2011中考数学冲刺专题3 研究型问题 人教新课标版

20112011 中考冲刺数学专题中考冲刺数学专题 3 3 研究型问题研究型问题 备考点睛 研究型问题最根本的特点在于它具有 获取新知识 的意义或意味 也即它不单纯是 已学的课本知识的应用 而是包含有理解和掌握一个 新概念 或 新规定 发现和总 结一个 新规律 或 新结论 的成份及过程 它可以突出地考查我们的 学习能力 和 发现与创新 能力 从所依循的思考方向和思维方法来看 研究性问题可大体分为三类 1 通过引入的 新概念 或 新规定 及其应用 重在体现和考查 抽象概括 的能 力 2 通过设置由 特殊到一般 或 由一般到另一特殊 的活动情意 并从中归纳或类 比总结出 新规律 重在体现和考查 合情推理 的能力 3 通过对已知的普遍认识的基础上添加特殊条件或限制 以获得更特殊更深入的新认 识 重在体现和考查由特殊化使认识走向更深入 经典例题 类型一 设置 新概念 或 新规定 情景的研究性问题 例题 如图 1 菱形 矩形与正方形的形状有差异 我们将菱形 矩形与正方形 的接近程度称为 接近度 在研究 接近度 时 应保证相似图形的 接近度 相等 m n a b 1 设菱形相邻两个内角的度数分别为和 将菱形的 接近度 定义为 m n 于是越小 菱形越接近于正方形 nm nm 若菱形的一个内角为 70 则该菱形的 接近度 等于 当菱形的 接近度 等于 时 菱形是正方形 2 设矩形相邻两条边长分别是和 将矩形的 接近度 定义为abba 于是越小 矩形越接近于正方形 ba ba 你认为这种说法是否合理 若不合理 给出矩形的 接近度 一个合理定义 解答 分析 对于 1 关键是准确地把握 菱形的 接近度 为 其中和是该nm mn 菱形 相邻两内角的度数 对于 2 首先要弄清 应保证相似图形的 接近度 相等 此乃是 接近度 的本质特 征 接下来的问题就好解决了 详解 1 40 0 2 不合理 例如 对两个相似而不全等的矩形来说 它们接近正方形的程度是相同的 但却不相等 合理定义方法不唯一 如定义为 越小 矩形越接近于正方形 ba a b a b 越大 矩形与正方形的形状差异越大 当时 矩形就变成了正方形 a b a b 1 说明 在本题 关键是要能把握 接近度 这一个新概念的本质特征 类型二 设置 发现新规律 的研究性问题 例题 提出问题 如图 1 在四边形中 P 是 AD 边上任意一点 ABCD 与和的面积之间有什么关系 PBC ABC DBC 探究发现 为了解决这个问题 我们可以先从一些简单的 特殊的情形入手 1 当时 如图 2 ADAP 2 1 的高相等 ABDABPADAP 和 2 1 的高相等 ABDABP SS 2 11 2 PDADAPAD CDPCDA 和 CDACDP SS 2 1 CDAABDABCDCDPABPABCDPBC SSSSSSS 2 1 2 1 四边形四边形 2 1 2 1 ABCABCDDBCABCDABCD SSSSS 四边形四边形四边形 ABCDBC SS 2 1 2 1 2 当时 探求与和之间的关系 写出求解过程 ADAP 3 1 PBC S ABC S DBC S 3 当时 探求与和之间的关系为 ADAP 6 1 PBC S ABC S DBC S 4 一般地 当 表示正整数 时 探求与和之间的关AD n AP 1 n PBC S ABC S DBC S 系 写出求解过程 问题解决 当时 与和之间的关系式为 10 n m AD n m AP PBC S ABC S DBC S A B C D P A B C D P 1 2 解答 分析 对于 2 关键是将 1 的推理过程类比到时的情景 看其是否ADAP 3 1 成立 对于 3 是将 1 2 的结论再类比到 对于 4 则是将推理ADAP 6 1 过程和结论进行更为一般化的推广和归纳 详解 2 的高相等 ADAP 3 1 ABDABP 和 ABDABP SS 3 1 又的高相等 CDACDPAD APADPD 和 3 2 CDACDP SS 3 2 CDAADBABCDCDPABPABCDPBC SSSSSSS 3 2 3 1 四边形四边形 3 2 3 1 ABCABCDDBCABCDABCD SSSSS 四边形四边形四边形 ABCDBC SS 3 2 3 1 ABCDBCPBC SSS 3 2 3 1 3 ABCDBCPBC SSS 6 5 6 1 4 ABCDBCPBC S n n S n S 11 的高相等 AD n AP 1 ABDABP 和 ABDABP S n S 1 又的高相等 CDACDPAD n n APADPD 和 1 CDACDP S n n S 1 CDAADBABCDCDPABPABCDPBC S n n S n SSSSS 11 四边形四边形 1 1 ABCABCDDBCABCDABCD SS n n SS n S 四边形四边形四边形 ABCDBC S n n S n 11 ABCDBCPBC S n n S n S 11 问题解决 ABCDBCPBC S n mn S n m S 说明 在本题 准确地使用 类比 和 归纳 是各小问题获解的关键 类型三 设置 特殊化 情景的研究性问题 例题 抛物线 其顶点 可以位于坐标系内任意一点 qpxxy 2 M 4 4 2 2 pqp 请研究以下问题 1 若其顶点为 1 1 则 p q 若其顶点为 则 5 2 p q 2 具有怎样的关系时 顶点在直线上 qp M12 xy 3 抛物线上任意一点 都可以是抛物线的顶点吗 若可以 请 2 xy qpxxy 2 指明应满足的关系 若不可以 请说明理由 qp与 解答 分析 根据各小题中对顶点的特殊要求 去寻求应满足的条件 Mqp 详解 1 通过解方程可得 2 4 9 2 p q p q 2 若 在直线上 则 M 4 4 2 2 pqp 12 xy1 2 2 4 4 2 ppq 为任意实数 即满足关系时 抛物线pppq 1 4 1 2 qp 1 4 1 2 ppq 的顶点总在直线上 qpxxy 2 12 xy 3 可以 令 得为任意实数 2 2 2 4 4ppq ppq 2 1 2 当和满足关系时 抛物线的顶点都在抛物线上 pq 2 2 1 pq qpxxy 22 xy 说明 由本题可以看出 特殊化方向的研究 可以使我们对原事物有更多方向和更深层次 的认识 技巧提炼 研究性问题的思考要点 1 把握准 新概念 和 新规定 的实质 或说根本特征 从而将其应用在所属的具 体情景之中 所谓掌握一个 新概念 或 新规定 是指能将它应用在具体的问题中和 复合的问题中 这也正是抽象概括能力的基本表现形式 2 把握准 由特殊到一般 或 由特殊到特殊 的共同点或共同属性 借归纳或类比 概括出带有一定 普遍性 的规律 归纳和类比是知识扩充与增长的极为重要的思维途径 也是研究性问题展开的有效方式 准确地使用 类比 和 归纳 是各小问题获解的关键 因此 要深刻体会归纳与类比的思考要点 熟练而灵活地运用 3 充分利用附加的特殊条件或对结论的特殊要求 把握特殊条件的特殊结论和相应的 关系 特殊化方向的研究 可以使我们对原事物有更多方向和更深层次的认识 一个不真 的命题加上若干限定条件之后 它就可能成为一个真命题 因此 特殊化 方向的研究 可帮助我们获得更深入的知识 体验中考 1 在平面内 先将一个多边形以点为位似中心放大或缩小 使所得多边形与原多边O 形对应线段的比为 并且原多边形上的任一点 它的对应点在线段或其延长kP POP 线上 接着将所得多边形式以点为旋转中心 逆时针旋转一个角度过 这种经过位似O 和旋转的图形变换叫做旋转相似变换 记为 其中点叫做旋转相似中心 Ok O 叫做相似比 叫做旋转角 k 1 填空 如图 1 将以点 A 为旋转相似中心 放大为原来的 2 倍 再逆时针旋转ABC 60 得到 这个旋转相似变换记为 A ADE 如图 2 是边长为 1的等边三角形 将它作旋转相似变换 A ABC cm 得到 则线段长为 90 3ADE BDcm 2 如图 3 分别以锐角三角形的三边 AB BC CA 为边向外作正方形ABC 点分别是这三个正方形的对角线交点 试分别利用CHIABFGCADEB 321 OOO 之间的关系 运用旋转相似变换的知识说明线段ABIOAO 与 312 CAOCIB 与 之间的关系 231 OOO与 A B C D E A C D E B 2 O B C GF 1 O D E A H I 3 O 1 2 3 2 实验与探究 1 在图 1 2 3 中 给出平行四边形的顶点ABCD 的坐标 如图所示 DBA 写出图 1 2 3 中的顶点的坐标 它们分别是 5 2 C O A D 4 0 B 1 2 C x y O A D 0 e B dc C x y 1 2 O Aba D be B dc C x y O Aba D fe B dc C x y 3 4 2 在图 4 中 给出平行四边形的顶点的坐标 如图所示 求出顶ABCDDBA 点 C 的坐标 C 点的坐标用含的代数式表示 fedcba 归纳与发现 3 通过对图 1 2 3 4 的观察和顶点 C 的坐标的探究 你会发现 无论平行四边形处于直角坐标系中哪个位置 当其顶点坐标为ABCD 如图 4 时 则四个顶点的横坐标之间的等 feDnmCdcBbaAemca 量关系为 纵坐标之间的等量关系为 不必证fndb 明 运用与推广 4 在同一直角坐标系中有抛物线和三个点 Gcxcxy 35 2 其中 问当为何值时 该抛物线上存在 cc 2 5 2 1 ccS 2 9 2 1 0 2 cH 0 cc 点 使得为顶点的四边形是平行四边形 并求出所有符合条件的点的坐标 PPHSG P 3 如图 1 点 C 将线段 AB 分成两部分 如果 那么称点 C 为线段 AB AC BC AB AC 的黄金分割点 某研究小组在进行课题学习时 由黄金分割点联想到 黄金分割线 类 似地给出 黄金分割线 的定义 直线 将一个面积为的图形分成两部分 这两部分的lS 面积分别为 如果 那么称直线 为该图形的黄金分割线 1 S 2 S 1 21 S S S S l AC A C B D A C B D E F A C B D F E 1 2 3 4 1 研究小组猜想 在中 若点 D 为 AB 边上黄金分割点 如图 2 则直线 CDABC 是的黄金分割线 你认为对吗 为什么 ABC 2 请你说明 三角形的中线是否也是该三角形的黄金分割线 3 研究小组在进一步探究中发现 过点 C 任作一条直线交 AB 于点 E 再过点 D D 为 AB 的黄金分割点 作直线 交 AC 于点 F 连结 如图 3 则直线也CEDF EFEF 是黄金分割线 请你说明理由 ABC 4 如图 4 点 E 是平行四边形的边 AB 的黄金分割点 过点 E 作 ABCDADEF 交于点 F 显然直线是平行四边形的黄金分割线 请你画一条平行四边形DCEFABCD 的黄金分割线 使它不经过平行四边形各边的黄金分割点 ABCDABCD 4 我们知道 两边及其中一边的对角分别对应相等的两个三角形不一定全等 那么在 什么情况下 它们会全等 1 阅读与证明 当这两个三角形均为直角三角形 显然它们全等 当这两个三角形均为钝角三角形 可 证它们全等 证明略 对于这两个三角形均为锐角三角形 它们也全等 可证明如下 已知 均为锐角三角形 ABC 111 CBA 11B AAB 11C BBC 1 CC 求证 请你将下列证明过程补允完整 ABC 111 CBA 证明 分别过点作于 D 于 则 1 BBCABD 1111 ACDB 1 D 90 111 CDBBDC 11C BBC 1 CC 111 DCBBCD 11D BBD 2 归纳与叙述 由 1 可得到一个正确的结论 请你写出这个结论 AC B D 1 A 1 C 1 B 1 D 5 2010 湖南益阳 我们把对称中心重合 四边分别平行的两个正方形之间的部分叫 方形环 易知方形环四周的宽度相等 一条直线l与方形环的边线有四个交点 小明在探究线段M M NN 与 的数量关系时 从点 向对边作垂线段 利用三角形 MMNN M NEM FN 全等 相似及锐角三角函数等相关知识解决了问题 请你参考小明的思路解答下列问题 当直线l与方形环的对边相交时 如图 1 直线l分别交 ADDA CB 于 小明发现与相等 请你帮他说明理由 BCM M NN MMNN 当直线l与方形环的邻边相交时 如图 2 l分别交 于ADDA CD DC l与的夹角为 你认为与还相等吗 若 相M M NNDC MMNN 等 说明理由 若不相等 求出的值 用含的三角函数表示 NN MM 6 2010 山东青岛 问题再现 现实生活中 镶嵌图案在地面 墙面乃至于服装面料设计中随处可见 在八年级课题 学习 平面图形的镶嵌 中 对于单种多边形的镶嵌 主要研究了三角形 四边形 正六 边形的镶嵌问题 今天我们把正多边形的镶嵌作为研究问题的切入点 提出其中几个问题 共同来探究 我们知道 可以单独用正三角形 正方形或正六边形镶嵌平面 如右图中 用正方形镶嵌平面 可以发现在一个顶点O周围围绕着 4 个正方形的内角 试想 如果用正六边形来镶嵌平面 在一个顶点周围应该围绕着 个 正六边形的内角 问题提出 如果我们要同时用两种不同的正多边形镶嵌平面 可能设计出几种不同的组合方案 问题解决 O M A C D N B C E B M A D NF l N A C D E B M N A D F M C B l 12 猜想 1 是否可以同时用正方形 正八边形两种正多边形组合进行平面镶嵌 分析 我们可以将此问题转化为数学问题来解决 从平面图形的镶嵌中可以发现 解 决问题的关键在于分析能同时用于完整镶嵌平面的两种正多边形的内角特点 具体地说 就是在镶嵌平面时 一个顶点周围围绕的各个正多边形的内角恰好拼成一个周角 验证 1 在镶嵌平面时 设围绕某一点有x个正方形和y个正八边形的内角可以拼成 一个周角 根据题意 可得方程 整理得 82180 90360 8 xy A238xy 我们可以找到惟一一组适合方程的正整数解为 1 2 x y 结论 1 镶嵌平面时 在一个顶点周围围绕着 1 个正方形和 2 个正八边形的内角可以 拼成一个周角 所以同时用正方形和正八边形两种正多边形组合可以进行平面镶嵌 猜想 2 是否可以同时用正三角形和正六边形两种正多边形组合进行平面镶嵌 若能 请按照上述方法进行验证 并写出所有可能的方案 若不能 请说明理由 验证 2 结论 2 上面 我们探究了同时用两种不同的正多边形组合镶嵌平面的部分情况 仅仅得到了 一部分组合方案 相信同学们用同样的方法 一定会找到其它可能的组合方案 问题拓广 请你仿照上面的研究方式 探索出一个同时用三种不同的正多边形组合进行平面镶嵌 的方案 并写出验证过程 猜想 3 验证 3 结论 3 7 2010 山东威海 1 探究新知 如图 已知AD BC AD BC 点M N是直线CD上任意两点 求证 ABM与 ABN的面积相等 AB DCMN 图 如图 已知AD BE AD BE AB CD EF 点M是直线CD上任一点 点G是直线 EF上任一点 试判断 ABM与 ABG的面积是否相等 并说明理由 C 图 AB DM F EG 2 结论应用 如图 抛物线的顶点为C 1 4 交x轴于点A 3 0 交ycbxaxy 2 轴于点D 试探究在抛物线上是否存在除点C以外的点E 使得 ADE与cbxaxy 2 ACD的面积相等 若存在 请求出此时点E的坐标 若不存在 请说明理由 A 图 C D B O x y A 备用图 C D B O x y 8 2010 山东省德州 探究 1 在图 1 中 已知线段AB CD 其中点分别为 E F 若A 1 0 B 3 0 则E点坐标为 若C 2 2 D 2 1 则F点坐标为 2 在图 2 中 已知线段AB的端点坐标为A a b B c d 求出图中AB中点D的坐标 用含a b c d的 代数式表示 并给出求解过程 归纳 无论线段AB处于直角坐标系中的哪个位置 当其端点坐标为A a b B c d AB中点为D x y 时 x y 不必证明 运用 在图 2 中 一次函数与反比例函数2 xy 的图象交点为A B x y 3 求出交点A B的坐标 若以A O B P为顶点的四边形是平行四边形 请利用上面的结论求出顶点P的坐标 x y y x 3 y x 2 A B O 图 3 Ox y D B 图 2 A 图 1 Ox y D B A C 9 2010 江西 课题 两个重叠的正多边型 其中一个绕某一顶点旋转所形成的有关问 题 实验与论证 设旋转角 A1A0B1 A1A0A2 3 4 5 6 所表示的角如图所示 1 用含 的式子表示角的度数 3 4 5 2 图 1 图 4 中 连接A0H时 在不添加其他辅助线的情况下 是否存在与直线A0H垂 直且被它平分的线段 若存在 请选择期中的一个图给出证明 若不存在 请说明理 由 归纳与猜想 设正n边形A0A1A2 An 1与正n边形A0B1B2 Bn 1重合 其中 A1与B1重合 现将 正n边形A0B1B2 Bn 1绕顶点A0逆时针旋转 n 180 0 3 设 n与上述 3 4 的意义一样 请直接写出 n的度数 4 试猜想在正n边形的情形下 是否存在与直线A0H垂直且被它平分的线段 若存在 请将这条线段用相应的顶点字母表示出来 不要求证明 若不存在 请说明理由 图1 图2 图3 图4 4 6 5 3 H H H H B4 A4 B2 B3 B3 B4 B5 A5 A4 B3 A3 A3 A3 A2 A2 A2 B2 B2 B1 B1B1 A0A0A1A1A1 A2 B2 A0 B1 A1A0 10 2010 湖北孝感 问题情境 勾股定理是一条古老的数学定理 它有很多种证明方法 我国汉代数学家赵爽根 据弦图 利用面积法进行证明 著名数学家华罗庚曾提出把 数形关系 勾股定理 带到其他星球 作为地球人与其他星球 人 进行第一次 谈话 的语言 定理表述 请你根据图 1 中的直角三角形叙述勾股定理 用文字及符号语言叙述 尝试证明 以图 1 中的直角三角形为基础 可以构造出以 a b 为底 以为高的直角梯形ba 如图 2 请你利用图 2 验证勾股定理 知识拓展 利用图 2 中的直角梯形 我们可以证明其证明步骤如下 2 c ba ADbaBC 又 在直角梯形 ABCD 中有 BC AD 填大小关系 即 2 c ba 答案 1 详解 分析 关键就是要把 的特征 即位似与旋转的规定 搞清搞准 以下问Ok 题都是这些特征的具体化和运用 1 2 60 2 2 经过旋转相似变换 得到 此时 线段变为线 31O AO 45 2 AABI 31 O O 段 BI 经过旋转相似变换 得到 此时 线段变为线段 CIB 45 2 2 C 2 CAO BI 2 AO 904545 1 2 2 2 221221 AOOOAOOO 说明 从本题可以看出 所谓掌握一个 新概念 或 新规定 是指能将它应用在 具体的问题中和复合的问题中 这也正是抽象概括能力的基本表现形式 2 详解 分析 问题 1 2 3 逐步 由特殊到一般 发现点 C 的坐标和另外三点的 坐标间的关系 思考的核心是体察并归纳出各种情况下的坐标关系的共性 从而上升成 一般规律 问题 4 则是这个 一般规律 的综合性应用 1 dce daec 2 分别过点DCBA 作x轴的垂线 垂足分别为 分别过作 1111 DCBADA 于 E 于点 F 如图 在平行四边形中 又 1 BBAE 1 CCDF ABCDBACD 11 CC BB 180FCDBCFABCBCFABCEBA 又 FCDEBA CFDBEACFDBEA 90 bdCFBEcaDFAE 设 由得 yxCcaxe acex 由 得 bdfy bdfy bdfaceC 3 bfdnaecm 或 fdbnecam O 1 B D fe B dc C x y Abd E F 1 C 1 A 1 D 4 若为平行四边形的对角线 由 3 可得 要使在抛物线上 则GS 7 2 1 ccP 1 P 有 即 舍去 此时 ccccc 2 35 47 2 0 0 1 2 ccc1 2 c 1 P 7 2 若为平行四边形的对角线 由 3 可得 同理可得 此时 SH 2 3 2 ccP1 c 2 3 2 P 若为平行四边形的对角线 由 3 可得 同理可得 此时 GH 2 cc 1 c 2 1 3 P 综上所述 当时 抛物线上存在点 P 使得以为顶点的四边形是平行四边1 cPHSG 形 符合条件的点有 1 P 7 2 2 3 2 P 2 1 3 P 说明 在本题中 由 1 的具体启发完成 2 中的求解是关键 在问题 4 中 全面而 恰当的分类使解答简捷而有序 3 详解 分析 对于 1 和 2 要通过 黄金分割线 的定义来检验 要点是由 黄金分割点 类比到 黄金分割线 后对其意义的确切把握 对于 3 和 4 实际是做 等积变换 这在 几何图形的等积分割 部分已有介绍 1 直线是的黄金分割线 理由如下 设的边 AB 上的高为 CDABC ABC h hABShBDShADS ABCBDCADC 2 1 2 1 2 1 又点 D 为边 AB 的黄金分割点 AD BD S S AB AD S S ADC BDC ABC ADC 直线是的黄金分割线 AD BD AB AD ADC BDC ABC ADC S S S S CDABC 2 三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分 此时 SSS 2 1 21 三角形的中线不可能是该三角形的黄金分割线 2 21 S S S S 3 的公共边 CE 上的高也相等 EFDCFDCEDF 和 EFDCFD SS AEFEFDADFCFDADFADC SSSSSS 又 因此 直线也是的黄金分割线 ADC BDC ABC ADC S S S S AEF BEFC ABC AEF S S S S 四边形 EFABC 4 画法不惟一 现提供两种画法 画法一 如答图 1 取的中点 G 再过点 G 作一条直线分别交于点 EFDCAB NM 则直线就是平行四边形的黄金分割线 MNABCD 画法二 如答图 2 在上取一点 连结 再过点 F 作交 AB 于DFNENNEFM 点 M 连结 则直线就是平行四边形的黄金分割线 MNMNABCD A C B D F EM G N A C B D F EM N 1 2 说明 本题体现的就是通过类比将 黄金分割 由线段扩充到三角形和平行四边形 4 详解 1 又 11B AAB 90 111 BDAADB 1111 AABDAADB 又 1 CC 11C BBC ABC 111 CBA 2 若 均为锐角三角形或均为直角三角形或均为钝角三角形 ABC 111 CBA 且 则 11B AAB 11C BBC 1 CC ABC 111 CBA 说明 本题告诉我们 一个不真的命题加上若干限定条件之后 它就可能成为一个真命 题 因此 特殊化 方向的研究 可帮助我们获得更深入的知识 归纳和类比是知识扩充与增长的极为重要的思维途径 也是研究性问题展开的有效方 式 因此 我们要深刻体会归纳与类比的思考要点 并能熟练而灵活地运用 5 详解 解 在方形环中 ADBCFNADEM BC NFNMEMFNNEMMFNEM 90 EMM FNN NNMM 解法一 MMENFNMMENNF 90 NNF EM M NF EM NN MM FNEM 或 tan NF FN NN MM cos sin 当时 tan 1 则 45 NNMM 当时 45 NNMM 则 或 tan NN MM cos sin 解法二 在方形环中 90D 又 CDFNADEM E M EMFNDC NFNEMM 在与中 FNNRt EMMRt MM EM NN FN cos sin NN MM EM MM NN FN cos sin tan 即 或 tan NN MM cos sin 当时 45 NNMM 当时 45 NNMM 则 或 tan NN MM cos sin 6 详解 3 个 验证 2 在镶嵌平面时 设围绕某一点有a个正三角形和b个正六边形的内角可以拼成一 个周角 根据题意 可得方程 60120360ab 整理得 26ab 可以找到两组适合方程的正整数解为和 2 2 a b 4 1 a b 结论 2 镶嵌平面时 在一个顶点周围围绕着 2 个正三角形和 2 个正六边形的内角或者围 绕着 4 个正三角形和 1 个正六边形的内角可以拼成一个周角 所以同时用正三角形和正六 边形两种正多边形组合可以进行平面镶嵌 猜想 3 是否可以同时用正三角形 正方形和正六边形三种正多边形组合进行平面镶嵌 验证 3 在镶嵌平面时 设围绕某一点有m个正三角形 n个正方形和c个正六边形的内角 可以拼成一个周角 根据题意 可得方程 6090120360mnc 整理得 23412mnc 可以找到惟一一组适合方程的正整数解为 1 2 1 m n c 结论 3 镶嵌平面时 在一个顶点周围围绕着 1 个正三角形 2 个正方形和 1 个正六边形的 内角可以拼成一个周角 所以同时用正三角形 正方形和正六边形三种正多边形组合可以 进行平面镶嵌 7 详解 1 证明 分别过点M N作 ME AB NF AB 垂足分别为点E F AB DCMN 图 EF AD BC AD BC 四边形ABCD为平行四边形 AB CD ME NF S ABM S ABN MEAB 2 1 NFAB 2 1 S ABM S ABN 相等 理由如下 分别过点D E作DH AB EK AB 垂足分别为H K H C 图 AB DM F EG K 则 DHA EKB 90 AD BE DAH EBK AD BE DAH EBK DH EK CD AB EF S ABM S ABG DHAB 2 1 EKAB 2 1 S ABM S ABG 2 答 存在 解 因为抛物线的顶点坐标是C 1 4 所以 可设抛物线的表达式为 4 1 2 xay 又因为抛物线经过点A 3 0 将其坐标代入上式 得 解得 4130 2 a1 a 该抛物线的表达式为 即 4 1 2 xy32 2 xxy D点坐标为 0 3 设直线AD的表达式为 代入点A的坐标 得 解得 3 kxy330 k1 k 直线AD的表达式为 3 xy 过C点作CG x轴 垂足为G 交AD于点H 则H点的纵坐标为 231 CH CG HG 4 2 2 设点E的横坐标为m 则点E的纵坐标为 32 2 mm 过E点作EF x轴 垂足为F 交AD于点P 则点P的纵坐标为 EF CG m 3 A 图 1 C D B Ox y H PG F P E 由 1 可知 若EP CH 则 ADE与 ADC的面积相等 若E点在直线AD的上方 如图 1 则PF EF m 332