非常规数学问题解法探微

非常规数学问题解法探微非常规数学问题解法探微 有一些数学问题 例如操作问题 逻辑推理问题等 不能用通常的数学方法来解 还有一些实 际问题 研究的是事物的某种状态或性质 其本身与数量无关 也不能用通常的数学方法来解 人们习惯上将上述的这类问题称为非常规数学问题 非常规数学问题近年来在各种数学竞 赛 数学建模竞赛及数学知识应用竞赛等赛题中频频出现 特别是它与实际问题密切联系 因此受到广泛关注 非常规数学问题需要非常规的特殊解法 本文就最常用的图解法 赋值法 抽屉原理及 逻辑推理等四种方法 结合实际例子作一探讨 1 图解法 例 1 柳卡问题 假设每天中午有一艘轮船由哈佛开往纽约 同时也有一艘轮船由纽约开 往哈佛 航行时间都为七昼夜 且均沿同一航线航行 问今天中午从哈佛开出的一艘轮船将 会遇到几艘从纽约开来的同一公司的轮船 这是十九世纪在一次世界科学会议期间 法国数学家柳卡向在场的数学家们提出的一个 问题 它难倒了在场的所有数学家 连柳卡本人也没有彻底解决 后来有一位数学家通过下 面的图解法 才使问题最终得到解决 这种方法是 用两条横线分别表示纽约港和哈佛港 某天中午 记作第 0 天 从哈佛出发 的轮船在第 7 天中午到达纽约 用从下到上的一条斜线表示 用从上到下的斜线依次表示每 天中午由纽约开出的轮船经 7 昼夜到达哈佛 显然两种斜线的交点总数就是相遇的轮船数 共 15 艘 值得注意的是 上述图解法 不但给出这一问题的一种简单 美妙 不用数字计算的非 常规解法 更有意义的是它可作为一种模型 来解决这一类型的问题 请看下例 例 2 某路电车 由 站开往 站 每 5 分钟发一辆车 全程为 20 分钟 有一人骑车从 站到 站 在他出发时恰有一辆电车进站 当他到达 站时又恰有一辆电车出站 问 1 若骑车人在中途共遇到对面开来的 10 辆电车 则他出发后多少分钟到达 站 2 如果骑车人由 站到 站共用 50 分钟时间 则他一共遇到多少辆迎面开来的电车 3 若骑车人同某辆电车同时出发由 站返回 站 骑车人用 40 分钟到达 站时也恰有 一辆电车进站 问在中途有多少辆电车超过他 解 仿柳卡问题图解法 画出下面的图 由图可知 1 骑车人从 站总共遇到 12 辆从对面开来的电车到达 站所用的时间 恰 好等于 站开出 7 辆车的时间 即 35 分钟 2 若骑车人一共用 50 分钟走完全程 即由 0 到 10 的那条由下到上的斜线 可知一共 遇到 15 辆电车 3 由上到下画一条斜线 由 0 到 8 即表示骑车人由 站出发 40 分钟后到达 站 可见 中途共有 3 辆电车超过他 2 赋值法 赋值法解题 是对本身与数量无关的问题巧妙地赋于某些特殊的数值 如 1 0 与 1 等 将 其转化成数量问题 然后利用整除性 奇偶性或正负号等的讨论 使问题得以解决 例 3 在圆周上均匀地放 4 枚围棋子 然后作如下操作 若原来相邻的两枚棋子是同色 就 在其间放一枚黑子 若是异色 就在其间放一枚白子 然后将原来的 4 枚棋子取走 以上算一 次操作 证明 不论原来 4 枚棋子的黑白颜色如何排列 最多只须作 4 次操作 就可使剩下的 4 枚棋子全是黑子 解因为只有黑白两色棋子 所以可以用 1 记黑子 1 记白子 又规定在同色两子之间放 黑子 正好符合 1 1 1 1 1 1 在异色两子之间放白子 正好符合 1 1 1 1 1 因 此 这样赋值后就将原来的问题转化为 1 和 1 的讨论问题 将圆周上的 4 枚棋子依次记为 1 2 3 4 继续数下去记 5 1 6 2 按上面的赋值方法可知 2 1 1 1 与 1 同色 1 与 1 异色 这样 判断在 与 1 两棋子之间该放黑子还是白子 就由 1 的乘积符 号的正 负来确定 乘积为 1 时放黑子 为 1 时放白子 按此方法 将各次操作后的正 负 号列成下表 将圆周上的棋子排在直线上 由上表可见 经第 4 次操作后 符号皆为正 故 4 枚棋子都应放黑子 用数学归纳法可以证明 一般情况下 若圆周上原来摆着 2 枚棋子 最多操作 2 次后 一定全剩下黑子 例 4 有 11 只杯子都口朝上放着 然后将它们任意翻偶数只算一次操作 翻过的也可以再 翻 证明 无论操作多少次 都不能使 11 只杯子都口朝下 解将口朝上的杯子记为 1 口朝下的记为 1 然后计算每操作一次后 11 只杯子乘积的正 负号 开始 11 只杯子都口朝上 所以乘积的符号为 111 1 当翻动 个杯子 为偶数且 10 使其口朝下时 乘积的符号为 111 1 1 1 1 继续讨论可知 无论 是小于 11 的什么偶数 乘积的正负号均为正 而 11 只杯子都口朝 下时 乘积为 1 11 1 故不可能办到 本问题的一般结论是 奇数个杯子每次翻动偶数个或偶数个杯子每次翻动奇数个 都不 能使所有杯子都口朝下 3 抽屉原理抽屉原理是证明 存在性 问题的有力工具 其最基本形式是 将 1 或更 多 个元素任意放入 个抽屉中 则至少有一个抽屉中至少有两个 或更多 元素 抽屉原理 的正确性简单而显然 但具体运用并不容易 困难之处在于怎样设置抽屉 把一个实际问题转 化为抽屉原理问题 例 5 世界上任意 6 个人中 总有 3 个人 或彼此都认识 或彼此都不认识 这是有名的 问题 要用抽屉原理来解 对 6 个人中的任一个人 不妨设为 来说 除 外的其余 5 人可分为同 相识或不同 相识两类 即两个抽屉 由抽屉原理可知 至少有一类中至少有 3 个人 分别讨论如下 如果同 都认识的那一类中至少有 3 人 若有 3 人互相都不认识 则结论成立 否则至少 有两个人互相认识 而这两人又都同 认识 故有 3 人互相认识 结论也成立 如果同 都不认识的那一类中至少有 3 人 若其中有 3 人互相认识 则结论成立 否则 至少有两人彼此不认识 但这二人又都与 互不认识 故这时有 3 人互相不认识 结论也成立 此问题也可以用染色法来证明 在平面上用 1 2 6 来代表 6 个人 设它们无三点共线 将互相认识的两人 连一条红线 否则连一条蓝线 问题就转化为 在这 15 条连线中要证明至少有一个同颜色的 三角形 证明 考虑由 1 出发的 5 条线 因为只有红 蓝两种颜色 两个抽屉 所以至少有 3 条 为同色 不妨设 1 2 1 3 1 4 为红色 其次 再考虑 2 3 4 三边的颜色 若 均为蓝色则结论成立 此三人互相不认识 否则 至少有一条边为红色 例如 2 3 则 1 2 3 的三边都为红色 结论也成立 此三人彼此都认识 例 6 已知某学者在五年期间内每月至少发表一篇文章 又知他每年至多发 19 篇 则可得 结论 他必在某连续的几个月内恰好发文 24 篇 试证明之 解设此人在 5 年内 60 个月 每月发文数为 1 2 60 又设此数列前 项和为 1 2 60 19 5 95 如果他在某连续的几个月内恰发文 24 篇 则说明存在两个编号 和 使得 24 1 60 成立 又 1 24 2 24 60 24 95 24 119 共 60 个数 连同 1 2 60 共 120 个数 将它们写在一起 即 1 1 2 60 1 24 60 24 119 上式表明 在区间 1 119 中写了 20 个整数 元素 但 1 119 上只有 119 个不同的 整数 设为抽屉 由抽屉原理知 在 1 2 60 24 这 120 个整数中必有两个相等 又因 为 1 2 60 彼此不相等 从而 1 20 2 24 60 24 也各不相等 因此彼此相等 的那两个数必来自两组之中 不妨设为 与 24 相等 即 24 成立 4 逻辑推理有一些涉及逻辑推理方面的问题 可通过逻辑推理方法 将矛盾结论排除 找 出合理结论 推理顺序有顺推法和逆推法 例 7 要分派 五人去执行一项任务 但按实际情况必须满足以下条件 1 若 去 也去 2 两人中至少有一人去 3 两人中必须去且只能去一人 4 都去或都不去 5 若去 则 都去 问 应派谁们去 解 逆推 若 去 都去 去 不去 不去 导自矛盾 所以 不能去 不去 去 去 不去 不去 符合所有条件