高中数学 第二章基本初等函数教案 新人教A版必修1

1 2 1 12 1 1 第第 1 1 课时课时 根式与分数指数幂的互化根式与分数指数幂的互化 一 学习目标 1 知识与技能 理解 n 次方根概念及 n 次方根性质 理解有理数指数幂含义 2 过程与方法 会求或化简根指数为正整数时的根式 根式与分数指数幂的转换 3 情感 态度与价值观 通过具体的情景 学会科学思考问题 感受探究未知世界的乐趣 从而培养我们对数学的情感 二 预习导学 请同学们阅读 P48 51内容 完成下列问题 1 问题 2 中生物体内碳 14 含量 P 与死亡年数 t 之间的关系 P 5730 2 1 t 是怎样得出的 2 整数指数幂 a a a a Nn a0 1 a 0 a n a 0 Nn 整数指数幂的运算性质 1 am an Z nm 2 am n Z nm 3 n m a a Z nm a 0 4 ab m Z m 3 根式的运算性质 1 当 n 为任意正整数时 nn a 2 当 n 为奇数时 nn a 当 n 为偶数时 nn a 3 根式的基本性质 np mp a a 0 4 当 a 0 时 510 a 32 a a 5 正整数的正分数指数幂的意义是 n m a 其中 a 0 N nm 且 n 1 6 正数的负分数指数幂的意义是 n m a 其中 a 0 N nm 且 n 1 预习思考 1 44 100 2 55 1 0 2 3 6 6 yx 4 3 1 8 5 3 1 27 6 4 3 3 三 典例剖析 例 1 已知xx2112 2 求实数 x 的取值范围 例 2 已知Rba 则集式 22 b aabba 成立的条件是 A a bB a bC a bD a b 分析 baba 2 要根据 a 与 b 的大小关系分类讨论绝对值求解 例 3 已知 1 x 2 则212 2 xxx的值为 四 学习巩固 1 下列结论正确的是 正数的 n 次方根有两个 负数的 n 次方根有一个 n 为奇数时 xx nn n 为偶数时 xx nn A 1 个B 2 个C 3 个D 4 个 2 X6 2009 x 是 用根式表示 3 化简 3 3 125 0 8 27 4 25 4 已知 0 2 1 21 xx有意义 则实数 x 的取值范围为 作业 P59 A 组 1 2 第 2 课时 分数指数幂的运算与性质 一 学习目标 1 知识与技能 理解无理指数幂的意义 掌握分数指数幂的运算 2 过程与方法 有理指数幂的运算要类比整数指数幂的运算 体验 用有理数逼近无理数 的思想 引进无理数指数幂的过程 3 情感 态度与价值观 感受由特殊到一般数学思想方法 正整数指数幂 正分数指数幂 负分数指数幂 有 3 理数指数幂 无理数指数幂 提升教学思维能力 二 教材导读 阅读教材第 52 53 页相关内容 并完成下列问题 1 同学们 前面我们知道 有理数指数幂的底数取大于 0 的数 那么 当幂的指数推广到 无理数指数后 幂的底数的取值是怎样的 2 5 2 是否有意义呢 它又表示的一个怎样的数呢 通过怎样的方法判断呢 用 和 两个方向逼近 预习思考 1 1 323 aa 2 12 7 4 3 3 1 aaa 3 6 5 4 3 2 3 aaa 2 设 10m 2 10n 3 则 10 2m 10 n 三 典例剖析 例 1 计算下列各式 字母都是正数 1 6 5 4 1 5 6 1 3 1 2 1 1 2 1 3 2 yxyx yx 2 3 1 3 4 3 11 4 1 3 2 z z yxyx 例 2 计算下列各式 1 01 2 1 3 2 322510002 0 8 27 2 31337 3 3 2 9 aaaa 解析 将式子中负分数指数化为正分数指数 将根式化为分数指数幂 规律总结 一般地 进行指数幂的运算时 化负指数为正指数 化根式为分数指数幂 化小数为分数 这样便于进行乘除 乘方 开方运算 可以达到化繁为简的目的 例 3 已知3 2 1 2 1 aa 求下列各式的值 1 a a 1 2 a2 a 2 3 2 1 2 1 2 3 2 3 aa aa 解析 先化简变形再整体代入即可 方法指导 这类题要观察和发现已知和未知的关系 设法从整体上寻求结果 建立已知 和未知之间的联系 进而整体代入求值 避免从已知条件中求出字母的值 然后代入求值 4 布置作业 P54 练习 3 A 组 4 基础巩固 1 用分数指数幂表示 3 aaa为 A 3 4 aB 4 3 aC 12 1 aD 4 1 a 2 函数 2 1 0 2 5 xxxf的定义域是 3 20102009 23 23 4 已知 22 22 xx且1 x 则 22 xx的值为 A 2 或 2B 2C 6D 2 5 设cbacba 则 61224 34 的大小关系是 A cba B acb C acb D cba 2 1 2 第 1 课时指数函数及其性质 一 学习目标 1 知识与技能 了解指数函数模型的实例背景 理解指数函数的概念和意义 理解指数函数的单调性与特 殊点 2 过程与方法 能画出具体指数函数的图象 探索指数函数的单调性 体会数形结合思想的运用 3 情感 态度与价值观 通过画指数函数的图象 体会指数函数的图象的重要性 同时体现图形的对称美 激 发学习兴趣 努力探究问题 二 预习导学 阅读 P54 P56 完成下列问题 1 函数 20 073 1 xNxy x 与函数 0 2 1 5730 tp t 的解析式有什么共同特征 一般地 函数 叫做指数函数 其中 x 是自变量 函数的定义域为 2 请你在同一坐标系中画出函数 x y2 和 x y 2 1 的图象 函数 x y2 与 x y 2 1 的图 象有什么关系 可否利用 x y2 的图象画出 x y 2 1 的图象 你能用图象上的对应点 的坐标之间的关系说明一下吗 5 3 再画出 x y3 与 x y 3 1 的图象 此两组图象有何共同特征 4 性质 10 a1 a 图象 定义域 值域 1 性质 2 在 R 上是减函数 三 典例剖析 例 1 下列函数中 哪些是指数函数 1 x y3 2 x y32 3 x y 4 4 1 2 x y 5 2 4xy 6 且 1112 bbby x 自我感悟 判断一个函数是否为指数函数的依据 例 2 1 已知 xfy 是指数函数 且42 f 求函数 xf的解析式 2 设dcba 都是是不等于 1 的正数 函数 x ay x by x cy x dy 在同一坐标系中的图象如图所示 则dcba 的大小关系是 A dcba B cdab C abcd D badc 温馨提示 注意1 x时 各函数值恰好依次为dcba 四 学习巩固 层次 1 教材练习 1 2 y y dx y cx y bx y ax 1 x 6 层次 2 教材习题 2 1A 组 5 6 1 函数 且 101 2 aaay x 的图角必须过点 A 0 1 B 1 1 C 2 0 D 2 2 2 函数 且 10 aaay x 在 1 2 上的最大值与最小值之和为 6 求a的值 2 1 2 第 2 课时 指数函数的性质应用 一 学习目标 1 知识与技能 理解指数函数的图象和性质 会利用性质来解决问题 2 过程与方法 能利用指数函数的图象和性质 来比较两个值的大小 探索利用单调性来求未知字母 的取值范围 3 情感 态度与价值观 在解决简单实际问题的过程中 体会指数函数是一类重要的函数模型 激发学习兴趣 培养创新意识 二 新知探究 1 同学们 指数增长模型在实际生活中是很重要的模型 通过例子 你对指数增长模型有 了怎样的了解 大家能举例谈谈对指数型函数的认识吗 2 通过研究课本上的例 7 大家能得到比较两个幂的大小时 常用方法 1 底数相同 指数不同的两个幂的大小比较 2 底数不同 指数相同的两个 幂的大小比较 3 底数不同 且指数也不同的幂的大小比较 自主测评 1 已知某工厂总产值的月平均增长率为 P 1 月份的年值为 a 万元 则该厂 12 月份的产值 为 A 万元 12 1pa B 万元 11 1pa C 万元 13 1pa D 万元ap12 2 比较 5 05 05 0 5 055 的大小 7 3 已知 11 p Z42 xxp x 则QP A 11 B 1 C 0 D 01 典例剖析 例 1 求下列函数的定义域 1 1 1 2 x y 2 93 12 x y 例 2 1 解方程0624 xx 2 解关于 x 的不等式 75 xx aa a 0 且 a 1 提示 1 可换元转化为一元二次方程 2 可依据指数函数的单调性 对 a 分类讨论求解 感悟 依据指数函数单调性解不等式时必须养成判断底数取值范围的习惯 如果不能确定 就需进行讨论 课内学习巩固 1 函数 x y24 的定义域是 A 0 2 B 2 C 2 D 1 2 函数 f x 的图象与函数 x xh 3 1 的图象关于 y 轴对称 则满足 f x 3 的实数 x 的 取值范围是 3 下列函数中 值域是 0 的函数是 A x y 1 2 B 12 x yC 12 x yD x y 2 3 1 4 已知 x axf a 0 且 a 1 在区间 1 2 上的最大值比最小值大 2 a 求实数 a 的 值 课后拓展延伸 设 0 x 2 求函数5234 2 1 xx y的最大值和最小值 2 2 1 1 对数与对数运算 8 一 课时学习目标 1 知识与技能 理解对数的概念 了解对数与指数的关系 理解和掌握对数的性质 掌握对数式与指 数式的关系 2 过程与方法 通过与指数式的比较 引入对数的定义与性质 3 情感 态度与价值观 经历对数式与指数式的互化 培养我们的类比分析 归纳能力 在学习过程中培养探 究的意识 理解指数与对数之间的内在联系 培养分析 解决问题的能力 二 课时预习导学 请同学们阅读 P62 63内容 完成下列问题 1 一般地 如果 ax N a 0 且 a 1 那么数 x 叫做以 a 为底 N 的 记作 其中 a 叫做 N 叫做 温馨提示 对数式是指数式的另一种表达形式 对数运算是逆运算 常用符号 log 表示 对数 但它仅是一个符号而已 而同 等符号一样 表示一种运算 因此 对数式Nlogax 和指数式Na x 的本质是相同的 对数式中的真数 N 就是指数 式中的函数值 N 对数 x 就是指数式中的指数 x 其关系可用下图表示 思考 1 为什么限制 a 0 且 a 1 且 N 0 2 把 1 2a b 化成对数式是下列各式中的 A log a b1 2 B log a 1 2b C log2 1 ab D b log2 1 a 2 特殊对数 通常我们将以 10 为底的对数叫做 并把 log10N 记为 把以 e 为 底的对数称为 并且把 logeN 记为 思考 求下列各式中 x 的值 3 2 log64 x 68log x x 100lg xe 2 ln 9 3 特殊结论 1 没有对数 2 1loga a a log 梳理整合 作业 2 2 A 1 练习 P64 1 3 2 3 4 三 课内学习巩固 1 下列各式中正确的个数是 lg lg10 0 lg lne 0 若 lgx 10 得 x 10 若 log25x 2 1 得 x 5 A 1 个B 2 个C 3 个D 4 个 2 求式子 log 1 2x 3x 2 中 x 的取值范围 四 课后拓展延伸 1 已知 log2a m log2b n 求 22m n的值 2 N a alog log b a a 3 求 Ncb cba a logloglog 的值 a b c 0 且均不等于 1 N 0 2 2 1 2 对数的运算性质 一 课时教学目标 1 知识与技能 通过实例推导对数的运算性质 准确地运用对数运算性质进行运算 求 值 化简 培养我们分析 综合解决问题的能力及数学应用的意识和科学分析问题的 精神和态度 2 过程与方法 我们推导出对数的运算性质并归纳整理出本节所学的知识 3 情感 态度与价值观 我们感觉对数运算性质的重要性 增加我们的成功感 增强学习 的积极性 二 课时预习导学 请同学们阅读课本 P64 65内容 完成下列问题 1 如果 a 0 且 a 1 M 0 N 0 那么 10 1 loga M N 注 该法则可以推广到若干个正因数积的对数 2 Nlog M a 3 n aM log n R 思考 1 尝试 2 3 中的结论 2 在对数的运算性质 1 2 中能不能把条件 M 0 N 0 改为 MN 0 或 0 N M 呢 举例说明 温馨提示 使用对数的运算性质时 要注意各个字母的取值范围 只有各个对数式都存 在时 等式才成立 如 lg 2 3 存在 lg 2 lg 3 不存在 因此不能得出 lg 2 3 lg 2 lg 3 注意公式的正逆向运用 三 课内学习巩固 1 完成课本 P65 例 3 例 4 2 lg4 lg5 lg20 lg5 2 3 若 a 0 a 1 x y 0 n N 则下列各式 x a n x a nloglog n a n x a xloglog x a x a 1 loglog y x a y a x a log log log x a n x a n log 1 log n x a x a n log log n n x a x a loglog yx yx a yx yx a loglog A 3 个B 4 个C 5 个D 6 个 4 P68 1 3 单号题 梳理整合 作业 2 2 A 3 6 B 1 2 四 课后拓展延伸 1 若 lg2 a lg3 b 试用 a b 表示下列各式的值 1 lg12 2 16 27 lg 11 2 已知二次函数 f x lga x2 2x 4lga 的最大值为 3 求 a 的值 2 2 1 3 对数的实际应用 一 课时教学目标 1 知识与技能 推导对数的换底公式 培养我们分析 综合解决问题的能力 培养我们的 数学应用意识和科学分析问题的精神和态度 2 过程与方法 推导对数的换底公式 归纳整理本节所学知识 3 情感 态度与价值观 通过对数的运算法则 对数换底公式的学习 培养我们的探究意 识及严谨的思维品质 感受对数的广泛应用 二 课时预习导学 请同学们阅读 P66 67内容 完成下列问题 1 对数的换底公式为 请根据对数的定义试推导换底公式 思考 下面的式子是否正确 a b b a a b a b 2 2 log log ln ln lg lg log a 0 且 a 1 b 0 由换底公式还可得 n n b a log n m b a log a b b a loglog 注 还可以推广为 1loglogloglog a e d c c b b a 温馨提示 换底公式的作用在于它可以完成不同底数的对数式之间的转化 如 12 a N N a lg lg log 等 换底公式既可正用 也可逆用 使用的关键是选择底数 换底的目的是 实现对数式的化简 凡是所求对数式的底数与题设中的对数底数不同的 都可以考虑使用 换底公式求解 思考 2 1 32log9log 278 2 acb cba logloglog 2 解答应用题的方法是什么 三 课内学习巩固 1 课本 P68 1 4 2 已知a 27 12 log 求 16 6 log的值 用 a 表示 3 已知a 9 18 log 18b 5 求 45 36 log 四 课后拓展延伸 设 3a 4b 36 求 ba 12 的值 2 2 2 1 对数函数 一 课时学习目标 1 知识与技能 对数函数的概念 熟悉对数函数的图象 2 过程与方法 通过观察对数函数的图象 发现并归纳对数函数的性质 3 情感 态度与价值观 培养同学们数形结合的思想以及分析推理的能力 二 课时预习导学 请同学们阅读 P70 71内容 完成下列问题 1 一般地 我们把函数 y 叫做对数函数 其中 x 是自变量 函数的定义域是 值域是 注 一个函数为对数函数的条件是 1 系数为 1 2 底数为大于 0 且不等于 1 的正常数 3 自变量为正数 即只有形 如 y logax a 0 且 a 1 x 0 的函数才叫做对数函数 而像 y loga x 1 y 2logax y logax 3 等函数 我们称其为对数型函数 思考 求下列函数的定义域 13 1 54 log 2 2 xxy 2 22 log 5 xy x 3 32lg 4 2 2 xx x y 2 选取底数 a a 0 且 a 1 的若干个不同的值 在同一平面直角坐标系内作出相应的 对数函数的图象 观察图象 填写下表 一般地 对数函数 y logax a 0 且 a 1 的图象和性质如下表 0 a 1a 1 图象 定义 域 值域 性质 1 2 3 思考 1 函数xy 2 1 log1 的图象一定经过点 A 1 0 B 0 1 C 2 0 D 1 1 2 函数 1log5 2 xxy的值域为 A 5 B 5 C 5 D 6 三 课内学习巩固 P731 2 梳理整合 作业 2 2A 7 B 1 2 4 四 课后拓展延伸 1 如图 xy a log xy b log xy c log xy d log 的图象则dcba 与 1 有大小关系是 A a b 1 c dB b a 1 d cC 1 a b c dD a b 1 d c 2 函数xxf 2 log1 与函数 1 2 x xg在同一坐标系下的图象大致是 y x y y y y 2 2 2 2 1 1 1 1 0 1 2 x 0 1 2 x 0 1 2 x 0 1 2 x A B C D 14 3 若函数 logbxy a a 0 a 1 的图象过两点 1 0 和 0 1 则 A 22 ba B 22 ba C 12 ba D 22 ba 4 若定义在区间 1 0 内的函数 1 log 2 xxf a 满足0 xf 则a的取值范围 是 A 2 1 0B 2 1 0 C 2 1 D 0 2 2 2 2 对数函数的应用 一 课时学习目标 1 知识与技能 掌握对数函数的性质 能初步运用性质解决问题 了解反函数的概念 加 深对函数思想方法的理解 2 过程与方法 运用对数函数的图象与性质 通过观察和类比的函数思想 体会两种函数 的单调性的异同 3 情感 态度与价值观 培养学生数形结合思想以及分析推理能力 二 课时预习导学 请同们阅读 P72内容 完成下列问题 1 下列不等式成立的是 A 5log3l2log 223 ogB 3log5l2log 223 og C 5log2l3log 232 ogD 2log5l3log 322 og 规律总结 若底数为同一常数 则可由对数函数的单调性直接判断 若底数为同一字母 则按对数函数的单调性对底数进行分类讨论 若底数不同 真数不同 则可用换底公式化为同底 再进行比较 若底数 真数都不同 则常借助 1 0 1 等中间量进行比较 除上述方法外 对于一些形式较为复杂的对数比较大小 通常用作差法 作商法及图象法 等 2 162log2 xxy的值域为 A 4 B 41 C 41 D 1 3 ylnx A 是偶函数 在区间 0 上单调递增 B 是偶函数 在区间 0 上单调递减 C 是奇函数 在区间 0 上单调递减 D 是奇函数 在区间 0 上单调递增 15 4 已知 3 log 1 log 2 1 2 1 mm 则实数的 m 的取值范围是 三 课内学习巩固 P73 3 P74 习题 2 2 A 组 8 题 1 试比较 1 10 9 log1 10 9 log0 70 8 三个数的大小 2 函数5log 2 1 log 2 1 2 2 1 xxy在区间 2 4 上的最大值为 最小值为 3 3 1 106 log 2 5 xxxy 的值域为 四 课后拓展延伸 1 已知函数 3 log 2 2 1 aaxxxf 在区间 2 上为减函数 则 a 的取值范围 是 A 4 B 4 4 C 4 D 4 2 2 352 log 2 3 1 xxy的递减区间为 梳理整合 作业 习题 2 2 A 组 9 10 11 12 B 组 3 5 2 2 2 3 对数函数的图象与性质 一 课时学习目标 1 知识与技能 对数函数的图象与性质的综合应用 互为反函数的图象关系 2 过程与方法 通过分析函数图象 加强培养学生数形结合的能力 3 情感 态度与价值观 培养学生分析问题 解决问题的能力 二 课时预习导学 请同学阅读 P73内容 完成下列问题 1 反函数 对数函数 y a 0 且 a 1 和指数函数 y a 0 且 a 1 互为反函数 一般地 函数 y f x 的图象和它的反函数的图象关于直线 对称 2 如图所示的几个对数函数图象 它们底的大小关系是 练习 1 1 2 x y的反函数值域是 反函数在定义 域内的单调性是 y 1 logayx 2 logayx 4 logayx 3 logayx x 16 2 5 3 5 2 loglog与的大小是 的大小是 3 1log3 2 a 则 a 的取值范围是 4 1lg 2 xxxf是 填奇偶性 温馨提示 1 一个函数的反函数是对换原函数的自变量和因变量而得到的新函数 因此 新函数的定 义域就是原函数的值域 新函数的值域就是原函数的定义域 2 互为反函数的两个函数具有相同的单调性 它们的图象关于 y x 对称 三 课内学习巩固 1 奇函数 y f x R x 有反函数 1 xfy 则必在 1 xfy 图象上的点是 A aaf B aaf C 1 afa D 1 afa 2 函数210 x xf 它的反函数为 g x 则 g 8 3 已知 1 m n logloglog log 22 mcmbma nnnn 则 a b c 的大小 关系是 4 已知函数 1 log xy a a 0 且 a 1 的值域为 R 求实数 x 的取值范围 四 课后拓展延伸 1 当 2 1 x时 不等式 x a xlog 1 2 恒成立 则 a 的取值范围 A 0 1 B 1 2 C 1 2 D 0 2 1 2 设函数 log bxxf a a 0 且 a 1 的图象过点 2 1 其反函数的图象过 点 2 8 则 a b 3 若 a 0 且 a 1 f x 是偶函数 则 1 log 2 xxxfxg a 的图象是 A 关于 x 轴对称B 关于 y 轴对称 C 关于原点对称D 关于直线 y x 对称 幂函数 一 课时学习目标 17 1 知识与技能 了解幂函数的概念 结合函数的图象 了解它们的变化情况 2 过程与方法 体会 观察 分析函数图象来研究函数性质的方法 3 情感 态度与价值观 通过作图 分析图象的过程 养成良好的探索精神 二 课时预习导学 请同学们阅读课本 P77 78内容 完成下列问题 1 下列函数 3 xy x y 2 1 2 4xy 1 5 xy 2 1 xy 1 aay x 其中是幂函数的是 思考 幂函数与指数函数的区别是什么 2 已知幂函数图象过点 2 2 求 f x 3 分别作出函数 y x y x2 y x3 2 1 xy 1 xy的图象 观察它们的奇偶性 单调性及第一象限图象变化特点 三 课内学习巩固 1 完成课本 P78例 1 2 比较下列各题中两个值的大小 1 30 8 30 7 2 0 213 0 233 3 3 1 2 1 8 12 3 已知函数 12 2 2 mm xmmxf m 为何值时 f x 是 1 正比例函数 2 反比例函数 3 二次函数 4 幂函数 四 课后作业 课本 P79 1 2 3 分级训练 P53 4 5 题 P54 12 题 基本初等函数 一 小结 一 课时学习目标 1 理解有理指数幂的含义 了解实数指数幂的意义 掌握幂的运算 2 理解指数函数的概念和意义 提出并理解指数函数的单调性与特殊点 3 理解对数的概念及其运算性质 理解对数函数的概念 了解对数函数的单调性与特殊点 4 知道对数函数与指数函数互为反函数 18 5 了解幂函数的概念及性质 二 课前预习导学 请同学小组讨论 梳理本章知识结构 课堂学习研