九年级数学第29章 几何的回顾小结与复习华东师大版知识精讲

用心 爱心 专心 九年级数学第九年级数学第 29 章章 几何的回顾小结与复习华东师大版几何的回顾小结与复习华东师大版 本讲教育信息本讲教育信息 一 教学内容 第 29 章 几何的回顾小结与复习 二 重点 难点 经历一些观察 操作活动 并对获得的数学猜想进行实验验证 体验合情推理的过 程 并从数学的角度运用逻辑推理的知识和方法寻求证据 给出证明的过程 了解证明的基本步骤和书写格式 能从 同位角相等 两直线平行 两直线平行 同位角相等 等基本事实出发 证明一些简单图形的判定定理和性质定理以及推论 并能 简单应用这些结论 会区分命题的条件和结论 通过实例 体会反证法的含义 掌握用综合法证明的格式 体会证明的过程要步步有据 三 知识梳理 几何问题的处理方法 逻辑推理的方法是研究数学的一个重要的基本方法 逻辑推理需要依据 我们试图用 最少的几条基本事实作为逻辑推理的最原始的依据 因此给出了如下的公理 一条直线截两条平行直线所得的同位角相等 两条直线被第三条直线所截 如果同位角相等 那么这两条直线平行 如果两个三角形的两边及其夹角 或两角及其夹边 或三边 分别对应相等 那么 这两个三角形全等 全等三角形的对应边 对应角分别相等 用推理的方法研究三角形 1 利用公理 可证得三角形内角和定理及由此推出的多边形内角和定理与三角形外角定 理 2 等腰三角形的识别 1 有两条边相等的三角形是等腰三角形 2 有两个角相等的三角形是等腰三角形 等腰三角形的特征 1 等腰三角形的两个底角相等 2 等腰三角形的顶角平分线 底边上的中线 底边上的高互相重合 3 角平分线 性质 角平分线上的点到这个角的两边的距离相等 识别 到一个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上 根据上述两条定理 我们很容易证明 三角形三条角平分线交于一点 4 线段的垂直平分线 性质 线段的垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等 识别 到一条线段的两个端点的距离相等的点 在这条线段的垂直平分线上 根据上述两条定理 我们很容易证明 三角形三边的垂直平分线交于一点 用推理的方法研究四边形 用心 爱心 专心 1 几种特殊四边形的特征 边角对角线对称性 平行四边形对边平行且相等对角相等 互相平分中心对称图 形 矩形对边平行且相等 四个角都是直 角 互相平分且相 等 菱形 对边平行 四条 边相等 对角相等 互相垂直平分 且每一条对角 线平分一组对 角 正方形 对边平行 四条 边相等 四个角都是直 角 互相垂直平分 且相等 每一 条对角线平分 一组对角 既是中心对 称图形又是 轴对称图形 等腰梯形 两底平行 两腰 相等 同一底上的两 个内角相等 相等轴对称图形 2 几种特殊四边形的常用识别方法 从边的角度从角的角度从对角线的角度 平行四边形 两组对边平行 两组对边相等 一组对边平行且相等 两组对角相等两条对角线互相平分 直接识别间接识别 矩形四个角是直角 有一个角是直角的平行四边形 对角线相等的平行四边形 菱形四条边相等 一组邻边相等的平行四边形 对角线垂直的平行四边形 正方形 一组邻边相等的矩形 有一个角是直角的菱形 等腰梯形 同一底边上的两个角相等的梯形 对角线相等的梯形 典型例题典型例题 例 1 如图所示 在 ABC 中 A 50 如图 ABC 的两条高 BD CE 交于 O 点 求 BOC 的度数 如图 ABC 的两条角平分线 BM CN 交于 P 求 BPC 的度数 分析 分析 题中 由高可知有直角 由直角三角形两锐角互余及三角形内角和定理可求 得 题中 由角平分线定义及三角内角和定理可求得 BPC 用心 爱心 专心 21 E OD C B A 21 P N M CB A 解 解 方法一 BDC 90 1 90 BCA 同理 2 90 ABC ABC ACB 180 50 130 BOC 180 1 2 180 90 ABC 90 ACB 180 180 ABC ACB 130 方法二 BD CD 为 ABC 的高 BDA CEA 90 A 50 在四边形 AEOD 中 DOE 360 90 90 50 130 BOC DOE 130 BM CN 分别为 ABC 的角平分线 1 ABC 2 ACB 1 2 1 2 A 50 ABC ACB 180 50 130 BPC 180 1 2 180 ABC ACB 1 2 1 2 180 ABC ACB 1 2 180 30 1 2 115 题后反思 题后反思 凡是求角度的题 一般都离不开三角形 多边形 内角和定理 设法利用 这些去推出等式关系 题中因涉及到高线 别忘了两锐角互余 遇到角平分线要合理利用其 倍分关系 例 2 如图所示 四边形 ABCD 中 A 90 且 AB2 AD2 BC2 CD2 求证 B 与 D 互补 D C BA 4 3 2 1 D C B A 用心 爱心 专心 分析 分析 欲证 B 与 D 互补 只证 A 与 C 互补即可 且知 A 90 故只证 C 90 根据题设中条件 可利用勾股定理及逆定理证明之 故连结 BD 构造直角 三角形 证明 证明 连结 BD A 90 AB2 AD2 BD2 又 AB2 AD2 BC2 CD2 BD2 BC2 CD2 C 90 在四边形 ABCD 中 A ABC C ADC 360 ABC ADC 360 180 即 B 与 D 互补 例 3 如图所示 B BCD 90 AD 交 BC 于 E 且 ED 2AC 求证 CAD 2 DAB 2 1 F E D C B A 分析 分析 由于 AB CD 故欲证 D BAD 只需证出 CAD 2 D 即可 联想构造出 以 D 为底角的等腰三角形 且这个等腰三角形与顶角相邻的外角等于 CAD 则问题 就解决了 已知 ED 2AC 而 AC 与 ED 没有直接联系 可在 Rt DCE 中构造斜边 DE 上中 的线 证明 证明 取 DE 中点 F 连结 CF 在 Rt DCE 中 DE 2CF 2DF 又已知 DE 2AC 所以 AC CF CF DF 因为 1 D 2 CAD 所以 2 1 D 2 D 所以 CAD 2 D 因为 B BCD 90 所以 AB CD 所以 DAB D 所以 CAD 2 DAB 题后反思 题后反思 本题还是体现了将分散条件集中 在直角三角形中通过斜边中线构造出线 段关系 例 4 已知 如图所示 在 ABC 中 AB AC A 120 AB 边的垂直平分线交 BC 于 D 求证 DC 2BD 1E DCB A 分析 分析 由于 DC BD 在同一直线上 欲证 DC 2BD 表面看似不易 但题中给出 AB 的中垂线 则可以利用中垂线的性质 去转移等量线段 故连结 AD 这样 BD AD 证明 DC 2AD 即可 而 DC AD 在同一三角形中 且已知 A 120 可求 B C 30 将这些问题转化成含 30 角的直角三角形性质 用心 爱心 专心 证明 证明 连结 AD 因为 D 在 AB 垂直平分线上 所以 BD AD 所以 B 1 因为 BAC 120 AB AC 所以 B C 30 所以 DAC 90 在 Rt DAC 中 C 30 则 DC 2AD 所以 DC 2BD 题后反思 题后反思 证明一条线段等于另一条线段的 2 倍 除了已经学的折平法和加倍法外 还可用含 30 角的直角三角形的性质 三角形中位线 直角三角形斜边中线等方法 见到 线段的垂直平分线 就想到利用它转移等量线段 例 5 已知 如图所示 ABCD 为菱形 通过它的对角线的交点 O 作 AB BC 的垂线 与 AB BC CD AD 分别相交于点 E F G H 求证 四边形 EFGH 为矩形 H GF E O D C B A 分析 分析 证明四边形 EFGH 为矩形有几个方法 而已知 EFGH 的对角线都通过 AC BD 的交点 O 并且各垂直于菱形的两组对边 所以考虑通过 EFGH 的对角线的关系证明 EFGH 为矩形 由于 OE AB OH AD 所以立即看出 OE OH 这样 EFGH 明显是矩形了 证明 证明 如图所示 由于 OA 平分 BAD 并且 OE AB OH AD 由角平分线的性 质知道 OE OH 同理 OE OF OF OG OG OH 所以 EFGH 的对角线 EG FH 互相平分并且相等 所以 EFGH 为矩形 例 6 已知 如图所示 ABCD 为矩形 CE BD 于点 E BAD 的平分线与直线 CE 相交于点 F 求证 CA CF 分析一 分析一 如图所示 由于 CA CF 是 CAF 的两边 因此要证明 CA CF 可试证 CFA CAF 由于 CF BD 因此作 AG BD 于点 G 则 AG CF 从而 CFA FAG 于是问题转化为证明 FAG CAF 但已知 AF 是 BAD 的平分线 因此 用心 爱心 专心 问题又转化为证明 BAG CAD 但证明这两个角相等不会有什么困难了 证法一 证法一 如图所示 作 AG BD 于点 G BAG 与 ABD 互余 CAD ADB 与 ABD 互余 所以 CAD BAG 而 AF 平分 BAD 所以 CAF FAG 由于 AG CF 所以 CFA FAG 从而 CFA CAF 所以 CA CF 分析二 分析二 证明 CFA CAF 还可以考虑用计算的方法进行 设 CAD BDA a 则 ACE 90 COD 90 2a 而 CAF DAF CAD 45 a 所以 CFA 45 a 从而 CFA CAF 问题解决了 证明 证明 略 例 7 已知 如图所示 在四边形 ABCD 中 AC BD BAC ABD 求证 四边 形 ABCD 是等腰梯形 K H DC B A 分析 分析 在四边形 ABCD 中 AC BD 因此只需证明 DC AB 从 C D 分别向 AB 上 引垂线段 CH DK 只需证明 CH DK 即可利用全等三角形证明 证明 证明 如图 从 C D 分别向 AB 引垂线段 CH DK 在 ACH 和 BDK 中 AC BD HAC KBD CHA DKB 90 所以 ACH BDK 从而 CH DK 并且 CH DK 所以 CDKH 为矩形 从而 DC AB 即 ABCD 为梯形 又对角线 AC BD 所以 ABCD 为等腰梯形 例 8 已知 如图所示 四边形 ABCD 中 AD BC M N 分别为 AB CD 的中点 AD 的延长线 BC 的延长线分别与直线 MN 相交于点 P Q 求证 APM BQM 分析一 分析一 如图 a 已知 M 为 AB 的中点 N 为 CD 的中点 要求证 用心 爱心 专心 APM BQM 因此可考虑用三角形中位线定理 但 AB CD 并不是同一三角形的边 连结线段 AC 则 AB CD 分别为 ACD 和 ABC 的边 而 AC 是这两个三角形的公共 边 若取 AC 的中点 S 连结线段 SN MS 则 SNAD MSBC 1 2 1 2 这时 SNM APM SMN BQM 因此只需证明 SNM SMN SM SN 但因 AD BC 所以 SM SN 问题得到证明 分析二 分析二 如图 b 若将 DN 平移到 AE 平移 CN 到 BF 则得平行四边形 ADNE 和 BCNF 于是 ENM APM FNM BQM 因此只需证明 ENM FNM 由于 AEDN BFCN 所以 AEBF 从而 AB 与 EF 互相平分于 M 在 NEF 中 NE AD BC NF 而 NM 为 EF 上的中线 所以 ENM FNM 问题得 到证明 例 9 已知 如图所示 在正方形 ABCD 中 PAB PBA 15 求证 PCD 是等边三角形 65 43 2 1 P DC BA 证明 证明 因为 PAB PBA 15 所以 APB 180 15 2 150 所以 3 4 DPC 210 又 1 90 15 2 AD BC AP BP 所以 APD BPC 所以 PD PC 5 6 故欲证 PD PC CD 只须证 PD CD 假设 PD CD 那么 PD CD 或 PDCD AD 时 得 1 3 6 DPC 所以 3 460 所以 5 6 DPC 180 与三角形内角和定理相矛盾 当 PD CD AD 时 同理可证 5 6 DPC 180 与三角形内角和定理相矛盾 故假设 PD CD 不成立 所以 PD PC CD 即 PCD 是等边三角形 由本例证明过程可以看出 利用反证法证题时 不一定开始就用反证法 有时先利 用直接证法做些必要的准备 然后再运用反证法继续证明 模拟试题模拟试题 答题时间 60 分钟 一 选择题 1 如图 1 所示 AB CD EG AB 若 1 58 则 E 的度数等于 A 122 B 58 C 32 D 29 用心 爱心 专心 C AB 1 E D F G C A B E D F C A B O D 1 2 3 4 2 如图 2 所示 DE BC EF AB 图中与 BFE 互补的角共有 A 3 个 B 2 个 C 5 个D 4 个 3 在 ABC 中 若 A B C 1 2 3 则 a b c A 1 2 3 B 1 2 C 1 2 D 不能确定33 4 等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半 则顶角的度数是 A 30 B 60 C 30 或 150 D 不能确定 5 如图 3 所示 某同学把一块三角形的玻璃打碎成了三块 现在要到玻璃店去配一块 完全一样的玻璃 那最省事的办法是 A 带 去B 带 去C 带 去D 带 和 去 6 等腰三角形周长是 32cm 一边长为 10cm 则其他两边的长分别为 A 10cm 12cm B 11cm 11cm C 11cm 11cm 或 10cm 12cm D 不能确定 7 若直角三角形斜边上的中线等于最短的直角边长 那么它的最小内角为 A 10 B 20 C 30 D 60 8 如图 4 所示 在等腰梯形 ABCD 中 AD BC AC BD 相交于点 O 则图中全等三 角形共有 A 1 对 B 2 对 C 3 对 D 4 对 9 矩形 ABCD 中 E 在 AD 上 AE ED F 在 BC 上 若 EF 把矩形 ABCD 的面积分为 1 2 则 BF FC BF FC A 1 3 B 1 4 C 1 5 D 2 9 10 梯形的一腰长为 10cm 这腰和底边所成的角为 30 中位线长 12cm 则此梯形的面 积为 A 30cm2 B 40cm2 C 50cm2D 60cm2 11 已知四边形 ABCD 中 AC BD E F G H 分别是 AB BC CD DA 的中点 则四边形 EFGH 是 A 菱形B 矩形 C 正方形D 梯形 二 填空题 12 如图所示 直线 AB CD 被直线 EF 所截 若 1 2 则 AEF CFE 度 13 若等腰三角形的两边长分别为 3 和 4 则其周长为 14 等腰三角形一个内角为 80 则其他两角是 15 已知三角形的三个内角的度数比为 2 3 4 则这个三角形三个内角的度数为 用心 爱心 专心 16 三角形两边的长分别为 5 和 7 则最短边长的取值范围是 17 三角形的一个外角是 100 则与它不相邻的两内角平分线夹角 钝角 是 度 18 如果 ABC A B C AB 24 180 那么 ABC 中 AB 边上的高是 A BC S 19 等腰三角形一腰上的中线分三角形的周长为 6cm 和 15cm 两部分 则它的腰长是 底边长为 20 若平行四边形的周长是 100cm 且一组邻边的差是 30cm 则较短的边长是 cm 若平行四边形的周长为 56cm 两条邻边的比是 4 3 则较长边是 cm 21 已知菱形的一条对角线的长为 12cm 面积是 30cm2 则这个菱形的另一条对角线的 长为 cm 22 命题 如果一个四边形的四条边都相等 那么这个四边形是菱形 的逆命题是 23 如图所示 梯形 ABCD 中 AD BC AC BD 交于 O 点 1 9 AOD S COB S 则 DOC S BOC S 24 等腰梯形的中位线长为 8cm 腰长为 6cm 则梯形的周长是 三 解答题 25 已知一个多边形的内角和等于 1080 求这个多边形的边数 26 如图所示 ABD ACE 都是等边三角形 求证 CD BE 27 已知 如图所示 ABCD 的对角线 AC BD 相交于点 O EF 经过点 O 并且分别 和 AB CD 相交于点 E F G H 分别为 OA OC 的中点 求证 四边形 EHFG 是平行四 边形 C A B E O D F G H 28 已知 如图所示 在梯形 ABCD 中 AD BC 对角线 AC 和 BD 相交于点 E 且 AC AB BD BC BA AC 于点 A 求证 CD CE C A B E D 29 如图所示 在 ABC 中 AB AC D 是 AB 上任意一点 且 BD CE 连结 DE 交 用心 爱心 专心 BC 于 F 求证 FD FE C A B E D F 30 如图所示 以 ABC 的三边为边 分别作三个等边三角形 1 求证四边形 ADEF 是平行四边形 2 ABC 满足什么条件时 四边形 ADEF 是菱形 是矩形 3 这样的 ADEF 是否总是存在 C A B E D F 用心 爱心 专心 试题答案试题答案 一 选择题 1 C2 D3 C4 C5 C6 C7 C8 C9 C10 D 11 B 二 填空题 12 18013 10 或 1114 80 20 或 50 50 15 40 60 80 16 大于 2 且小于或等于 5 17 13018 1519 10cm 1cm 20 10 1621 5 22 如果一个四边形是菱形 那么它的四条边都相等 23 1 3 24 28cm 三 解答题 25 解 设这个多边形是 n 边形 由题意知 n 2 180 1080 n 8 故该多边形的边数为 8 26 证明 ABD ACE 都是等边三角形 AC AE AD AB EAC DAB 60 EAC BAC DAB BAC 即 EAB CAD 在 EAB 和 CAD 中 AE AC EAB CAD AB AD EAB CAD BE CD 27 证明 如答图所示 点 O 为 ABCD 对角线 AC BD 的交点 OA OC OB OD G H 分别为 OA OC 的中点 OG OA OH OC 1 2 1 2 OG OH 又 AB CD 1 2 在 OEB 和 OFD 中 1 2 OB OD 3 4 OEB OFD OE OF 四边形 EHFG 为平行四边形 C A B 4 3 2 1 E O D F G