2017数学中考专题--6-线段最值问题

1 几何中的最值问题几何中的最值问题 几何中最值问题包括 几何中最值问题包括 面积最值面积最值 及及 线段 和 差 最值线段 和 差 最值 求面积的最值 需要将面积表达成函数 借助函数性质结合取值范围求解 求线段及线段和 差的最值 需要借助 垂线段最短 两点之间线段最短 及 三角形三边关系 等相关定 理转化处理 常用定理 常用定理 1 两点之间 线段最短 已知两个定点时 2 垂线段最短 已知一个定点 一条定直线时 3 三角形三边关系 已知两边长固定或其和 差固定时 l B B A P l B A B P PA PB 最小 需转化 使点在线异侧 PA PB 最大 需转化 使点在线同侧 4 圆外一点 P 与圆心的连线所成的直线与圆的两个交点 离 P 最近的点即为 P 到圆的最近距离 离 P 最远的点即 为 P 到圆的最远距离 类型一类型一 线段和最小值线段和最小值 1 如图 圆柱形玻璃杯 高为 12cm 底面周长为 18cm 在杯内离杯底 4cm 的点 C 处有一滴蜂蜜 此时一只蚂蚁 正好在杯外壁 离杯上沿 4cm 与蜂蜜相对的点 A 处 则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为 cm 蜂蜜 蚂蚁A C N M O P B A Q P E D C B A Q P K D CB A 第 1 题图 第 2 题图 第 3 题图 第 4 题图 2 如图 点 P 是 AOB 内一定点 点 M N 分别在边 OA OB 上运动 若 AOB 45 OP 3 则 PMN 周长的最2 小值为 3 如图 正方形 ABCD 的边长是 4 DAC 的平分线交 DC 于点 E 若点 P Q 分别是 AD 和 AE 上的动点 则 DQ PQ 的最小值为 4 如图 在菱形 ABCD 中 AB 2 A 120 点 P Q K 分别为线段 BC CD BD 上的任意一点 则 PK QK 的最 小值为 2 5 如图 当四边形 PABN 的周长最小时 a 6 如图 在平面直角坐标系中 矩形 OACB 的顶点 O 在坐标原点 顶点 A B 分别在 x 轴 y 轴的正半轴上 OA 3 OB 4 D 为边 OB 的中点 若 E F 为边 OA 上的两个动点 且 EF 2 当四边形 CDEF 的周长最小时 则 点 F 的坐标为 N a 2 0 P a 0 B 4 1 A 1 3 O y x F D CB Ax y O E 第 5 题图 第 6 题图 第 7 题图 变式加深 7 如图 正方形 ABCD 边长为 2 当点 A 在 x 轴上运动时 点 D 随之在 y 轴上运动 在运动过程中 点 B 到原点 O 的最 大距离为 A B C D 第 8 题图 第 9 题图 第 10 题图 8 如图 MON 90 矩形 ABCD 的顶点 A B 分别在边 OM ON 上 当 B 在边 ON 上运动时 A 随之在边 OM 上运动 矩形 ABCD 的形状保持不变 其中 AB 2 BC 1 运动过程中 点 D 到点 O 的最大距离为 9 如图 E F 是正方形 ABCD 的边 AD 上的两个动点 满足 AE DF 连接 CF 交 BD 于点 G 连接 BE 交 AG 与点 H 若 正方形的边长为 2 则线段 DH 长度的最小值是 10 如图 点 P 在第一象限 ABP 是边长为 2 的等边三角形 当点 A 在 x 轴的正半轴上运动时 点 B 随之在 y 轴 的正半轴上运动 运动过程中 点 P 到原点的最大距离是 若将 ABP 中边 PA 的长度改为 另两边22 长度不变 则点 P 到原点的最大距离变为 A B O P x y 3 类型二类型二 线段差最大值线段差最大值 1 如图 两点 A B 在直线 MN 外的同侧 A 到 MN 的距离 AC 8 B 到 MN 的距离 BD 5 CD 4 P 在直线 MN 上运动 则的最大值等于 PAPB A B CDPMN x O A B y 第 1 题图 第 2 题图 第 3 题图 2 点 A B 均在由面积为 1 的相同小矩形组成的网格的格点上 建立平面直角坐标系如图所 示 若 P 是 x 轴上 使得的值最大的点 Q 是 y 轴上使得 QA QB 的值最小的点 则 PAPB OP OQ 3 如图所示 已知 A 1 2 y1 B 2 y2 为反比例函数 y 1 x 图象上的两点 动点 P x 0 在 x 轴正半轴上运动 当线 段 AP 与线段 BP 之差达到最大时 点 P 的坐标是 4 如下图 一次函数 y1 kx 2 与反比例函数y2 m x m 0 的图象交于 A B 两点 其中点 A 的坐标为 6 2 1 求 m k 的值 2 点 P 为 y 轴上的一个动点 当点 P 在什么位置时 PA PB 的值最大 并求出最大值 y x O B A 核心 画曲为直核心 画曲为直 5 已知如图 圆锥的底面圆的半径为 1 母线长 OA 为 2 C 为母线 OB 的中点 在圆锥的侧面上 一只蚂蚁从点 A 爬行到点 C 的最短线路长为 6 如图 圆柱底面半径为 高为 点 A B 分别是圆柱两底面圆周上的点 且 A B 在同一母线上 用2cm9 cm 一棉线从 A 顺着圆柱侧面绕 3 圈到 B 求棉线最短为 cm 7 在锐角三角形 ABC 中 BC ABC 45 BD 平分 ABC M N 分别是 BD BC 上的动点 则 CM MN 的最24 小值是 O C B A 4 第 5 题图 第 6 题图 第 7 题图 类型三类型三 线段最值线段最值 1 已知 O 是以原点为圆心 为半径的圆 点 P 是直线上的一点 过点 P 作 O 的一条切线 PQ Q 2 6yx 为切点 则切线长 PQ 的最小值为 2 在平面直角坐标系 xOy 中 以原点 O 为圆心的圆过点 A 13 0 直线 y kx 3k 4 与圆 O 交于 B C 两点 则弦 BC 的长的最小值为 第 3 题图 第 4 题图 第 5 题图 3 如图 在 ABC 中 AB 6 AC 8 BC 10 P 为边 BC 上一动点 PE AB 于 E PF AC 于 F M 为 EF 中点 则 AM 的最小值为 4 如图 已知 AB 10 P 是线段 AB 上任意一点 在 AB 的同侧分别以 AP 和 PB 为边作等边 APC 和等边 BPD 则 CD 长度的最小值为 5 如图 在 ABC 中 BA C 12 0 AB AC 4 M N 两点分别是边 AB AC 上的动点 将 AMN 沿 MN 翻折 A 点的对应点为 A 连接 BA 则 BA 的最小值是 第 6 题图 第 7 题图 第 8 题图 第 9 题图 6 如图 一副三角板拼在一起 O 为 AD 的中点 AB a 将 ABO 沿 BO 对折于 A BO 点 M 为 BC 上一动点 则 A M 的最小值为 60 A 45 M O C D B A A BC E F P M AB C D P A N M CB A A y x O C B C C Q P B A 5 7 如图 在 Rt ACB 中 ACB 90 AC 6 BC 8 P Q 两点分别是边 AC BC 上的动 点 将 PCQ 沿 PQ 翻折 C 点的对应点为 连接C A 则 A的最小值是C C 8 如图 在 ABC 中 ACB 90 AC 4 BC 2 点 A C 分别在 x 轴 y 轴上 当点 A 在 x 轴上运动时 点 C 随之在 y 轴上运动 在运动过程中 点 B 到原点的最大 距离是 9 如图 ABC 是以 AB 为斜边的直角三角形 AC 4 BC 3 P 为边 AB 上一动点 且 PE AC 于点 E PF BC 于点 F 则线 段 EF 长度的最小值是 10 如图 正方形 ABCD 边长为 2 当点 A 在 x 轴上运动时 点 D 随之在 y 轴上运动 在运动过程中 点 B 到原点 O 的最 大距离为 第 10 题图 第 11 题图 第 11 题备用图 11 如图 直角梯形纸片 ABCD AD AB AB 8 AD CD 4 点 E F 分别在线段 AB AD 上 将 AEF 沿 EF 翻折 点 A 的落点记为 P 1 当 P 落在线段 CD 上时 PD 的取值范围为 2 当 P 落在直角梯形 ABCD 内部时 PD 的最小值等于 类型四类型四 圆外点和圆的最值圆外点和圆的最值 1 动手操作 在矩形纸片ABCD中 AB 3 AD 5 如图所示 折叠纸片 使点A落在BC边上的A 处 折痕为 PQ 当点A 在BC边上移动时 折痕的端点P Q也随之移动 若限定点P Q分别在AB AD边上移动 则点A 在BC边上可移动的最大距离为 AB CD E F P P F E DC BA 6 C B A D F EP AD CB P Q A 第 1 题图 第 2 题图 2 如图 菱形 ABCD 中 A 60 AB 4 A B 的半径分别为 2 和 1 P E F 分别是边 CD A 和 B 上的 动点 则 PE PF 的最小值是 3 在平面直角坐标系中 对于任意两点与的 非常距离 给出如下定义 若 则点与点的 非常距离 为 1212 xxyy 1 P 2 P 12 xx 若 则点与点的 非常距离 为 1212 xxyy 1 P 2 P 12 yy 例如 点 点 因为 所以点与点的 非常距离 为 也就是 1 1 2 P 2 3 5 P 1 3 25 1 P 2 P 25 3 图 1 中线段与线段长度的较大值 点为垂直于轴的直线与垂直于轴的直线的交点 1 PQ 2 PQQy 1 PQx 2 PQ 1 已知点 为轴上的一个动点 1 0 2 A By 若点与点的 非常距离 为 2 写出一个满足条件的点的坐标 ABB 直接写出点与点的 非常距离 的最小值 AB 2 已知是直线上的一个动点 C 3 3 4 yx 如图 2 点的坐标是 0 1 求点与点的 非常距离 的最小值及相应的点的坐标 DCDC 如图 3 是以原点为圆心 1 为半径的圆上的一个动点 求点与点的 非常距离 的最小值及相EOCE 应的点和点的坐标EC 7 4 在平面直角坐标系中 已知抛物线 为常数 的顶点为 等腰直角三角形的定 2 1 2 yxbxc b cPABC 点的坐标为 的坐标为 直