2011届高三数学一轮复习 测试题（平面向量）

用心 爱心 专心 1 20112011 届高三数学一轮复习测试题届高三数学一轮复习测试题 平面向量 平面向量 本试卷分第 卷 选择题 和第 卷 非选择题 两部分 满分 150 分 考试时间 120 分钟 第 卷 选择题 共 60 分 一 选择题 本大题共 12 个小题 每小题 5 分 共 60 分 在每小题给出的四个选项中 只有一项是符号题目要求的 1 08 全国 在 ABC 中 c b 若点 D 满足 2 则 AB AC BD DC AD A b c B c b 2 3 1 3 5 3 2 3 C b c D b c 2 3 1 3 1 3 2 3 答案 A 解析 AD AB BD AB 2 3BC c b c b c 故选 A 2 3 2 3 1 3 2 已知 O A M B 为平面上四点 且 1 1 2 则 OM OB OA A 点 M 在线段 AB 上 B 点 B 在线段 AM 上 C 点 A 在线段 BM 上 D O A M B 四点共线 答案 B 解析 OM OB OA OA OB OA OA 则 即 OM OA OB OA AM AB 1 2 点 M 在线段 AB 的延长线上 即点 B 在线段 AM 上 3 文 已知 a b 均为非零向量 命题 p a b 0 命题 q a 与 b 的夹角为锐角 则 p 是 q 成立的 A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充分必要条件 D 既不充分也不必要条件 答案 B 解析 当 a 与 b 夹角为 0 时 a b 0 p q 当 a 与 b 夹角 为锐角时 a b a b cos 0 q p 理 已知 a 1 3 b 1 1 c a b 若 a 和 c 的夹角是锐角 则 的取值范围是 A B 5 2 5 2 C 0 D 0 5 2 0 答案 D 解析 由条件得 c 1 3 从而 Error Error 0 5 2 0 用心 爱心 专心 2 4 若 a b 2 且 a b a 则 a 与 b 的夹角是 2 A B C D 6 4 3 2 答案 B 解析 由 a b a 得 a b a 0 a2 a b 0 a b 2 2 a b cos a b 0 2 cos a b 0 a b a b 2 2 4 5 文 已知向量 a 2 2 b 5 k 若 a b 不超过 5 则 k 的取值范围是 A 4 6 B 6 4 C 6 2 D 2 6 答案 C 解析 a b 3 k 2 5 k 2 2 42 6 k 2 选 C k 2 2 32 理 已知 a m n b p q 且 m n 5 p q 3 则 a b 的最小值为 A 4 B 4 C 6 D 8 2 答案 B 解析 由基本不等式知 x2 y2 x y 2 1 2 a b m p 2 n q 2 m p n q 8 4 2 2 2 22 当 m p n q 4 时等号成立 6 半圆的直径 AB 4 O 为圆心 C 是半圆上不同于 A B 的任意一点 若 P 为半径 OC 上的动点 则 的最小值是 PA PB PC A 2 B 0 C 2 D 1 答案 C 解析 如图 2 2 2 2 2 PA PB PC PO PC PO PC PO PC 2 等号在 即 P 为 OC 的中点时成立 PO PC 7 已知两点 M 2 0 N 2 0 点 P 为坐标平面内的动点 满足 0 则动点 P x y 的轨迹方程为 MN MP MN NP A y2 8x B y2 8x C y2 4x D y2 4x 答案 B 解析 MN MP MN NP cos MN MP MN NP cos MN MP NP 用心 爱心 专心 3 0 为与的夹角 MN NP 0 cos 0 MN MP NP cos MP NP MP PK 如下图 又 MO 2 方程为 y2 8x 选 B 8 文 在 ABC 中 AB BC 2 A 如果不等式 t 恒成立 则 3 2 BA BC AC 实数 t 的取值范围是 A 1 B 1 1 2 C 1 D 0 1 1 2 答案 B 解析 t 2 2t t2 2 2 在 ABC 中 易知 BA BC AC BA BA BC BC AC AC 1 B 30 故得 2t2 3t 1 0 解得 t 或 t 1 故选 B 1 2 理 在 ABC 中 若对任意 k R 有 k 则 ABC 的形状是 BA BC AC A 等腰三角形 B 直角三角形 C 等腰三角形或直角三角形 D 等腰直角三角形 答案 B 解析 原不等式两边平方可化为 2 2k k2 2 2 k R 4 BA BA BC BC AC BC 2 4 2 2 2 0 2cos2B 2 2 0 sinB 而 sinB 表示 BC BA BA AC BC BA BA AC BA AC BA 边上的高长 所以有 sinB 从而 AC 即为高 即 C 90 故选 B BA AC 9 已知向量 a 2 3 b 1 2 若 ma b 与 a 2b 平行 则实数 m 等于 A B C 2 D 2 1 2 1 2 答案 B 解析 ma b 2m 1 3m 2 a 2b 4 1 若 ma b 与 a 2b 平行 则 3m 2 2m 1 4 即 2m 1 12m 8 解之得 m 1 2 10 已知 a 2 b 0 且关于 x 的方程 x2 a x a b 0 有实根 则 a 与 b 的夹角 的取 值范围是 用心 爱心 专心 4 A B 6 3 2 C D 3 6 2 答案 C 解析 由条件得 a 2 4a b 0 即 cos 所以 a 与 b 的夹角 的取 a b a b a 2 4 a b 1 2 值范围是 故选 C 3 11 已知等腰直角 ABC B 90 AB 2 点 M 是 ABC 内部或边界上一动点 N 是边 BC 的中点 则 的最大值为 AN AM A 4 B 5 C 6 D 7 答案 C 解析 如图 cos MAN AQ 显然当 M 与 C 重合时 AQ 最 AN AM AN AM 5 大 当 M 点与 C 点重合时 取得最大值 AM AN cos CAN r 5 2 2 r 2 2 1 2 5 2 2 3 10 10 cos AC AN AC AN AC AN 2 6 故选 C 25 3 10 10 12 数列 an 中 a1 1 a5 13 an 2 an 2an 1 数列 bn 中 b2 6 b3 3 bn 2bn b 在直角坐标平面内 已知点列 P1 a1 b1 P2 a2 b2 2n 1 P3 a3 b3 Pn an bn 则向量 P2009P2010的坐标为 P1P2 P3P4 P5P6 A 3015 8 1 2 1005 1 B 3012 8 1 2 1005 1 C 3015 8 1 2 2010 1 D 3018 8 1 2 2010 1 答案 C 解析 依题意得 an 成等差数列 由 a5 a1 4d 1 4d 13 得 d 3 bn 成等比数列 由 q a2 a1 b2 b1 a4 a3 b4 b3 a6 a5 b6 b5 b3 b2 3 6 1 2 P1P2 P3P4 P5P6 P2009P2010 a2010 a2009 b2010 b2009 用心 爱心 专心 5 an 1 an d 3 bn 1 bn bn q 1 bn 1 2 P2009P2010 P1P2 P3P4 1005d 1 2 b1 b3 b2009 3015 8 1 2 2010 1 第 卷 非选择题 共 90 分 二 填空题 本大题共 4 个小题 每小题 4 分 共 16 分 把正确答案填在题中横线上 13 设 F1是椭圆 y2 1 的左焦点 O 为坐标原点 点 P 在椭圆上 则 的取值 x2 4 PF1 PO 范围是 答案 0 4 2 3 解析 设 P x y 则 x y x y PF1 PO 3 x2 x y2 x2 x 1 x2 33 1 4 x2 1 x 1 2 3 43 3 2 2 x 2 2 3 4 x 2 3 3 所求范围为 0 4 2 3 14 08 陕西 关于平面向量 a b c 有下列三个命题 若 a b a c 则 b c 若 a 1 k b 2 6 a b 则 k 3 非零向量 a 和 b 满足 a b a b 则 a 与 a b 的夹角为 60 其中真命题的序号为 写出所有真命题的序号 答案 解析 a b a c 时 a b c 0 a b c 不一定有 b c 错 a 1 k b 2 6 由 a b 知 1 6 2k 0 k 3 故 对 也可以由 a b 存在实数 使 a b 即 1 k 2 6 2 6 Error Error k 3 非零向量 a b 满足 a b a b 则三向量 a b a b 构成正三角形如图 由向量加法的平行四边形法则知 a b 平分 BAC a b 与 a 的夹角为 30 错 15 设向量 a 与 b 的夹角为 a 2 1 a 3b 5 4 则 sin 答案 10 10 解析 a 2 1 a 3b 5 4 用心 爱心 专心 6 b 1 1 cos a b a b 3 2 5 3 10 又 0 sin 1 cos2 10 10 16 文 已知等差数列 an 的前 n 项和为 Sn 若 a100 a101 且 A B C 三点 OB OA OC 共线 该直线不过点 O 则 S200等于 答案 100 解析 由条件可得 a100 a101 1 即 a1 a200 1 从而 S200 100 故填 100 理 设 P Q 为 ABC 内的两点 且 则 ABP 的面积 AP 2 5AB 1 5AC AQ 2 3AB 1 4AC 与 ABQ 的面积之比为 答案 4 5 分析 ABP 与 ABQ 有公共边 AB 故面积之比为 P Q 到 AB 边距离之比 又 与 AP 是以 为基底的向量 故此比可转化为边 AC 上的比例关系 AQ AB AC 解析 根据题意 设 则由平行四边形法则得 于是 AM 2 5AB AN 1 5AC AP AM AN NP AB 所以 同理可得 故 S ABP S ABC AN AC 1 5 S ABQ S ABC 1 4 S ABP S ABQ 4 5 三 解答题 本大题共 6 个小题 共 74 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 17 本小题满分 12 分 文 已知 a cos2 sin b 1 2sin 1 2 a b 求 cos 的值 2 5 4 解析 a b cos2 sin 2sin 1 2cos2 1 2sin2 sin 1 sin 由 a b 得 1 sin sin 2 5 2 5 3 5 cos 21 sin2 4 5 cos cos sin 4 2 2 2 2 2 2 4 5 2 2 3 5 7 2 10 理 已知向量 a sinx 1 b cosx 3 2 1 当 a b 时 求 cos2x 3sin2x 的值 2 求 f x a b b 的最小正周期和单调递增区间 解析 1 由 a b sinx cosx 0 3 2 tanx 2 3 cos2x 3sin2x cos2x 6sinxcosx sin2x cos2x 1 6tanx 1 tan2x 用心 爱心 专心 7 1 6 2 3 1 2 3 2 45 13 2 a sinx 1 b cosx 3 2 a b sinx cosx 1 2 f x a b b sinx cosx cosx 3 4 sin2x cos2x sin 最小正周期为 由 2k 2x 2k 得 1 2 5 4 2 2 2x 4 5 4 2 4 2 k x k 3 8 8 故 f x 的单调递增区间为 k Z k 3 8 k 8 18 本小题满分 12 分 设函数 f x m n 其中 m 2cosx 1 n cosx sin2x x R 3 1 求 f x 的最小正周期与单调减区间 2 在 ABC 中 a b c 分别是角 A B C 的对边 且 f A 2 求 A 若 b 1 ABC 的面积为 求的值 3 2 b c sinB sinC 解析 f x m n 2cos2x sin2x 3 1 cos2x sin2x 2sin 1 3 2x 6 1 函数 f x 的最小正周期 T 令 2k 2x 2k k Z 2 6 3 2 2k 2x 2k k Z 3 4 3 k x k k Z 6 2 3 f x 的单调减区间为 k k k Z 6 2 3 2 f A 2sin 2A 1 2 6 sin 2A 6 1 2 0 A 2A A 6 5 6 3 S bcsinA 1 c c 2 1 2 1 2 3 2 3 2 在 ABC 中 由余弦定理得 a2 b2 c2 2bc cosA 1 4 2 1 2 3 1 2 a 3 用心 爱心 专心 8 由正弦定理得 2 b sinB c sinC a sinA 3 3 2 b 2sinB c 2sinC 2 b c sinB sinC 2sinB 2sinC sinB sinC 19 本小题满分 12 分 文 已知向量 a sin 1 b 1 cos 0 1 若 a b 求 2 求 a b 的最大值 解析 1 若 a b 则 sin cos 0 由此得 tan 1 0 3 4 2 由 a sin 1 b 1 cos 得 a b sin 1 1 cos a b sin 1 2 1 cos 2 3 2 sin cos 3 2 2sin 4 当 sin 1 时 a b 取得最大值 即当 时 a b 的最大值为 1 4 42 理 设计某项工程 需要等可能地从 4 个向量 a 2 3 b 1 5 c 4 3 d 8 1 中 任选两个来计算数量积 若所得数量积为随机变量 1 求随机变量 19 的概率 2 求随机变量 的分布列和期望 E 解析 1 a b 2 1 3 5 17 a c 2 4 3 3 17 a d 2 8 3 1 19 b c 1 4 5 3 19 b d 1 8 5 1 13 c d 4 8 3 1 35 P 19 P 19 P 17 P 13 数量积 19 的概率为 2 6 2 6 1 6 5 6 5 6 2 数量积 可能取值为 13 17 19 35 P 13 P 17 1 6 2 6 1 3 P 19 P 35 2 6 1 3 1 6 数量积 的分布列为 13171935 P 1 6 1 3 1 3 1 6 数量积 的期望 E 13 17 19 35 20 1 6 1 3 1 3 1 6 20 本小题满分 12 分 若 a b 是两个不共线的非零向量 t R 1 若 a b 起点相同 t 为何值时 a tb a b 三向量的终点在一直线上 1 3 2 若 a b 且 a 与 b 夹角为 60 t 为何值时 a tb 的值最小 解析 1 设 a tb m m R a 1 3 a b 化简得a b 2 3m 1 m 3 t a 与 b 不共线 Error Error Error Error 用心 爱心 专心 9 t 时 a tb a b 的终点在一直线上 1 2 1 3 2 a tb 2 a tb 2 a 2 t2 b 2 2t a b cos60 1 t2 t a 2 当 t 时 a tb 有最小值 a 1 2 3 2 21 本小题满分 12 分 已知向量 a b c 是同一平面内的三个向量 其中 a 1 2 1 若 c 2 且 a c