初二三角形四边形动点问题知识点及题答案

个性化学案个性化学案 三角形四边形动点问题 适用学科初中适用年级初二 适用区域人教版课时时长 分钟 60 分钟 知识点几何综合动点 教学目标1 能掌握几何动点类问题的思想方法 数学思想 分类思想 数形结合 思想 转化思想 2 培养学生的几何动点问题中动中求静的思考能力 教学重点培养学生的分析问题 解决问题的能力 内容包括空间观念 应用意识 推理能力问题 教学难点培养学生主动探究知识 合作交流的意识 体验数学中的美 激发学习兴趣 从而培养学生勤于动脑和动手的良好品质 教学过程 一 复习预习 1 复习所学过的几何图形及其性质 2 列出所有几何图形的面积边长公式 二 知识讲解 专题一 一函数揭示了运动变化过程中量与量之间的变化规律 是初中数学的重要内容 动 点问题反映的是一种函数思想 由于某一个点或某图形的有条件地运动变化 引起未知量与已 知量间的一种变化关系 这种变化关系就是动点问题中的函数关系 那么 我们怎样建立这种 函数解析式呢 下面结合中考试题举例分析 个性化学案个性化学案 一 应用勾股定理建立函数解析式 二 应用比例式建立函数解析式 三 应用求图形面积的方法建立函数关系式 专题二 动态几何型压轴题 动态几何特点 问题背景是特殊图形 考查问题也是特殊图形 所以要把握好一般与特 殊的关系 分析过程中 特别要关注图形的特性 特殊角 特殊图形的性质 图形的特殊 位置 动点问题一直是中考热点 近几年考查探究运动中的特殊性 等腰三角形 直角三 角形 相似三角形 平行四边形 梯形 特殊角或其三角函数 线段或面积的最值 下面 就此问题的常见题型作简单介绍 解题方法 关键给以点拨 一 以动态几何为主线的压轴题 一 点动问题 二 线动问题 三 面动问题 二 解决动态几何问题的常见方法有 1 特殊探路 一般推证 2 动手实践 操作确认 3 建立联系 计算说明 三 专题二总结 本大类习题的共性 1 代数 几何的高度综合 数形结合 着力于数学本质及核心内容的考查 四大数学思想 数学结合 分类讨论 方程 函数 2 以形为载体 研究数量关系 通过设 表 列获得函数关系式 研究特殊情况下的函 数值 专题三 双动点问题 点动 线动 形动构成的问题称之为动态几何问题 它主要以几何图形为载体 运动变化 为主线 集多个知识点为一体 集多种解题思想于一题 这类题综合性强 能力要求高 个性化学案个性化学案 它能全面的考查学生的实践操作能力 空间想象能力以及分析问题和解决问题的能力 其 中以灵活多变而著称的双动点问题更成为今年中考试题的热点 现采撷几例加以分类浅析 供读者欣赏 1 以双动点为载体 探求函数图象问题 2 以双动点为载体 探求结论开放性问题 3 以双动点为载体 探求存在性问题 4 以双动点为载体 探求函数最值问题 双动点问题的动态问题是近几年来中考数学的热点题型 这类试题信息量大 对同学们获取信 息和处理信息的能力要求较高 解题时需要用运动和变化的眼光去观察和研究问题 挖掘运动 变化的全过程 并特别关注运动与变化中的不变量 不变关系或特殊关系 动中取静 静中求 动 专题四 函数中因动点产生的相似三角形问题 专题五 以圆为载体的动点问题 动点问题是初中数学的一个难点 中考经常考察 有一类动点问题 题中未说到圆 却与 圆有关 只要巧妙地构造圆 以圆为载体 利用圆的有关性质 问题便会迎刃而解 此类 问题方法巧妙 耐人寻味 三 例题精析 例题 1 个性化学案个性化学案 如图 在直角梯形 ABCD 中 AD BC B 90 AD 24cm AB 8cm BC 26cm 动点 P 从 A 开始沿 AD 边向 D 以 1cm s 的速度 运动 动点 Q 从点 C 开始沿 CB 边向 B 以 3cm s 的速度运动 P Q 分别从点 A C 同时出发 当其中一点到达端点时 另外一点也随之停止运动 设运动时间为 ts 1 当 t 为何值时 四边形 PQCD 为平行四边形 2 当 t 为何值时 四边形 PQCD 为等腰梯形 3 当 t 为何值时 四边形 PQCD 为直角梯形 解析 1 四边形 PQCD 为平行四边形时 PD CQ 2 四边形 PQCD 为等腰梯形时 QC PD 2CE 3 四边形 PQCD 为直角梯形时 QC PD EC 所有的关系式都可用含有 t 的方程来表示 即此题只要解三个方程即可 解答 解 1 四边形 PQCD 平行为四边形 PD CQ 24 t 3t 解得 t 6 个性化学案个性化学案 即当 t 6 时 四边形 PQCD 平行为四边形 2 过 D 作 DE BC 于 E 则四边形 ABED 为矩形 BE AD 24cm EC BC BE 2cm 四边形 PQCD 为等腰梯形 QC PD 2CE 即 3t 24 t 4 解得 t 7 s 即当 t 7 s 时 四边形 PQCD 为等腰梯形 3 由题意知 QC PD EC 时 四边形 PQCD 为直角梯形即 3t 24 t 2 解得 t 6 5 s 即当 t 6 5 s 时 四边形 PQCD 为直角梯形 点评 此题主要考查了平行四边形 等腰梯形 直角梯形的判定 难易程度适中 个性化学案个性化学案 例题 2 如图 在矩形 ABCD 中 BC 20cm P Q M N 分别从 A B C D 出发沿 AD BC CB DA 方向在矩形的边上同时运动 当有一个点先到达所在运动边的另一个 端点时 运动即停止 已知在相同时间内 若 BQ xcm x 0 则 AP 2xcm CM 3xcm DN x2cm 1 当 x 为何值时 以 PQ MN 为两边 以矩形的边 AD 或 BC 的一部分为第三边 构成一个三角形 2 当 x 为何值时 以 P Q M N 为顶点的四边形是平行四边形 3 以 P Q M N 为顶点的四边形能否为等腰梯形 如果能 求 x 的值 如果不能 请说明理由 解析 以 PQ MN 为两边 以矩形的边 AD 或 BC 的一部分为第三边构成一个三角形的必须 条件是点 P N 重合且点 Q M 不重合 此时 AP ND AD 即 2x x2 20cm BQ MC BC 即 x 3x 20cm 或者点 Q M 重合且点 P N 不重合 此 时 AP ND AD 即 2x x2 20cm BQ MC BC 即 x 3x 20cm 所以可以根据这两种情 况来求解 x 的值 个性化学案个性化学案 以 P Q M N 为顶点的四边形是平行四边形的话 因为由第一问可知点 Q 只能在点 M 的左侧 当点 P 在点 N 的左侧时 AP MC BQ ND 当点 P 在点 N 的右侧时 AN MC BQ PD 所以可以根据这些条件列出方程关系式 如果以 P Q M N 为顶点的四边形为等腰梯形 则必须使得 AP ND AD 即 2x x2 20cm BQ MC BC 即 x 3x 20cm AP ND 即 2x x2 BQ MC 即 x 3x x 0 这些条件不能同时满足 所以不能成为等腰梯形 解答 解 1 当点 P 与点 N 重合或点 Q 与点 M 重合时 以 PQ MN 为两边 以矩形的边 AD 或 BC 的一部分为第三边可能构成一个三角形 当点 P 与点 N 重合时 由 x2 2x 20 得 x1 1 x2 1 舍去 因为 BQ CM x 3x 4 1 20 此时点 Q 与点 M 不重合 所以 x 1 符合题意 当点 Q 与点 M 重合时 由 x 3x 20 得 x 5 此时 DN x2 25 20 不符合题意 故点 Q 与点 M 不能重合 所以所求 x 的值为 1 2 由 1 知 点 Q 只能在点 M 的左侧 当点 P 在点 N 的左侧时 由 20 x 3x 20 2x x2 解得 x1 0 舍去 x2 2 当 x 2 时四边形 PQMN 是平行四边形 当点 P 在点 N 的右侧时 个性化学案个性化学案 由 20 x 3x 2x x2 20 解得 x1 10 舍去 x2 4 当 x 4 时四边形 NQMP 是平行四边形 所以当 x 2 或 x 4 时 以 P Q M N 为顶点的四边形是平行四边形 3 过点 Q M 分别作 AD 的垂线 垂足分别为点 E F 由于 2x x 所以点 E 一定在点 P 的左侧 若以 P Q M N 为顶点的四边形是等腰梯形 则点 F 一定在点 N 的右侧 且 PE NF 即 2x x x2 3x 解得 x1 0 舍去 x2 4 由于当 x 4 时 以 P Q M N 为顶点的四边形是平行四边形 所以以 P Q M N 为顶点的四边形不能为等腰梯形 点评 本题考查到三角形 平行四边形 等腰梯形等图形的边的特点 例题 3 如图 在直角梯形 ABCD 中 AD BC C 90 BC 16 DC 12 AD 21 动点 P 从 点 D 出发 沿射线 DA 的方向以每秒 2 个单位长的速度运动 动点 Q 从点 C 出发 在线 段 CB 上以每秒 1 个单位长的速度向点 B 运动 P Q 分别从点 D C 同时出发 当点 Q 运动到点 B 时 点 P 随之停止运动 设运动时间为 t s 1 设 BPQ 的面积为 S 求 S 与 t 之间的函数关系 2 当 t 为何值时 以 B P Q 三点为顶点的三角形是等腰三角形 个性化学案个性化学案 解析 1 若过点 P 作 PM BC 于 M 则四边形 PDCM 为矩形 得出 PM DC 12 由 QB 16 t 可知 s PM QB 96 6t 2 本题应分三种情况进行讨论 若 PQ BQ 在 Rt PQM 中 由 PQ2 PM2 MQ2 PQ QB 将各数据代入 可将时间 t 求出 若 BP BQ 在 Rt PMB 中 由 PB2 BM2 PM2 BP BQ 将数据代入 可将时间 t 求出 若 PB PQ PB2 PM2 BM2 PB PQ 将数据代入 可将时间 t 求出 解答 解 1 过点 P 作 PM BC 于 M 则四边形 PDCM 为矩形 PM DC 12 QB 16 t s QB PM 16 t 12 96 6t 0 t 个性化学案个性化学案 2 由图可知 CM PD 2t CQ t 若以 B P Q 为顶点的三角形是等腰三角形 可 以分三种情况 四 课堂运用 基础 1 如图 已知在矩形ABCD中 AD 8 CD 4 点E从点D出发 沿线段DA以每秒 1 个单位长的速度向点A方向移动 同时点F从点C出发 沿射线CD方向以每秒 2 个单位 长的速度移动 当B E F三点共线时 两点同时停止运动 设点E移动的时间为t 秒 1 设四边形BCFE的面积为S 求S与t之间的函数关系式 并写出t的取值范围 2 求当t为何值时 以E F C三点为顶点的三角形是等腰三角形 解析 1 ED t CF 2t S S BCE S BCF 8 4 2t t 16 t2 1 2 1 2 即S 16 t2 0 t 4 2 若EF EC时 则点F只能在CD的延长线上 EF2 222 24 51616tttt EC2 t 4 或t 0 舍去 222 416tt 2 51616tt 2 16t 若EC FC时 EC2 FC2 4t2 4t2 222 416tt 2 16t 4 3 3 t 若EF FC时 EF2 FC2 4t2 222 24 51616tttt 4t2 t1 舍去 t2 2 51616tt 168 3 168 3 当t的值为 4 时 以E F C三点为顶点的三角形是等腰三角形 4 3 3 168 3 个性化学案个性化学案 巩固 2 如图 1 在矩形 ABCD 中 AB 12cm BC 6cm 点 P 从 A 点出发 沿 A B C D 路线运动 到 D 点停止 点 Q 从 D 点出发 沿 D C B A 运动 到 A 点停止 若点 P 点 Q 同时出发 点 P 的速度为每秒 1cm 点 Q 的速度为每秒 2cm a 秒时点 P 点 Q 同时改变速度 点 P 的速度变为每秒 b cm 点 Q 的速度变为每秒 c cm 如图 2 是点 P 出发 x 秒后 APD 的面积 S1 cm2 与 x 秒 的函数关系图象 图 3 是点 Q 出发 x 秒后 AQD 的面积 S2 cm2 与 x 秒 的函数关系图象 根据图象 1 求 a b c 的值 2 设点 P 离开点 A 的路程为 y1 cm 点 Q 到点 A 还需要走的路程为 y2 cm 请 分别写出改变速度后 y1 y2与出发后的运动时间 x 秒 的函数关系式 并求出 P 与 Q 相遇时 x 的值 答案 1 a 8 b 2 c 1 个性化学案个性化学案 2 y1 2x 8 x 8 y2 22 x x 8 出发 10 秒时 P 与 Q 相遇 解析 1 观察图象得 S APQ PA AD 1 a 6 24 解得 a 8 秒 b 2 厘米 秒 22 8 c 12 2 6 2 8 解得 c 1 厘米 秒 2 依题意得 y1 1 8 2 x 8 即 y1 2x 8 x 8 y2 30 2 8 1 x 8 22 x x 8 又据题意 当 y1 y2时 P 与 Q 相遇 即 2x 8 22 x 解得 x 10 秒 出发 10 秒时 P 与 Q 相遇 拔高拔高 3 3 如图 1 在矩形 ABCD 中 点 P 从 B 点出发沿着四边按 B C D A 方向运动 开始以每 秒 m 个单位匀速运动 a 秒后变为每秒 2 个单位匀速运动 b 秒后又恢复为每秒 m 个单位匀 速运动 在运动过程中 ABP 的面积 S 与运动时间 t 的函数关系如图 2 所示 1 求矩形 ABCD 的长和宽 2 求 m a b 的值 答案答案 1 长方形的长为 8 宽为 4 个性化学案个性化学案 2 m 1 a 4 b 11 解析解析 1 从图象可知 当 6 t 8 时 ABP 面积不变 即 6 t 8 时 点 P 从点 C 运动到点 D 且这时速度为每秒 2 个单位 CD 2 8 6 4 AB CD 4 当 t 6 时 点 P 运动到点 C S ABP 16 AB BC 16 4 BC 16 BC 8 长方形的长为 8 宽为 4 2 当 t a 时 S ABP 8 16 即点 P 此时在 BC 的中点处 PC BC 8 4 2 6 a 4 a 4 BP PC 4 m BP a 4 4 1 当 t b 时 S ABP AB AP 4 4 AP 4 AP 2 b 13 2 11 课程小结 本节重点讲解常考题型即一次函数动点类综合题 着重讲解几何中解决动点问题的思路 个性化学案个性化学案 讲解过程中需让学生学会如何运用数形结合思想解决问题 学会动中求静 课后作业 基础 1 如图 在梯形 ABCD 中 AD BC B 90 AB 14cm AD 15cm BC 21cm 点 M 从点 A 开始 沿边 AD 向点 D 运动 速度为 1cm s 点 N 从点 C 开始 沿边 CB 向点 B 运动 速度为 2cm s 点 M N 分别从点 A C 出发 当其中一点到达端点时 另一点 也随之停止运动 设运动时间为 t 秒 1 当 t 为何值时 四边形 MNCD 是平行四边形 2 当 t 为何值时 四边形 MNCD 是等腰梯形 答案 1 t 5 时 四边形 MNCD 是平行四边形 2 t 9 时 四边形 MNCD 是等腰梯形 解析 1 MD NC 当 MD NC 即 15 t 2t t 5 时 四边形 MNCD 是平行四边形 2 作 DE BC 垂足为 E 则 CE 21 15 6 当 CN MD 12 时 即 2t 15 t 12 t 9 时 四边形 MNCD 是等腰梯形 巩固 个性化学案个性化学案 2 正方形边长为 4 分别是 上的两个动点 当点在上 ABCDMNBCCDMBC 运动时 保持和垂直 设 梯形的面积为 求与之间的 AMMNBMx ABCN yy x 函数关系式 当点运动到什么位置时 四边形面积最大 并求出最大面积 MABCN 解析 RtRtABMM