2011届高三数学精品复习之(8)三角函数的图象、性质

用心 爱心 专心 20112011 届高三数学精品复习之三角函数的图象 性质届高三数学精品复习之三角函数的图象 性质 1 研究一个含三角式的函数的性质时一般先将函数化为 y Asin x B 或 y Acos x B 的形式 注意 函数 y Asin x 的周期是函数 y Asin x 周 期的一半 举例 函数 2 cos 2 sin xxy在2 x时有最大值 则 的一个值是 A 4 B 2 C 3 2 D 4 3 解析 原函数可变为 2sin 2 1 xy 它在2 x时有最大值 即 22 2k 2 k 1 4 k Z 选 A 万不可分别去研究 2 sin x和 2 cos x的最大 值 巩固 函数y sin2xcos2x的最小正周期是 函数 y tanx cotx 的周期为 函数 y 2 1 sim 2 x 的周期为 2 在解决函数 y Asin x 的相关问题时 一般对 x 作 整体化 处理 如 用 五点法 作函数 y Asin x 的图象时 应取 x 0 2 2 3 2 等 而 不是取 x 等于它们 求函数 y Asin x 的取值范围时 应由 x 的范围确定 x 的 范围 再观察三角函数的图象图象 或单位圆上的三角函数线 注意 只需作出 y sin 把 x 视为一个整体 即 的草图 而无需画 y Asin x 的图象 求函数 y Asin x 0 的单调区间时 也是视 x 为一个整体 先指出 x 的范 围 再求 x 的范围 研究函数 y Asin x 的图象对称性时 则分别令 x k 2 和 x k k Z 从而得到函数 y Asin x 的图象关于直线 2 k x对称 关于点 k 0 对称 k Z 正 余弦函数图象的对 称轴平行于 Y 轴且过函数图象的最高点或最低点 而对称中心是图象与 平衡轴 的交点 对函数 y Acos x 也作完全类似的处理 举例 1 画出函数 6 2sin xy在 0 内的图象并指出其有无对称轴 对称中心 解析 作函数 6 2sin xy的图象不是先作函数xysin 的图象 再由它伸宿 平移 得到 而是直接描点作图 但不是在 0 内取x 0 4 2 4 3 这五点 而是 用心 爱心 专心 视 6 2 x为一个角 6 2 x 6 6 13 取 6 2 x 6 2 2 3 2 6 13 六个点 具体列表如下 6 2 x 6 2 2 3 2 6 13 x 0 6 12 5 3 2 12 11 y 2 1 10 10 2 1 描点 作图略 不难看出直线 x 6 x 3 2 都不是函数的对称轴 点 12 5 0 12 11 0 也都不是函数图象的对称中心 因为定义域不关于它们对称 所以无对称轴 对称中心 举例 2 已知函数xxxy 2 sin3cossin 1 指出函数的对称轴 对称中心 2 指出函数的单调递增区间 3 函数在 12 3 2 上的最大 最小值 并指出取 得最大 最小值时的 x 的值 解析 3 2sin 2 xy 2 3 1 对称轴 由 3 2 x k 2 得 122 k x Zk 对称中心 由 3 2 x k得 x 62 k 函数图象的对称中心为 62 k 2 3 Zk 2 由 3 2 x 2 k 2 2 k 2 得x 12 5 k 12 k Zk 12 5 k 12 k Zk 3 将 3 2 x视为一个角 12 3 2 x 6 画函数 sin y的草图 观察 6 时函数值的范围为 1 2 1 当且仅当 2 时 sin取得最小值 1 6 时 sin取得最大值 2 1 即x 12 5 时原函 数最小值 2 2 3 x 12 时原函数最大值 1 2 3 巩固 巩固 有以下四个命题 函数 f x sin 3 2x 的一个增区间是 12 5 12 11 若函数 f x sin x 为奇函数 则 为 的整数倍 对于函数 f x tg 2x 3 用心 爱心 专心 2 6 4 4 O x y 若 f x1 f x2 则 x1 x2必是 的整数倍 函数 y 2sin 2x 3 的图像关于点 3 0 对称 其中正确的命题是 填上正确命题的序号 迁移 函数 f x 2sin2 x 3sin2 x 1 0 若对任意 x R 恒有 f x1 f x f x2 求 x1 x2 的最小值 若对任意 x R 恒 f x f 1 试判断 f x 1 的奇偶性 若 f x 在 0 4 上是单调函数 求整数 的值 3 已知函数 y Asin x B A 0 0 的图象求表达式 一般先根据函数的最大值 M 最小值 m 最高 最低点的纵坐标 确定 A B A B M A B m 根据相邻的最大 最小值点间的距离 d 最高 最低点的横坐标之差的绝对值 确定 d 最后用最 高 或最低 点的坐标代入表达式确定 举例 已知函数 y Asin x A 0 0 0 0 0 0 0 0 个单位 则表达式中的 y x 应变为y m x m 图象横 纵 坐标变为原来的 n 倍 则表达式中的 x y 应变为 n x n y 关注 先伸缩后平移 与 先平移后伸缩 的结果是 不同的 P O 用心 爱心 专心 举例 已知函数 2 1 4 2 3 0 2 3 cossincos2 2 ffxxbxaxf且 函数f x 的图象经过怎样的平移才能使其对应的函数成为奇函数 函数f x 的图象经过怎样的平移后得到 y cosx 解析 由 2 1 4 2 3 0 ff 得 2 3 a b 1 降次 合二为一 后得 xf sin 2x 3 思路一 函数 y f x 的图象关于 6 0 对称 向右平移 6 个单位后图象关 于原点对称即为奇函数 平移的方法不唯一 因为函数 y f x 的图象对称中心不唯一 思路二 若函数f x 的图象向右平移 m 个单位得到函数 y sin 2x 2m 3 要使其为 奇函数 则 x 0 时函数值为 0 奇函数图象关于原点对称 即 2m 3 k Zk m 62 k Zk 随k的取值不同可以得到不同的 m 的值 回答其中任一个即可 运算 量虽大一些 但更具一般性 xf sin 2x 3 cos 6 2x cos 2x 6 cos 2 x 12 方案一 先左移 12 x 变成 x 12 得到函数 y cos2x 再纵坐标不变横坐标变为原来的 2 倍 x 变成 2 x 得到函 数 y cosx 方案二 先纵坐标不变横坐标变为原来的 2 倍 x 变成 2 x 得到函数 y cos x 6 再左 移 6 x 变成 x 6 得到函数 y cosx 注 图象变换的问题要特别注意题目要求由 谁变到谁 不要搞错了方向 变换的源头和结果需化为同名的三角函数且角变量的 系数同号 用诱导公式 才能实施 如果已知变换的结果探究变换的源头 可以 倒行逆施 巩固 1 把函数y cosx 3sinx的图象向左平移m个单位 m 0 所得的图象关于y轴对 称 则m 的最小值是 A 6 B 3 C 3 2 D 6 5 巩固 2 将函数 xf Acos x A 0 0 B 用心 爱心 专心 sinA sinB sin B C sinA cos B C cosA cos 2 CB sin 2 A sin 2 CB cos 2 A ABC 中 cosA cosB 0 cosB cosC 0 cosA cosC 0 在锐角三角形 ABC 中 sinA cosB sinB cosC sinC cosA 等 若 A B 是钝角三角形两锐角 则 sinA cosB sinB cosA 等等 举例 在 ABC中 3cos B C cos 2 A 的取值范围是 解析 原式 AAsincos3 2sin A 3 A 0 A 3 3 3 4 sin A 3 2 3 1 即原式的取值范围是 2 3 巩固 1 在锐角三角形 ABC 中 设 x sinAsinB y cosAcosB 则 x y 的大小关系是 A x y B xy 巩固 2 在ABC 中 已知C BA sin 2 tan 给出以下四个论断 1cottan BA 2sinsin0 BA 1cossin 22 BA CBA 222 sincoscos 其中正确的是 A B C D 简答简答 1 1 巩固 2 2 4 2 2 巩固 迁移 f x 2sin 2 x 6 由 f x1 f x f x2 知 x1 x2分别是函数 y f x 的最小值 最大