 AE BE 在 AGE 和 BCE 中 AGE BCE AAS AG BC 若 CE 4 CF 5 设 DF x 根据勾股定理得 CD2 CF2 DF2 CG2 DG2 即 52 x2 82 5 x 2 解得 x 即 DF 24 已知 如图 在 ABC 中 D 是 BC 边上的一点 连接 AD 取 AD 的中点 E 过点 A 作 BC 的平行线与 CE 的延长线交于点 F 连接 DF 1 求证 AF DC 2 请问 AD 与 CF 满足什么条件时 四边形 AFDC 是矩形 并说明理由 解答 1 证明 AF BC AFE DCE 又 E 为 AD 的中点 AE DE 在 AEF 和 DEC 中 AEF DEC AAS AF DC 2 解 当 AD CF 时 四边形 AFDC 是矩形 理由如下 由 1 得 AF DC 且 AF DC 四边形 AFDC 是平行四边形 又 AD CF 四边形 AFDC 是矩形 对角线相等的平行四边形是矩形 25 如图 在平行四边形 ABCD 中 DAB 60 AB 2AD 点 E F 分别是 AB CD 的中点 过点 A 作 AG BD 交 CB 的延长线于点 G 1 求证 四边形 DEBF 是菱形 2 请判断四边形 AGBD 是什么特殊四边形 并加以证明 解答 1 证明 四边形 ABCD 是平行四边形 AB CD 且 AB CD AD BC 且 AD BC E F 分别为 AB CD 的中点 BE AB DF CD BE DF 四边形 DEBF 是平行四边形 在 ABD 中 E 是 AB 的中点 AE BE AB AD 而 DAB 60 AED 是等边三角形 即 DE AE AD 故 DE BE 平行四边形 DEBF 是菱形 2 解 四边形 AGBD 是矩形 理由如下 AD BC 且 AG DB 四边形 AGBD 是平行四边形 由 1 的证明知 AD DE AE BE ADE DEA 60 EDB DBE 30 故 ADB 90 平行四边形 AGBD 是矩形 26 如图 四边形 ABCD 中 AB AC AD BC CD 锐角 BAC 的角平分线 AE 交 BC 于点 E AF 是 CD 边上的中线 且 PC CD 与 AE 交于点 P QC BC 与 AF 交于点 Q 求证 四边形 APCQ 是菱形 解答 证明 AC AD AF 是 CD 边上的中线 AFC 90 ACF CAF 90 ACF PCA 90 PCA CAF PC AQ 同理 AP QC 四边形 APCQ 是平行四边形 AF CP AE CQ EPC PAF FQC AB AC AE 平分 BAC CE BE CB 等腰三角三线合一 AF 是 CD 边上的中线 CF CD CB DC CE CF PC CD QC BC ECP PCQ QCF PCQ 90 PCE QCF PEC QFC AAS PC QC 四边形 APCQ 是菱形 27 矩形 ABCD 中 E 是 CD 上一点 且 AE CE F 是 AC 上一点 FH AE 于 H FG CD 于 G 求证 FH FG AD 解答 证明 连接 EF 如图所示 FH AE 于 H FG CD 于 G ACE 的面积 AEF 的面积 CEF 的面积 AE FH CE FG AE CE ACE 的面积 CE FH FG 又 四边形 ABCD 是矩形 AD CD ACE 的面积 CE AD FH FG AD 28 如图 在 ABC 中 AC 9 AB 12 BC 15 P 为 BC 边上一动点 PG AC 于点 G PH AB 于点 H 1 求证 四边形 AGPH 是矩形 2 在点 P 在运动过程中 GH 是否存在最小值 若存在 请求出 若不存在 请说明理 由 解答 1 证明 AC 9 AB 12 BC 15 AC2 81 AB2 144 BC2 225 AC2 AB2 BC2 A 90 PG AC PH AB AGP AHP 90 四边形 AGPH 是矩形 2 存在 理由如下 连结 AP GH AP 当 AP BC 时 AP 最短 9 12 15 AP AP 29 如图 等腰三角形 ABC 中 AB AC AD 平分 BAC 交 BC 于点 D 在线段 AD 上任取一点 P 点 A 除外 过点 P 作 EF AB 分别交 AC BC 于点 E 和点 F 作 PQ AC 交 AB 于点 Q 连接 QE 1 求证 四边形 AEPQ 为菱形 2 当点 P 在何处时 菱形 AEPQ 的面积为四边形 EFBQ 面积的一半 解答 1 证明 EF AB PQ AC 四边形 AEPQ 为平行四边形 BAD EPA AB AC AD 平分 CAB CAD BAD CAD EPA EA EP 四边形 AEPQ 为菱形 2 解 P 为 EF 中点 即 AP AD 时 S菱形 AEPQ S四边形 EFBQ 四边形 AEPQ 为菱形 AD EQ AB AC AD 平分 BAC AD BC EQ BC 又 EF AB 四边形 EFBQ 为平行四边形 作 EN AB 于 N 如图所示 则 S菱形 AEPQ EP EN EF EN S四边形 EFBQ 30 在 ABC 中 BAC 90 AD BC 于 D BG 平分 ABC 交 AD 于 E 交 AC 于 G GF BC 于 F 连接 EF 1 如图 1 求证 四边形 AEFG 是菱形 2 如图 2 若 E 为 BG 的中点 过点 E 作 EM BC 交 AC 于 M 在不添加任何辅助线的情况 下 请直接写出图 2 中是 CM 长倍的所有线段 解答 1 证明 AD BC GF BC ADF GFC 90 AE GF 在 ABG 和 FBG 中 ABG FBG AG FG FBG BED 90 BED AEG FBG AEG 90 ABG AGE 90 ABG FBG AEG AGE AE AG AE FG 四边形 AEFG 是平行四边形 AE AG 四边形 AEFG 是菱形 2 解 四边形 AEFG 是菱形 AE AG BE EG BAG 90 AE BE EG AEG 是等边三角形 AGE 60 在 RT ABG 中 ABG 30 AB AG C 30 BC 2AB BE GE EF AC EM BC BF FC CM GM 在 RT AEM 中 AME C 30 GEM GME 60 GEM GME 30 EG AG GM CM EM FC EF CM 四边形 EFCM 是平行四边形 AB BF CF EM CM 是 CM 长倍的所有线段有 AB BF CF EM 31 阅读下面短文 如图 ABC 是直角三角形 C 90 现将 ABC 补成矩形 使 ABC 的两个顶点为矩 形一边的两个端点 第三个顶点落在矩形这一边的对边上 那么符合要求的矩形可以画出 两个矩形 ACBD 和矩形 AEFB 如图 解答问题 1 设图 中矩形 ACBD 和矩形 AEFB 的面积分别为 S1 S2 则 S1 S2 填 或 2 如图 ABC 是钝角三角形 按短文中的要求把它补成矩形 那么符合要求的矩形 可以画 1 个 利用图 把它画出来 3 如图 ABC 是锐角三角形且三边满足 BC AC AB 按短文中的要求把它补成矩形 那么符合要求的矩形可以画出 3 个 利用图 把它画出来 4 在 3 中所画出的矩形中 哪一个的周长最小 为什么 解答 解 1 2 1 3 3 4 以 AB 为边长的矩形周长最小 设矩形 BCED ACHQ ABGF 的周长分别为 L1 L2 L3 BC a AC b AB c 易得三个矩形的 面积相等 设为 S L1 2a L2 2b L3 2c L1 L2 2 a b 而 a b 0 ab s 0 ab 0 L1 L2 0 L1 L2 同理可得 L2 L3 以 AB 为边长的矩形周长最小 32 如图 1 菱形 ABCD 中 点 E F 分别为 AB AD 的中点 连接 CE CF 1 求证 CE CF 2 如图 2 若 H 为 AB 上一点 连接 CH 使 CHB 2 ECB 求证 CH AH AB 解答 1 证明 四边形 ABCD 是菱形 B D AB BC CD AD 点 E F 分别为 AB AD 的中点 BE AB DF AD BE DF 在 BCE 和 DCF 中 BCE DCF SAS CE CF 2 证明 延长 BA 与 CF 交于点 G 四边形 ABCD 是菱形 B D AB BC CD AD AF BC AB CD G FCD 点 F 分别为 AD 的中点 且 AG CD AG AB BCE DCF ECB DCF CHB 2 ECB CHB 2 G CHB G HCG G HCG GH CH CH AH AG AH AB 33 如图 在四边形 ABCD 中 AB AD CB CD E 是 CD 上一点 BE 交 AC 于 F 连接 DF 1 证明 BAC DAC AFD CFE 2 若 AB CD 试证明四边形 ABCD 是菱形 3 在 2 的条件下 试确定 E 点的位置 使得 EFD BCD 并说明理由 解答 1 证明 在 ABC 和 ADC 中 ABC ADC SSS BAC DAC 在 ABF 和 ADF 中 ABF ADF SAS AFD AFB AFB CFE AFD CFE 2 证明 AB CD BAC ACD 又 BAC DAC CAD ACD AD CD AB AD CB CD AB CB CD AD 四边形 ABCD 是菱形 3 当 EB CD 时 即 E 为过 B 且和 CD 垂直时垂线的垂足 EFD