2011届高考数学权威预测 21圆锥曲线中的最值问题和范围问题（2） 新人教A版

用心 爱心 专心 1 第二十一讲第二十一讲 圆锥曲线中的最值和范围问题 二 圆锥曲线中的最值和范围问题 二 例例 6 6 椭圆 E 的中心在原点 O 焦点在x轴上 其离心率 3 2 e 过点 C 1 0 的直 线l与椭圆 E 相交于 A B 两点 且满足点 C 分向量BA的比为 2 1 用直线l的斜率 k k 0 表示 OAB 的面积 2 当 OAB 的面积最大时 求椭 圆 E 的方程 解 1 设椭圆E的方程为1 2 2 2 2 b y a x a b 0 由e 3 2 a c a2 3b2 故椭圆方程x2 3y2 3b2 设A x1 y1 B x2 y2 由于点C 1 0 分向量AB的比为 2 0 3 2 1 3 2 21 21 yy xx 即 21 21 2 1 21 yy xx 由 1 33 222 xky byx 消去y整理并化简得 3k2 1 x2 6k2x 3k2 3b2 0 由直线l与椭圆E相交于A x1 y1 B x2 y2 两点得 13 33 13 6 0 2 22 21 2 2 21 k bk xx k k xx ABC的内分点 是恒成立 点 而S OAB 1 2 3 1 2 3 2 3 2 2 1 2 1 2222221 xkxkyyyyy 由 得 x2 1 13 2 2 k 代入 得 S OAB 0 13 3 2 k k k 2 因S OAB 2 3 32 3 1 3 3 13 3 2 k k k k 当且仅当 3 3 kS OAB取得最大值 此时 x1 x2 1 又 3 2 21 xx 1 x1 1 x2 2 用心 爱心 专心 2 y O 1 A 2 B 2 A 1 B M 1 F 0 F 2 F x 将x1 x2及k2 3 1 代入 得 3b2 5 椭圆方程x2 3y2 5 例例 7 7 设直线l过点P 0 3 和椭圆 xy 22 94 1 顺次交于A B两点 若APPB 试 求 的取值范围 解 当直线l垂直于x轴时 可求得 1 5 当l与x轴不垂直时 设 2211 yxByxA 直线l的方程为 3 kxy 代入椭 圆方程 消去y得 0455449 22 kxxk 解之得 49 59627 2 2 2 1 k kk x 因为椭圆关于y轴对称 点P在y轴上 所以只需考虑0 k的情形 当0 k时 49 59627 2 2 1 k kk x 49 59627 2 2 2 k kk x 所以 1 2 x x 5929 5929 2 2 kk kk 5929 18 1 2 kk k 2 5 929 18 1 k 由 049180 54 22 kk 解得 9 5 2 k 所以 5 1 5 929 18 11 2 k 综上 1 1 5 例例 8 8 我们把由半椭圆1 2 2 2 2 b y a x 0 x 与半椭圆 1 2 2 2 2 c x b y 0 x 合成的曲线称作 果圆 其中 222 cba 0 a 0 cb 如图 设点 0 F 1 F 2 F是相应椭圆的焦点 1 A 2 A和 1 B 2 B是 果圆 与x y轴的交点 M是线段 21A A的中点 用心 爱心 专心 3 1 若 012 F FF 是边长为 1 的等边三角形 求该 果圆 的方程 2 设P是 果圆 的半椭圆1 2 2 2 2 c x b y 0 x 上任意一点 求证 当PM取得 最小值时 P在点 12 BB 或 1 A处 3 若P是 果圆 上任意一点 求PM取得最小值时点P的横坐标 解 1 2222 012 0 00F cFbcFbc 22222 0212 121F FbccbFFbc 于是 2222 37 44 cabc 所求 果圆 方程为 22 4 1 0 7 xyx 22 4 1 0 3 yxx 2 设 P x y 则 2 2 2 2 y ca xPM 22 22 2 1 0 4 bac xac xbcx c 01 2 2 c b 2 PM的最小值只能在0 x或cx 处取到 即当PM取得最小值时 P在点 12 BB 或 1 A处 3 21 MAMA 且 1 B和 2 B同时位于 果圆 的半椭圆 22 22 1 0 xy x ab 和半椭圆 22 22 1 0 yx x bc 上 所以 由 2 知 只需研究P位于 果圆 的半椭圆 22 22 1 0 xy x ab 上的情形即可 2 2 2 2 y ca xPM 2 222 2 2 2 2 2 2 4 4 2 c caaca b c caa x a c 当 2 2 2 aac xa c 即2ac 时 2 PM的最小值在 2 2 2 c caa x 时取到 此时P的横坐标是 2 2 2 c caa 当a c caa x 2 2 2 即ca2 时 由于 2 PM在ax 时是递减的 2