勾股定理题型总结

1 1 勾股定理知识技能和题型归纳 一 勾股定理知识技能和题型归纳 一 知识技能知识技能 一 本章知识内容归纳一 本章知识内容归纳 1 1 勾股定理 勾股定理 揭示的是平面几何图形本身所蕴含的代数关系 1 重视勾股定理的叙述形式 直角三角形直角边上的两个正方形的面积之和等于斜边上的正方形的面积 直角三角形斜边长度的平方 等于两个直角边长度平方之和 从这两种形式来看 有 形的勾股定理 和 数的勾股定理 之分 2 定理的作用 已知直角三角形的两边 求第三边 证明三角形中的某些线段的平方关系 作长为的线段 利用勾股定理探究长度为 的无理数线段的几n 3 2 何作图方法 并在数轴上将这些点表示出来 进一步反映了数与形的互相表示 加 深对无理数概念的认识 2 2 勾股定理的逆定理 勾股定理的逆定理 1 勾股定理的逆定理的证明方法 通过构造一个三角形与直角三角形全等 达 到证明某个角为直角的目的 2 逆定理的作用 判定一个三角形是否为直角三角形 3 勾股定理的逆定理是把数转化为形 是利用代数计算来证明几何问题 要注 意叙述及书写格式 运用勾股定理的逆定理的步骤如下 首先确定最大的边 如 c 验证与是否具有相等关系 22 ba 2 c 若 则 ABC 是以 C 为 90 的直角三角形 222 cba 若 则 ABC 不是直角三角形 222 cba 补充知识 当时 则是锐角三角形 当时 则是钝角三角形 222 cba 222 cba 4 通过总结归纳 记住一些常用的勾股数 如 3 4 5 5 12 13 6 8 10 8 15 17 9 40 41 以及这些数组的倍 数组成的数组 勾股数组的一般规律 丢番图发现的 式子的正整数 nmnmmnnm 2 2222 毕达哥拉斯发现的 的整数 122 22 12 22 nnnnn1 n 2 2 C AB S2 S1 S3A C B 柏拉图发现的 的整数 1 1 2 22 nnn1 n 3 勾股定理与勾股定理逆定理的关系勾股定理与勾股定理逆定理的关系 1 注意分清应用条件 勾股定理是由直角得到三条边的关系 勾股定理逆定理则是由边的关系来判断一个 角是否为直角 2 根据课标要求 对原命题 逆命题及命题之间的关系只要求根据例子了解即 可 不必专门训练 二 本章解题技能归纳二 本章解题技能归纳 1 直角三角形的性质与判定小结直角三角形的性质与判定小结 1 直角三角形的性质 角的关系 直角三角形两锐角互余 边的关系 直角三角形斜边大于直角边 直角三角形两直角边的平方和等于斜边 的平方 直角三角形斜边的中线等于斜边的一半 直角三角形斜边的中线等于斜边的一半 边角关系 直角三角形中 30 的角所对的直角边等于斜边的一半 双垂图 双垂图中的线段关系双垂图中的线段关系 2 直角三角形的判定 有一个角是直角的三角形是直角三角形 有两个角互余的三角形是直角三角形 两边的平方和等于第三边 最长的边 的平方的三角形是直角三角形 2 已知直角三角形的两边长 会求第三边长已知直角三角形的两边长 会求第三边长 设直角三角形的两直角边为 a b 斜边长为 c 由勾股定理知道 变 222 cba 形得 因此已知直角三角形的任意 222222 bacacbbca 两边 利用勾股定理可求出第三条边 3 当直角三角形中含有当直角三角形中含有 30 30 与与 45 45 角时 已知一边 会求其它的边角时 已知一边 会求其它的边 1 含有 30 的直角三角形的三边的比为 1 2 3 2 含有 45 的直角三角形的三边的比为 2 1 1 3 等边三角形的边长为 则高为 面积为 a 2 3a 2 4 3 a 三 阅读与思考三 阅读与思考 希波克拉底月牙形希波克拉底月牙形 1 如左图 C 90 图中有阴影的三个半圆 的面积 S1 S2 S3 有什么关系 答 3 3 y 144 169 x 144 81 z 576 625 2 如图 C 90 ABC 的面积为 20 在 AB 的同侧 分别以 AB BC AC 为直 径作三个半圆 则阴影部分 即 希波克拉底月牙形 的面积为 勾股定理知识技能和题型归纳 二 勾股定理知识技能和题型归纳 二 题型题型 一 基础练习一 基础练习 要求熟练掌握 1 在 ABC 中 a b c 为三边长 1 当 A 90 时 三边关系 2 当 C 90 时 三边关系 3 当时 90 222 bca 2 如图 在 Rt ABC 中 C 90 BC a AC b AB c 1 已知 a 5 b 12 则 c 2 已知 b 6 c 10 则 a 3 已知 a 2 c 则 b 5 4 已知 a 15 b 20 则 ABC 的周长 5 已知 a 2 c 2 5 则 ABC 的面积 6 已知 a c 3 5 a c 32 则 b 7 已知 c 10 a b 3 4 则 a b 斜边上的高 3 已知 ABC 是直角三角形 AC 3 BC 5 求 AB 的长 4 在 ABC 中 C 90 AB 20 1 若 B 45 求 BC AC 2 若 A 60 求 BC AC 5 求下列图中未知数 x y z 的值 x y z z c b a B C A 4 4 二 与其它章节知识的联系二 与其它章节知识的联系 6 在 ABC 的三边 且 判断 ABC 的形状 cba 442222 bacbca 7 若 ABC 的三边满足条件 判断cba cbacba262410338 222 ABC 的形状 8 ABC 的三边 满足边的长是cba cabba 1612100 22 的解 求 ABC 中最大角的度数 5 5 3 5 2 xx x 9 用本章学过的知识判断直线与的位置关系 说明理由 33 xy3 3 1 xy 5 5 10 在 B 港有甲 乙两艘渔船 若甲船沿北偏东 60 方向以每小时 8 海里的速度 前进 乙船沿南偏东某个角度以每小时 15 海里的速度前进 2 小时后 甲船到 M 岛 乙船到 P 岛 两岛相距 34 海里 你知道乙船是沿哪个方向航行的吗 11 为美化环境 计划在某小区内用 30 平方米的草皮铺设一边长为 10 米的等腰三 角形绿地 请你求出这个等腰三角形绿地的另两边长 12 如图 铁路上 A B 两站 视为直线上两点 相距 25 千米 C D 为两个村庄 视为两个点 DA AB 于 A CB AB 于 B DA 15 千米 CB 10 千米 现 要在铁路上建设一个土特产收购站 E 使得 C D 两村到 E 的的距离相等 则 E 应建在距 A 多少千米处 6 6 G F E A C D B 13 在河 L 的同侧有两个仓库 A B 相距 1640 米 其中 A 距河 210 米 B 距河 570 米 现要在河岸上建一个货运码头 使得两仓库到码头的路程和最短 问 这个最 短路程是多少 码头应建在何处 三 典型数学思想 方法的训练三 典型数学思想 方法的训练 一一 方程思想进行计算方程思想进行计算 14 小明用一根长 30 厘米的绳子折成三段 围成一个三角形 他用尺子量了一下 其中一条线段的长度比较短线段长 7 厘米 比较长线段短 1 厘米 请你帮助小明判 断一下 他围成的三角形是直角三角形吗 15 已知 ABC 中 C 90 D E 分别为 BC AC 的中点 AD 5 BE 求 AB 的长 102 16 有一个水池 水面是一个边长为 10 尺的正方形 在水池正中央有一根芦苇 它高出水面 1 尺 如果把这根芦苇拉向水池一边的中点 它的顶端恰好到达池边的 水面 这个水池的深度与这根芦苇的长度分别为多少 17 如图所示 已知 在正方形 ABCD 中 BAC 的平分线交 BC 于 E 7 7 作 EF AC 于 F 作 FG AB 于 G 求的值 2 2 FG AB 二二 构造直角三角形构造直角三角形 18 已知 ABC 中 AB 8 AC 7 BC 6 求 ABC 的面积 19 已知 ABC 中 B 30 C 45 AB AC 2 求 BC 的长 2 20 已知 如图 AB AC 20 BC 32 D 为 BC 边上一点 DAC 90 求 BD 的长 21 1 写出三种用 构造斜边长为的直角三角形的方法 作长为的线77 段的方案 8 8 E C D C A B B C D C D AB 2 能否通过 构造直角边长为的直角三角形的方法 来作长为的线段 77 若能 写出三角形的三边 若不能 说明理由 3 在 1 中 作长为的线段 往往需要先作出其它长为无理数的线段才能7 求出长为的线段 对于正整数 能否通过构造两边均为有理数有理数的直角三角形7k 求出作长为的线段 若能 请写出此时三角形三边之间的关系 若不能 请说k 明理由 三三 勾股定理与变换勾股定理与变换 22 已知矩形 ABCD 沿直线 BD 折叠 使点 C 落在同一平面内 C 处 BC 与 AD 交于点 E AD 8 AB 4 求 DE 的长 23 2004 年荆州中考 一个直立的火柴盒在桌面上倒下 启迪人们发现了勾股 定理的一种证明方法 如图 火柴盒的一个侧面 ABCD 倒下到的位置 DCAB 连结 设 请利用四边形的面积证明勾股 CCcACbBCaAB BCC D 定理 9 9 1 2 3 1 2 2 1 h h h h 24 ABC 中 CD 是 AB 边上的中线 AC 8 BC 6 CD 5 判断 ABC 的形状 四四 面积法面积法 25 设表示三角形的三条高 如果 那么这个三角 321 hhh 形是什么三角形 26 证明 直角三角形的斜边与斜边上的高的和大于两直角边之和 27 已知 平面直角坐标系 xOy 内 点 A B C 0 3 3 3 0 3 0 1 判断的形状并说明理由 ABC 2 若点 D 的坐标为 求中 CD 边上的高 h 的值 3 4 BCD 1010 28 如图 已知直线与 x 轴 y 轴分别1 3 3 xy 交于点 A B 以线段 AB 为直角边在第一象限内 作等腰 Rt ABC BAC 90O 且 P 1 a 为坐标系中 的一个动点 1 求 ABC 的面积 ABC S 2 证明不论 a 取任何实数 BOP 的面积是一个常数 3 要使得 ABC 和 ABP 的面积相等 求实数 a 的值 五五 代数计算证明几何问题代数计算证明几何问题 29 求证 直角三角形中两直角边上的中线的平方和的 4 倍等于斜边平方的 5 倍 30 如图 ABC 中 C 90 M 是 CB 的中点 MD AB 于 D 1111 D MC A B F E CD BA 请说明三条线段 AD BD AC 总能构成一个直角三角形 31 正方形 ABCD 的边长为 4 E 为 AB 中点 AF 求证 CE EF AD 4 1 32 1 已知 如图 CD AB OA OB 求证 2222 BCADBDAC 2222 ACBCADBD 2 运用 1 的结论可以证明下列命题 已知 如图 设 M 是 ABC 内部任意一点 MD AB 于 G ME BC 于 K MF CA 于 H BD BE CE CF 求证 AD AF A B O D C 1212 六六 图形的割 补与拼图图形的割 补与拼图 33 已知 如图 四边形 ABCD 中 AB 3 BC 4 CD 5 AD 5 B 90 求四边形 ABCD 的面积 2 34 一块四边形的草地 ABCD 其中 A 60 B D 90 AB 20m CD 10m 求这块草地的面积 35 有十字形 它由五个全等的正方形组成 如图所示 你能把它切成三块 拼成 一个长是宽的 2 倍的长方形吗 先计算 再拼图 备用图 36 现有一张长为 6 5 宽为 2 的纸片 请你将它分割成 6 块 再合并成一个正方 形 要求先画出分割线 再拼成正方形并证明你的方法的正确性 第 34 题图 第 33 题图 1313 Q M C B A P 七七 运动 开放与探究运动 开放与探究 37 在 中 设当 C 90 时 根据勾股定理有ABC cBAbACaBC 若 不是直角三角形 请你类比勾股定理 试猜想 222 cba ABC 22 ba 与的关系 并证明你的结论 2 c 38 如图 M 是 Rt ABC 斜边 AB 的中点 P Q 分别在 AC BC 上 PM MQ 判断的数量关系并证明你的结论 PQAPBQ 39 ABC 中 AB AC 4 点 P 在 BC 边上运动 猜想的值是否 2 APPB PC 随点 P 位置的变化而变化 并证明你的猜想 1414 40 已知 矩形 ABCD 四个角是直角 为矩形内一点 如图 a 求证 2222 PDPBPCPA 探索 P 运动到 AD 边上 如图 b 矩形 ABCD 外 如图 c 时 结论是否仍然成 立 41 探索勾股数的规律 观察下列各组数 3 4 5 5 12 13 7 24 25 9 40 4