2013届高考数学复习 最新3年高考2年模拟（8）概率与统计

用心 爱心 专心1 3 3 年高考年高考 2 2 年模拟年模拟 第十章第十章 概率与统计第一部分概率与统计第一部分 三年高考荟萃三年高考荟萃 20122012 年高考数学 年高考数学 1 1 统计 统计 一 选择题 1 2012 山东理 采用系统抽样方法从 960 人中抽取 32 人做问卷调查 为此将他们随机编 号为 1 2 960 分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为 9 抽到的 32 人 中 编号落入区间的人做问卷 编号落入区间的人做问卷 其余的 1 450A 451 750B 人做问卷 则抽到的人中 做问卷的人数为 CB A 7B 9C 10D 15 2 2012 四川文 交通管理部门为了解机动车驾驶员 简称驾驶员 对某新法规的知晓情况 对 甲 乙 丙 丁四个社区做分层抽样调查 假设四个社区驾驶员的总人数为 其中甲社N 区有驾驶员 96 人 若在甲 乙 丙 丁四个社区抽取驾驶员的人数分别为 12 21 25 43 则这四个社区驾驶员的总人数为 N A 101B 808C 1212D 2012 3 2012 陕西理 从甲乙两个城市分别随机抽取 16 台自动售货机 对其销售额进行统计 统计数据用茎叶图表示 如图所示 设甲乙两组数据的平均数分别为 中位数分别x乙x乙 为 则 m乙m乙 A xx 乙乙m乙 m乙 B xx 乙乙m乙 m乙 C xx 乙乙m乙 m乙 D xx 乙乙m乙 m乙 4 2012 陕西文 对某商店一个月内每天的顾客人数进行了统计 得到样本的茎叶图 如图 所示 则改样本的中位数 众数 极差分别是 A 46 45 56B 46 45 53 C 47 45 56D 45 47 53 5 2012 山东文 在某次测量中得到的A样本数据如下 82 84 84 86 86 86 88 88 88 88 若 B样本数据恰好是A样本数据都加 2 后所得数据 则A B两样本的下列数字特征对应相同 的是 用心 爱心 专心2 A 众数B 平均数C 中位数D 标准差 6 2012 江西文 小波一星期的总开支分布图如图 1 所示 一星期的食品开支如图 2 所示 则小波一星期的鸡蛋开支占总开支的百分比为 A 30 B 10 C 3 D 不能确定 7 2012 湖北文 容量为 20 的样本数据 分组后的频数如下表 分 组 10 20 20 30 30 40 40 50 50 60 60 70 频 数 234542 则样本数据落在区间的频率为 10 40 A B C D 0 350 450 550 65 8 2012 江西理 样本 x1 x2 xn 的平均数为 x 样本 y1 y2 yn 的平均数为 若 y xy 样本 x1 x2 xn y1 y2 yn 的平均数 其中 0 1 2 则 n m 的大小关系 1 zaxa y 为 A nm C n mD 不能确定 9 2012 安徽理 甲 乙两人在一次射击比赛中各射 靶 5 次 两人成绩的条形统计图如图所示 则 A 甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数 B 甲的成绩的中位数等于乙的成绩的中位数 C 甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差 D 甲的成绩的极差小于乙的成绩的极差 二 填空题 10 2012 浙江文 某个年级有男生 560 人 女生 420 人 用分层抽样的方法从该年级全体学生中抽取一个容量为 280 的样本 则此样本中男生 人数为 11 2012 山东文 右图是根据部分城市某年 6 月份的平均 气温 单位 数据得到的样本频率分布直方图 其中平均 气温的范围是 20 5 26 5 样本数据的分组为 20 5 21 5 21 5 22 5 22 5 23 5 23 5 24 5 24 5 25 5 用心 爱心 专心3 已知样本中平均气温低于 22 5 的城市个数为 11 则样本中平均气温不低于 25 5 26 5 25 5 的城市个数为 12 2012 湖南文 图 2 是某学校一名篮球运动员在五场比赛中所得分数的茎叶图 则该运 动员在这五场比赛中得分的方差为 089 1 035 2图 注 方差 其中为 x1 x2 xn的平均数 2222 12 1 n sxxxxxx n x 来 13 2012 湖北文 一支田径运动队有男运动员 56 人 女运动员 42 人 现用分层抽样的方法抽取若干人 若抽取的男运动员有 8 人 则抽取的 女运动员有 人 14 2012 广东文 统计 由正整数组成的一组数据 其 1 x 2 x 3 x 4 x 平均数和中位数都是 2 且标准差等于 1 则这组数据为 从 小到大排列 15 2012 福建文 一支田径队有男女运动员 98 人 其中男运动员有 56 人 按男女比例用分层抽样的方法 从全体运动员中抽出一个容量为 28 的样本 那么应抽取女运动员人数是 16 2012 天津理 某地区有小学 150 所 中学 75 所 大学 25 所 现采用 分层抽样的方法从这些学校中抽取 30 所学校对学生进行视力调査 应从小学中抽取 所学校 中学中抽取 所学校 17 2012 江苏 某学校高一 高二 高三年级的学生人数之比为 现用分层抽样的方法334 从该校高中三 个年级的学生中抽取容量为 50 的样本 则应从高二年级抽取 名学生 三 解答题 18 2012 广东文 统计 某校 100 位学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图 4 所示 其 中成绩分组区间是 50 60 60 70 70 80 80 90 90 100 求图中的值 a 根据频率分布直方图 估计这 100 名学生语文 成绩的平均分 若这 100 名学生的语文成绩某些分数段的人数 与数学成绩相应分数段的人数 之xy 比如下表所示 求数学成绩在之外的人数 50 90 用心 爱心 专心4 分数段 50 60 60 70 70 80 80 90 x y 1 12 13 44 5 用心 爱心 专心5 参考答案 一 选择题 1 解析 从 960 中用系统抽样抽取 32 人 则每 30 人抽取一人 因为第一组号码为 9 则第 二组为 39 公差为 30 所以通项为 由2130 1 309 nnan 即 所以 共有7502130451 n 30 21 25 30 22 15 n25 17 16 n 人 选 C 1011625 2 答案 B 解析 N 808 12 96 43 12 96 25 12 96 2196 点评 解决分层抽样问题 关键是求出抽样比 此类问题难点要注意是否需要剔除个体 3 解析 直接根据茎叶图判断 选 B 4 A 解析 考查统计中 中位数 众数 极差 有关概念 中位数是指将统计总体当中的各 个变量值按大小顺序排列起来 形成一个数列 处于变量数列中间位置的变量值就称 为中位数 当变量值的项数 N 为奇数时 处于中间位置的变量值即为中位数 当 N 为 偶数时 中位数则为处于中间位置的 2 个变量值的平均数 众数是一组数据中出现次 数最多的数值 叫众数 有时众数在一组数中有好几个 简单的说 就是一组数据中占比例 最多的那个数 极差是指总体各单位的标志值中 最大标志值与最小标志值之差 中 位数和众数不同 中位数不一定在这组数据中 而众数必定在该组数据 5 解析 设A样本数据的数据为 根据题意可知B样本数据的数据为 则依据统计 i x2 i x 知识可知A B两样本中的众数 平均数和中位数都相差 2 唯有方差相同 即标准差相同 答案应选 D 6 答案 C 解析 本题是一个读图题 图形看懂结果很容易计算 鸡蛋开占食品开支 小波一星期的鸡蛋开支占总开支的百分之化为 30 10 3040 1008050 30 10 3 7 B 解析 由频率分布表可知 样本数据落在区间内的頻数为 2 3 4 9 样本总数 10 40 为 故样本数据落在区间内频率为 故选 B 23454220 10 40 9 0 45 20 点评 本题考查频率分布表的应用 频率的计算 对于頻数 频率等统计问题只需要弄 清楚样本总数与各区间上样本的个数即可 用区间上样本的个数除以样本总数就可得到 相应区间上的样本频率 来年需注意频率分布直方图与频率分布表的结合考查 8 A 解析 本题考查统计中的平均数 作差法比较大小以及整体思想 由统计学知识 可得 1212 nm xxxnx yyymy 1212 1 nm xxxyyymn zmnxy 1mnxmny 用心 爱心 专心6 所以 1nxmymnxmny 所以 1 nmn mmn 故 1 21 nmmnmn 因为 所以 所以 即 1 0 2 210 0nm nm 点评 要牢固掌握统计学中一些基本特征 如平均数 中位数 方差 标准差等的求法 体现考纲中要求会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征 来年需要注意频率 分布直方图中平均值 标准差等的求解等 9 解析 选 C 11 45678 6 5 369 6 55 xx 乙甲 甲的成绩的方差为 乙的成绩的方差为 22 1 22 12 2 5 22 1 1331 2 4 5 二 填空题 10 答案 160 命题意图 本题考查了随机抽样中的分层抽样 也是随机抽样中惯考的形式 利用总体 重的个体数比 确定样本中某一个体的样本容量 解析 总体中男生与女生的比例为 样本中男生人数为 4 3 4 280160 7 11 答案 9 解析 根据题意可知低于 22 5 的城市的频率为 不低于22 0 12 0 10 0 25 5 的城市的频率为 则样本中平均气温不低于 25 5 的城市个数为18 0 911 22 0 18 0 另解 最左边两个矩形面积之和为 0 10 1 0 12 1 0 22 总城市数为 11 0 22 50 最 右面矩形面积为 0 18 1 0 18 50 0 18 9 12 答案 6 8 解析 1 89 10 13 15 11 5 x 222222 1 8 11 9 11 10 11 13 11 15 11 5 s 6 8 点评 本题考查统计中的茎叶图方差等基础知识 考查分析问题 解决问题的能力 13 6 解析 设抽取的女运动员的人数为 则根据分层抽样的特性 有 解得a 8 4256 a 故抽取的女运动员为 6 人 6a 点评 本题考查分层抽样的应用 本题实际是承接 2012 奥运会为题材 充分展示数学 知识在生活中的应用 分层抽样时 各样本抽取的比例应该是一样的 即为抽样比 来年 需注意系统抽样的考查或分层抽样在解答题中作为渗透考查 14 解析 1 1 3 3 由 可得 因为 1234 2 4 xxxx 23 2 2 xx 1423 4xxxx 1 x 都是正整数 所以只有 1 3 组合或 2 2 组合 若其中有一个是 2 2 组合 不 2 x 3 x 4 x 用心 爱心 专心7 妨设 则由可得 14 2xx 2222 1234 1 22221 4 sxxxx 此时 无解 所以与 与都是 1 3 组合 因此这组 22 23 224xx 2 x 3 x 1 x 4 x 2 x 3 x 数据为 1 1 3 3 15 答案 12 解析 9856 28 12 98 考点定位 此题考查分层抽样的概念和具体做法 明确分层抽样的本质是关键 16 答案 18 9 命题意图 本试题主要考查了统计中的分层抽样的概念以及样本获取的方法与计算 解析 分层抽样也叫按比例抽样 由题知学校总数为 250 所 所以应从小学中抽取 中学中抽取 150 30 18 250 75 30 9 250 17 答案 15 考点 分层抽样 解析 分层抽样又称分类抽样或类型抽样 将总体划分为若干个同质层 再在各层 内随机抽样或机械抽样 分层抽样的特点是将科学分组法与抽样法结合在一起 分 组减小了各抽样层变异性的影响 抽样保证了所抽取的样本具有足够的代表性 因 此 由知应从高二年级抽取 15 名学生 3 50 15 334 三 解答题 18 解析 由 解得 20 020 030 04101a 0 005a 0 05 550 4650 3 750 2 850 05 9573 这 100 位学生语文成绩在 的分别有 5 人 40 50 60 60 70 70 80 80 90 人 30 人 20 人 按照表中所给比例 数学成绩在 50 60 60 70 70 80 的分别有 5 人 20 人 40 人 25 人 共 90 人 所以数学成绩在之外的人 80 90 50 90 数有 10 人 20122012 年高考数学 年高考数学 2 2 概率 概率 一 选择题 1 2012 辽宁文 在长为 12cm 的线段 AB 上任取一点C 现作一矩形 邻边长分 别等于线段 AC CB 的长 则该矩形面积大于 20cm2的概率为 A 1 6 B 1 3 C 2 3 D 4 5 2 2012 安徽文 袋中共有 6 个除了颜色外完全相同的球 其中有 1 个红球 2 个白球和 3 用心 爱心 专心8 个黑球 从袋中任取两球 两球颜色为一白一黑的概率等于 A 1 5 B 2 5 C 3 5 D 4 5 23 2012 北京文理 设不等式组 02 02 x y 表示的平面区域为 D 在区域 D 内随机取一个点 则 此点到坐标原点的距离大于 2 的概率是 A 4 B 2 2 C 6 D 4 4 4 2012 辽宁理 在长为 12cm 的线段 AB 上任取一点C 现作一矩形 领边长分 别等于线段 AC CB 的长 则该矩形面积小于 32cm2的概率为 A 1 6 B 1 3 C 2 3 D 4 5 5 2012 湖北理 如图 在圆心角为直角的扇形OAB中 分别以OA OB为直径作两个半圆 在扇形OAB内随机取一点 则此点取自阴影部分的概率是 A 2 1 B 11 2 C 2 D 1 二 填空题 6 2012 浙江文 从边长为 1 的正方形的中心和顶点这五点中 随 机 等可能 取两点 则该两点间的距离为 2 2 的概率是 7 2012 江苏 现有 10 个数 它们能构成一个以 1 为首项 为公比的等比数列 若从这 103 个数中随机抽取一个数 则它小于8 的概率是 三 解答题 37 2012 辽宁文 电视传媒公司为了了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况 随 机抽取了 100 名观众进行调查 其中女性有 55 名 下面是根据调查结果绘制的观众日均 收看该体育节目时间的频率分布直方图 将日均收看该体育节目时间不低于 40 分钟的观众称为 体育迷 已知 体育迷 中有 用心 爱心 专心9 10 名女性 根据已知条件完成下面的2 2 列联表 并据此资料你是否认为 体育迷 与性别 有关 非体育迷体育迷合 计 男 女 合计 将日均收看该体育项目不低于 50 分钟的观众称为 超级体育迷 已知 超级 体育迷 中有 2 名女性 若从 超级体育迷 中任意选取 2 人 求至少有 1 名女性观众的 概率 38 2012 北京文 近年来 某市为了促进生活垃圾的分类处理 将生活垃圾分为厨余垃圾 可回收物和其他垃圾三类 并分别设置了相应的垃圾箱 为调查居民生活垃圾分类投放情 况 现随机抽取了该市三类垃圾箱中总计 1000 吨生活垃圾 数据统计如下 单位 吨 厨余垃圾 箱 可回收物 箱 其他垃圾 箱 厨余垃圾 400100100 可回收物 3024030 其他垃圾 202060 1 试估计厨余垃圾投放正确的概率 2 试估计生活垃圾投放错误的概率 3 假设厨余垃圾在 厨余垃圾 箱 可回收物 箱 其他垃圾 箱的投放量分别为 其中 当数据的方差最大时 写出的值 结 a b c0a 600abc a b c 2 S a b c 论不要求证明 并求此时的值 2 S 注 方差 其中为的平均数 2222 12 1 n sxxxxxx n x 12 n x xx 用心 爱心 专心10 参考答案 一 选择题 1 答案 C 解析 设线段 AC 的长为xcm 则线段 CB 的长为 12x cm 那么矩形的面积为 12 xx cm2 由 12 20 xx 解得210 x 又012x 所以该矩形面积小于 32cm2的概率为 2 3 故选 C 点评 本题主要考查函数模型的应用 不等式的解法 几何概型的计算 以及分析问 题的能力 属于中档题 2 解析 选B 1 个红球 2 个白球和 3 个黑球记为 112123 a b b c c c 从袋中任取两球共有 111211121312111213 212223121323 a b a b a c a c a c b b b c b c b c b c b c b c c c c c c c 15 种 满足两球颜色为一白一黑有6种 概率等于 62 155 3 答案 D 解析 题目中 02 02 x y 表示的区域表示正方形区域 而动点D可以存在的位置为正 方形面积减去四分之一的圆的面积部分 因此 2 1 2 22 4 4 2 24 p 故选 D 考点定位 本小题是一道综合题 它涉及到的知识包括 线性规划 圆的概念和面积公 式 概率 4 答案 C 解析 设线段 AC 的长为xcm 则线段 CB 的长为 12x cm 那么矩形的面积为 12 xx cm2 由 12 32xx 解得48xx 或 又012x 所以该矩形面积小于 32cm2的概率 为 2 3 故选 C 点评 本题主要考查函数模型的应用 不等式的解法 几何概型的计算 以及分析问 题的能力 属于中档题 5 考点分析 本题考察几何概型及平面图形面积求法 解析 令1 OA 扇形OAB为对称图形 ACBD围成面积为 1 S 围成OC为 2 S 作对称轴OD 则过C点 2 S即为以OA为直径的半圆面积减去三角形OAC的面积 用心 爱心 专心11 8 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 S 在扇形OAD中 2 1 S 为扇形面积减去三角形OAC面积 和 2 2 S 16 2 28 1 1 8 1 2 2 2 1 SS 4 2 21 SS 扇形OAB面积 4 1 S 选 A 二 填空题 6 答案 2 5 命题意图 本题主要了以正方形中某些点为背景的随机事件的概率问题 解析 基本事件的总数为 5 个点中任取 2 个共有 10 种可能 若使两点间的距离为 2 2 则为对角线一半 选择点必含中心 4 个顶点中任取一个点 共有 4 种可能 概 率为 P 42 105 7 答案 3 5 考点 等比数列 概率 解析 以 1 为首项 为公比的等比数列的10 个数为 1 3 9 27 其中有 53 个负数 1 个正数 1 计 6 个数小于8 从这 10 个数中随机抽取一个数 它小于 8 的概率是 63 105 三 解答题 19 答案与解析 解析解析 1 由频率分布直方图可知 在抽取的 100 人中 体育迷 有 25 人 从而2 2 列 联表如下 非体育 迷 体育迷 合 计 男 301545 女 451055 合计 7525100 将2 2 列联表中的数据代入公式计算 得 3 分 22 112212212 1 2 1 2 10030 10 45 15100 3 030 75 25 45 5533 n n nn n n n n n 因为3 030 3 841 所以没有理由认为 体育迷 与性别有关 6 分 由频率分布直方图知 超级体育迷 为 5 人 从而一切可能的结果所组成的基本事件 空间为 1 a 2 a 1 a 3 a 1 a 1 b 1 a 2 b 2 a 3 a 2 a 1 b 2 a 2 b 3 a 1 b 3 a 2 b 1 b 2 b 用心 爱心 专心12 其中 i a表示男性 i 1 2 3 j b表示女性 j 1 2 由由 10 个基本事件组成 而且这些基本事件出现是等可能的 用 A 表示 任选 3 人中 至少有 2 人是女性 这一事件 则 A 1 a 1 b 1 a 2 b 2 a 1 b 2 a 2 b 3 a 1 b 3 a 2 b 1 b 2 b 事件 A 由 7 个基本事件组成 7 10 P A 点评点评 准确读取频率分布直方图中的数据是解题的关键 求概率时列举基本事件一定要做 到不重不漏 此处极容易出错 20 考点定位 此题的难度集中在第三问 基他两问难度不大 第三问是对能力的考查 不 要求证明 即不要求说明理由 但是要求学生对方差意义的理解非常深刻 1 厨余垃圾投放正确的概率约为 乙乙乙乙 乙乙乙乙乙乙乙 乙乙乙乙乙乙 2 3 400 400 100 100 2 设生活垃圾投放错误为事件 A 则事件表示生活垃圾投放正确 A 事件的概率约为 厨余垃圾 箱里厨余垃圾量 可回收物 箱里可回收物量与 其A 他垃圾 箱里其他垃圾量的总和除以生活垃圾总量 即 P 约为 A 0 0 7 7 400 240 60 1000 所以 P A 约为 1 0 7 0 3 3 当600a 时 取得最大值 因为 0bc 2 S 1 200 3 xabc 所以 222 2 1 600 200 0200 0200 8000 3 S 2011 年高考题统计 一 一 选择题 1 四川理 1 有一个容量为 66 的样本 数据的分组及各组的频数如下 11 5 15 5 2 15 5 19 5 4 19 5 23 5 9 23 5 27 5 18 27 5 31 5 1l 31 5 35 5 12 35 5 39 5 7 39 5 43 5 3 根据样本的频率分布估计 数据落在 31 5 43 5 的概率约是 A 1 6 B 1 3 C 1 2 D 2 3 答案 B 解析 从31 5到43 5共有 22 所以 221 663 P 用心 爱心 专心13 2 陕西理 9 设 1 x 1 y 2 x 2 y n x n y 是变量x和 y 的n个样本点 直线l是由这些样本点通过最小二乘法得到的线性回归直线 如图 以 下结论中正确的是 A x和 y 的相关系数为直线l的斜率 B x和 y 的相关系数在 0 到 1 之间 C 当n为偶数时 分布在l两侧的样本点的个数一定相同 D 直线l过点 x y 答案 D 3 山东理 7 某产品的广告费用 x 与销售额 y 的统计数据如下表 广告费用 x 万元 4235 销售额 y 万元 49263954 根据上表可得回归方程 ybxa 中的 b为 9 4 据此模型预报广告费用为 6 万元时销售额 为 A 63 6 万元 B 65 5 万元 C 67 7 万元 D 72 0 万元 答案 B 4 江西理 6 变量 X 与 Y 相对应的一组数据为 10 1 11 3 2 11 8 3 12 5 4 13 5 变量 U 与 V 相对应的一组数据为 10 5 11 3 4 11 8 3 12 5 2 13 1 1 r 表示变量 Y 与 X 之间的线性相关系数 2 r 表示变量 V 与 U 之间的 线性相关系数 则 A 21 0rr B 21 0rr C 21 0rr D 21 rr 答案 C 5 湖南理 4 通过随机询问 110 名性别不同的大学生是否爱好某项运动 得到如下的列联 表 男女总计 爱好 402060 不爱好 203050 总计 6050110 由 2 2 n adbc K abcdacbd 算得 2 2 11040 3020 20 7 8 60 50 60 50 K 2 P Kk 0 0500 0100 001 k3 8416 63510 828 参照附表 得到的正确结论是 用心 爱心 专心14 A 再犯错误的概率不超过 0 1 的前提下 认为 爱好该项运动与性别有关 B 再犯错误的概率不超过 0 1 的前提下 认为 爱好该项运动与性别无关 C 有 99 以上的把握认为 爱好该项运动与性别有关 D 有 99 以上的把握认为 爱好该项运动与性别无关 答案 C 二 填空题 6 天津理 9 一支田径队有男运动员 48 人 女运动员 36 人 若用分层抽样的方法从该队 的全体运动员中抽取一个容量为 21 的样本 则抽取男运动员的人数为 答案 12 7 辽宁理 14 调查了某地若干户家庭的年收入 x 单位 万元 和年饮食支出 y 单位 万元 调查显示年收入 x 与年饮食支出 y 具有线性相关关系 并由调查数据得到 y 对 x 的 回归直线方程 321 0 254 0 xy 由回归直线方程可知 家庭年收入每增加 1 万元 年饮 食支出平均增加 万元 答案 0 254 8 江苏 6 某老师从星期一到星期五收到信件数分别是 10 6 8 5 6 则该组数据的方 差 2 s 答案 3 2 9 广东理 13 某数学老师身高 176cm 他爷爷 父亲和儿子的身高分别是 173cm 170cm 和 182cm 因儿子的身高与父亲的身高有关 该老师用线性回归分析的方法预测他孙子的身 高为 cm 答案 185 三 解答题 10 北京理 17 以下茎叶图记录了甲 乙两组个四名同学的植树棵树 乙组记录中有一个数据模糊 无法确 认 在图中以 X 表示 如果 X 8 求乙组同学植树棵树的平均数和方差 如果 X 9 分别从甲 乙两组中随机选取一名同学 求这两名同学的植树总棵树 Y 的分布列和数学期望 注 方差 222 2 12 1 n sxxxxxx n 其中x为 1 x 2 x n x 的平均数 解 1 当 X 8 时 由茎叶图可知 乙组同学的植树棵数是 8 8 9 10 所以平均数为 用心 爱心 专心15 4 35 4 10988 x 方差为 16 11 4 35 10 4 35 9 4 35 8 4 35 8 4 1 22222 s 当 X 9 时 由茎叶图可知 甲组同学的植树棵树是 9 9 11 11 乙组同学的植树 棵数是 9 8 9 10 分别从甲 乙两组中随机选取一名同学 共有 4 4 16 种可能的结 果 这两名同学植树总棵数 Y 的可能取值为 17 18 19 20 21 事件 Y 17 等价于 甲 组选出的同学植树 9 棵 乙组选出的同学植树 8 棵 所以该事件有 2 种可能的结果 因此 P Y 17 8 1 16 2 同理可得 4 1 18 YP 4 1 19 YP 8 1 21 4 1 20 YPYP 所以随机变量 Y 的分布列为 Y1718192021 P 8 1 4 1 4 1 4 1 8 1 EY 17 P Y 17 18 P Y 18 19 P Y 19 20 P Y 20 21 P Y 21 17 8 1 18 4 1 19 4 1 20 4 1 21 8 1 19 11 辽宁理 19 某农场计划种植某种新作物 为此对这种作物的两个品种 分别称为品种 家和品种乙 进行田间试验 选取两大块地 每大块地分成 n 小块地 在总共 2n 小块地中 随机选 n 小块地种植品种甲 另外 n 小块地种植品种乙 I 假设 n 4 在第一大块地中 种植品种甲的小块地的数目记为 X 求 X 的分布列和数学 期望 II 试验时每大块地分成 8 小块 即 n 8 试验结束后得到品种甲和品种乙在个小块地上 的每公顷产量 单位 kg hm2 如下表 品种甲 403397390404388400412406 品种乙 419403412418408423400413 分别求品种甲和品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差 根据试验结果 你认为应该 种植哪一品种 附 样本数据 n xxx 21 的的样本方差 1 22 2 2 1 2 xxxxxx n s n 其中x为 样本平均数 解 I X 可能的取值为 0 1 2 3 4 且 用心 爱心 专心16 4 8 13 44 4 8 22 44 4 8 31 44 4 8 4 8 11 0 70 8 1 35 18 2 35 8 3 35 11 4 70 P X C C C P X C C C P X C C C P X C P X C 即 X 的分布列为 4 分 X 的数学期望为 181881 012342 7035353570 E X 6 分 II 品种甲的每公顷产量的样本平均数和样本方差分别为 22222222 1 403397390404388400412406 400 8 1 3 3 10 4 12 0126 57 25 8 x S 甲 甲 8 分 品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差分别为 222222222 1 419403412418408423400413 412 8 1 7 9 06 4 11 12 1 56 8 x S 乙 乙 10 分 由以上结果可以看出 品种乙的样本平均数大于品种甲的样本平均数 且两品种的样本方差 差异不大 故应该选择种植品种乙 2011 年高考题 二 概率 一 选择题 1 浙江理 9 有 5 本不同的书 其中语文书 2 本 数学书 2 本 物理书 1 本 若将其随机 用心 爱心 专心17 的并排摆放到书架的同一层上 则同一科目的书都不相邻的概率 A 1 5 B 2 5 C 3 5 D 4 5 答案 B 2 四川理 1 有一个容量为 66 的样本 数据的分组及各组的频数如下 11 5 15 5 2 15 5 19 5 4 19 5 23 5 9 23 5 27 5 18 27 5 31 5 1l 31 5 35 5 12 35 5 39 5 7 39 5 43 5 3 根据样本的频率分布估计 数据落在 31 5 43 5 的概率约是 A 1 6 B 1 3 C 1 2 D 2 3 答案 B 解析 从31 5到43 5共有 22 所以 221 663 P 3 陕西理 10 甲乙两人一起去游 2011 西安世园会 他们约定 各自独立地从 1 到 6 号 景点中任选 4 个进行游览 每个景点参观 1 小时 则最后一小时他们同在一个景点的概率是 A 1 36 B 1 9 C 5 36 D 1 6 答案 D 4 全国新课标理 4 有 3 个兴趣小组 甲 乙两位同学各自参加其中一个小组 每位同学 参加各个小组的可能性相同 则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为 A 1 3 B 1 2 C 2 3 D 3 4 答案 A 5 辽宁理 5 从 1 2 3 4 5 中任取 2 各不同的数 事件 A 取到的 2 个数之和为偶数 事件 B 取到的 2 个数均为偶数 则 P B A A 1 8 B 1 4 C 2 5 D 1 2 答案 B 6 湖北理 5 已知随机变量 服从正态分布 2 2N a 且 4 0 8 则 0 2 0 6 B 0 4 C 0 3 D 0 2 答案 C 7 湖北理 7 如图 用 K 1 A 2 A 三类不同的元件连接成一个系统 当K正常工作且 1 A 2 A 至少有一个正常工作时 系统正常工作 已知 K 1 A 2 A 正常工作的概率依次为 用心 爱心 专心18 0 9 0 8 0 8 则系统正常工作的概率为 A 0 960 B 0 864 C 0 720 D 0 576 答案 B 8 广东理 6 甲 乙两队进行排球决赛 现在的情形是甲队只要在赢一次就获冠军 乙队 需要再赢两局才能得冠军 若两队胜每局的概率相同 则甲队获得冠军的概率为 A 1 2 B 3 5 C 2 3 D 3 4 答案 D 9 福建理 4 如图 矩形 ABCD 中 点 E 为边 CD 的中点 若在矩形 ABCD 内部随机取一个点 Q 则点 Q 取自 ABE 内部的概率等于 A 1 4 B 1 3 C 1 2 D 2 3 答案 C 二 填空题 10 湖北理 12 在 30 瓶饮料中 有 3 瓶已过了保质期 从这 30 瓶饮料中任取 2 瓶 则至 少取到一瓶已过保质期饮料的概率为 结果用最简分数表示 答案 28 145 11 福建理 13 盒中装有形状 大小完全相同的 5 个球 其中红色球 3 个 黄色球 2 个 若从中随机取出 2 个球 则所取出的 2 个球颜色不同的概率等于 答案 3 5 12 浙江理 15 某毕业生参加人才招聘会 分别向甲 乙 丙三个公司投递了个人简历 假定该毕业生得到甲公司面试的概率为 2 3 得到乙丙公司面试的概率为p 且三个公司是否 让其面试是相互独立的 记 X 为该毕业生得到面试得公司个数 若 1 0 12 P X 则随机变量 X 的数学期望 E X 用心 爱心 专心19 答案 5 3 13 湖南理 15 如图 4 EFGH 是以 O 为圆心 半径为 1 的圆的内接正方形 将一颗豆子随 机地扔到该图内 用 A 表示事件 豆子落在正方形 EFGH 内 B 表示事 件 豆子落在扇形 OHE 阴影部分 内 则 1 P A 2 P B A 答案 1 21 2 4 14 上海理 9 马老师从课本上抄录一个随机变量 的概率分布律如下表 请小牛同学计算 的数学期望 尽管 处无法完全看清 且两个 处字迹模糊 但 能肯定这两个 处的数值相同 据此 小牛给出了正确答案 E 答案 2 15 重庆理 13 将一枚均匀的硬币投掷 6 次 则正面出现的次数比反面出现的次数多的概 率 答案 11 32 16 上海理 12 随机抽取 9 个同学中 至少有 2 个同学在同一月出生的概率是 默认每月天数相同 结果精确到0 001 答案 0 985 17 江西理 12 小波通过做游戏的方式来确定周末活动 他随机地往单位圆内投掷一点 若此点到圆心的距离大于 1 2 则周末去看电影 若此点到圆心的距离小于 1 4 则去打篮球 否则 在家看书 则小波周末不在家看书的概率为 答案 13 16 18 江苏 5 5 从 1 2 3 4 这四个数中一次随机取两个数 则其中一个数是另一个的两 倍的概率为 答案 3 1 三 解答题 19 湖南理 18 某商店试销某种商品 20 天 获得如下数据 日销售量 件 0123 321 P x x 用心 爱心 专心20 频数 1595 试销结束后 假设该商品的日销售量的分布规律不变 设某天开始营业时有该商品 3 件 当天营业结束后检查存货 若发现存货少于 2 件 则当天进货补充至 3 件 否则不进货 将 频率视为概率 求当天商品不进货的概率 记 X 为第二天开始营业时该商品的件数 求 X 的分布列和数学期型 解 I P 当天商品不进货 P 当天商品销售量为 0 件 P 当天商品销 售量为 1 件 10 3 20 5 20 1 由题意知 X的可能取值为 2 3 PXP 2 当天商品销售量为 1 件 4 1 20 5 PXP 3 当天商品销售量为 0 件 P 当天商品销售量为 2 件 P 当天商品销售量为 3 件 4 3 20 5 20 9 20 1 故X的分布列为 X23 P 4 1 4 3 X的数学期望为 4 11 4 3 3 4 1 2 EX 20 安徽理 20 工作人员需进入核电站完成某项具有高辐射危险的任务 每次只派一个人 进去 且每个人只派一次 工作时间不超过 10 分钟 如果有一个人 10 分钟内不能完成任务 则撤出 再派下一个人 现在一共只有甲 乙 丙三个人可派 他们各自能完成任务的概率 分别 p pp 假设 p pp 互不相等 且假定各人能否完成任务的事件相互独立 如果按甲最先 乙次之 丙最后的顺序派人 求任务能被完成的概率 若改变三个人 被派出的先后顺序 任务能被完成的概率是否发生变化 若按某指定顺序派人 这三个人各自能完成任务的概率依次为 q q q 其中 q q q 是 p pp 的一个排列 求所需派出人员数目X 的分布列和均值 数字期望 EX 假定 ppp 试分析以怎样的先后顺序派出人员 可使所需派出的人员数目 的均值 数字期望 达到最小 解 本题考查相互独立事件的概率计算 考查离散型随机变量及其分布列 均值等基本知识 考查在复杂情境下处理问题的能力以及抽象概括能力 合情推理与演绎推理 分类读者论论 用心 爱心 专心21 思想 应用意识与创新意识 解 I 无论以怎样的顺序派出人员 任务不能被完成的概率都是 1 1 1 321 ppp 所以任务能被完成的概率与三个被派出的先后顺序无关 并等于 1 1 1 1 321133221321321 ppppppppppppppp II 当依次派出的三个人各自完成任务的概率分别为 321 qqq 时 随机变量 X 的分布 列为 X123 P 1 q 21 1 qq 1 1 21 qq 所需派出的人员数目的均值 数学期望 EX 是 23 1 1 3 1 2 212121211 qqqqqqqqqEX III 方法一 由 II 的结论知 当以甲最先 乙次之 丙最后的顺序派人时 23 2121 ppppEX 根据常理 优先派出完成任务概率大的人 可减少所需派出的人员数目的均值 下面证明 对于 321 ppp 的任意排列 321 qqq 都有 2121 23qqqq 23 2121 pppp 事实上 23 23 21212121 ppppqqqq 0 1 1 2 2 2 21211 221112 2212112211 21212211 qqppq qpqqpp qpqpqpqpqp qqppqpqp 即 成立 方法二 i 可将 II 中所求的 EX 改写为 3 12121 qqqqq 若交换前两人的派 出顺序 则变为 3 12121 qqqqq 由此可见 当 12 qq 时 交换前两人的派出顺序 可减小均值 ii 也可将 II 中所求的 EX 改写为 2121 23qqqq 或交换后两人的派出顺序 则 变为 3131 23qqqq 由此可见 若保持第一个派出的人选不变 当 23 qq 时 交换后 两人的派出顺序也可减小均值 序综合 i ii 可知 当 321321 pppqqq 时 EX 达到最小 即完成任务概 用心 爱心 专心22 率大的人优先派出 可减小所需派出人员数目的均值 这一结论是合乎常理的 21 北京理 17 以下茎叶图记录了甲 乙两组个四名同学的植树棵树 乙组记录中有一个 数据模糊 无法确认 在图中以 X 表示 如果 X 8 求乙组同学植树棵树的平均数和方差 如果 X 9 分别从甲 乙两组中随机选取一名同学 求这两名同学的植树总棵树 Y 的分布列和数学期望 注 方差 222 2 12 1 n sxxxxxx n 其中x为 1 x 2 x n x 的平均数 解 1 当 X 8 时 由茎叶图可知 乙组同学的植树棵数是 8 8 9 10 所以平均数为 4 35 4 10988 x 方差为 16 11 4 35 10 4 35 9 4 35 8 4 35 8 4 1 22222 s 当 X 9 时 由茎叶图可知 甲组同学的植树棵树是 9 9 11 11 乙组同学的植树 棵数是 9 8 9 10 分别从甲 乙两组中随机选取一名同学 共有 4 4 16 种可能的结 果 这两名同学植树总棵数 Y 的可能取值为 17 18 19 20 21 事件 Y 17 等价于 甲 组选出的同学植树 9 棵 乙组选出的同学植树 8 棵 所以该事件有 2 种可能的结果 因此 P Y 17 8 1 16 2 同理可得 4 1 18 YP 4 1 19 YP 8 1 21 4 1 20 YPYP 所以随机变量 Y 的分布列为 Y1718192021 P 8 1 4 1 4 1 4 1 8 1 EY 17 P Y 17 18 P Y 18 19 P Y 19 20 P Y 20 21 P Y 21 17 8 1 18 4 1 19 4 1 20 4 1 21 8 1 19 用心 爱心 专心23 22 福建理 19 某产品按行业生产标准分成 8 个等级 等级系数 X 依次为 1 2 8 其中 X 5 为标准 A X 为标准 B 已知甲厂执行标准 A 生产该产品 产品的零售价为 6 元 件 乙厂执行标准 B 生产该产品 产品的零售价为 4 元 件 假定甲 乙两厂得产品都符合 相应的执行标准 I 已知甲厂产品的等级系数 X1 的概率分布列如下所示 1 x 5678 P 0 4 ab 0 1 且 X1 的数字期望 EX1 6 求 a b 的值 II 为分析乙厂产品的等级系数 X2 从该厂生产的产品中随机抽取 30 件 相应的等级系 数组成一个样本 数据如下 3 5 3 3 8 5 5 6 3 4 6 3 4 7 5 3 4 8 5 3 8 3 4 3 4 4 7 5 6 7 用这个样本的频率分布估计总体分布 将频率视为概率 求等级系数 X2 的数学期望 III 在 I II 的条件下 若以 性价比 为判断标准 则哪个工厂的产品更具 可购买性 说明理由 注 1 产品的 性价比 产品的零售价 期望产品的等级系数的数学 2 性价比 大的产品更具可购买性 解 本小题主要考查概率 统计等基础知识 考查数据处理能力 运算求解能力 应用意识 考查函数与方程思想 必然与或然思想 分类与整合思想 满分 13 分 解 I 因为 1 6 5 0 4678 0 16 673 2 EXabab 所以即 又由 X1 的概率分布列得0 4 0 11 0 5 abab 即 由 673 2 0 3 0 5 0 2 aba abb 解得 II 由已知得 样本的频率分布表如下 2 X 345678 f 0 30 20 20 10 10 1 用这个样本的频率分布估计总体分布 将频率视为概率 可得等级系数 X2 的概率分布列如 下 2 X 345678 P 0 30 20 20 10 10 1 所以 2222222 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 8 8 EXP XP XP XP XP XP X 用心 爱心 专心24 3 0 34 0 25 0 26 0 1 7 0 1 8 0 1 4 8 即乙厂产品的等级系数的数学期望等于 4 8 III 乙厂的产品更具可购买性 理由如下 因为甲厂产品的等级系数的期望数学等于 6 价格为 6 元 件 所以其性价比为 6 1 6 因为乙厂产吕的等级系数的期望等于 4 8 价格为 4 元 件 所以其性价比为 4 8 1 2 4 据此 乙厂的产品更具可购买性 23 广东理 17 为了解甲 乙两厂的产品质量 采用分层抽样的方法从甲 乙两厂生产的 产品中分别抽出取 14 件和 5 件 测量产品中的微量元素 x y 的含量 单位 毫克 下表是 乙厂的 5 件产品的测量数据 编号 12345 x169178166175180 y7580777081 1 已知甲厂生产的产品共有 98 件 求乙厂生产的产品数量 2 当产品中的微量元素 x y 满足 x 175 且 y 75 时 该产品为优等品 用上述样本数据 估计乙厂生产的优等品的数量 3 从乙厂抽出的上述 5 件产品中 随机抽取 2 件 求抽取的 2 件产品中优等品数 的分布 列极其均值 即数学期望 解 1 98 7 5735 14 即乙厂生产的产品数量为 35 件 2 易见只有编号为 2 5 的产品为优等品 所以乙厂生产的产品中的优等品 2 5 故乙厂生产有大约 2 3514 5 件 优等品 3 的取值为 0 1 2 2112 3323 222 555 331 0 1 2 10510 CCCC PPP CCC 所以 的分布列为 012 P 3 10 6 10 1 10 用心 爱心 专心25 故 3314 012 105105 E 的均值为 24 辽宁理 19 某农场计划种植某种新作物 为此对这种作物的两个品种 分别称为品种 家和品种乙 进行田间试验 选取两大块地 每大块地分成 n 小块地 在总共 2n 小块地中 随机选 n 小块地种植品种甲 另外 n 小块地种植品种乙