北京市朝阳区2016高三一模数学(理)

北京市朝阳区高三年级第一次综合练习 数学试卷 理工类 2016 3 考试时间 120 分钟 满分 150 分 本试卷分为选择题 共 40 分 和非选择题 共 110 分 两部分 第一部分 选择题第一部分 选择题 共共 40 分 分 一 选择题 本大题共 8 小题 每小题 5 分 共 40 分 在每小题给出的四个选项中 选出符合题 目要求的一项 1 为虚数单位 复数 i 2i 1 i A B C D 1 i 1 i 1 i 1 i 2 已知全集 函数的定义域为 集合 则下列结 U R ln 1 yx M 2 0Nx xx 论正确的是 A B MNN U MN C D MNU U MN 3 是 的 ab ee ab A 充分而不必要条件 B 必要而不充分条件 C 充分必要条件 D 既不充分也不必要条件 4 执行如图所示的程序框图 输出的值为S A 42 B 19 C 8 D 3 5 在中 角 A B C 的对边分别为ABC a b c 若 则角 B 的值为 222 tan3acbBac A B 3 6 C D 2 33 或 5 66 或 开始 1 1iS 4 i 1ii 2SSi 输出 S 结束 否 是 第 4 题图 6 某工厂一年中各月份的收入 支出情况的统计如图所示 下列说法中错误的是 A 收入最高值与收入最低值的比是3 1 B 结余最高的月份是 7 月 C 1 至 2 月份的收入的变化率与 4 至 5 月份的收入的变化率相同 D 前 6 个月的平均收入为 40 万元 注 结余 收入 支出 万元 月 O 2 O 34 30 1 10 2 0 568 O 9107 1 11 5 12 40 60 5 0 70 90 8 0 收入 支出 7 某三棱锥的三视图如图所示 则该三棱锥的体积是 A B 1 3 1 2 C D 1 3 2 8 若圆与曲线的没有公共点 则半径的取值范围是 222 1 xyr 1 1xy r A B C D 02r 11 0 2 r 03r 13 0 2 r 第二部分 非选择题第二部分 非选择题 共共 110 分 分 二 填空题 本大题共 6 小题 每小题 5 分 共 30 分 把答案填在答题卡上 9 二项式的展开式中含的项的系数是 用数字作答 25 1 x x 4 x 10 已知等差数列 中 则数列的通项公式 n an N1 1 a 4 7a n a n a 2610410n aaaa 第 7 题图 正视图 侧视图 俯视图 21 1 1 11 在直角坐标系中 曲线的方程为 曲线的参数方程为xOy 1 C 22 2xy 2 C 为参数 以原点为极点 轴非负半轴为极轴 建立极坐标系 则曲 2 xt t yt Ox 线与的交点的极坐标为 1 C 2 C 12 不等式组所表示的平面区域为 D 若直线与区域 D 有公 0 290 x yx xy 1 ya x 共点 则实数 a 的取值范围是 13 已知为所在平面内的一点 且 若点在的内部 不含边界 MABC 1 4 AMABnAC MABC 则实数的取值范围是 n 14 某班主任在其工作手册中 对该班每个学生用十二项能力特征加以描述 每名学生的第 项能力特征用表示 i 1 2 12i i x 0 1 i i x i 如果某学生不具有第项能力特征 如果某学生具有第项能力特征 若学生的十二项能力特征分别记为 则 A B 1212 Aa aa 1212 Bb bb A B 两名学生的不同能力特征项数为 用表示 如果两个 ii a b 同学不同能力特征项数不少于 那么就说这两个同学的综合能力差异较大 若该班有 名学生 73 两两综合能力差异较大 则这 名学生两两不同能力特征项数总和的最小值为 3 三 解答题 本大题共 6 小题 共 80 分 解答应写出文字说明 演算步骤或证明过程 15 本小题满分 13 分 已知函数 2 13 sin3cos 222 x f xx 0 若 求的单调递增区间 1 f x 若 求的最小正周期的表达式并指出的最大值 1 3 f f xTT 16 本小题满分 13 分 为了解学生暑假阅读名著的情况 一名教师对某班级的所有学生进行了调查 调查结果如下 表 从这班学生中任选一名男生 一名女生 求这两名学生阅读名著本数之和为 4 的概率 若从阅读名著不少于 4 本的学生中任选 4 人 设选到的男学生人数为 求随机变X 量的分布列和数学期望 X 试判断男学生阅读名著本数的方差与女学生阅读名著本数的方差的大小 只需 2 1 s 2 2 s 写出结论 17 本小题满分 14 分 如图 在直角梯形中 直角 11 AAB B 1 90A AB 11 ABAB 111 22ABAAAB 梯形通过直角梯形以直线为轴旋转得到 且 11 AAC C 11 AAB B 1 AA 使得平面平面 为线段的中点 为线 11 AAC C 11 AAB BMBCP 段上的动点 1 BB 求证 11 ACAP 当点是线段中点时 求二面角的余 P 1 BBPAMB 弦值 是否存在点 使得直线 平面 请说明理由 P 1 ACAMP 18 本小题满分 13 分 已知函数 f x ln xax a R 求函数的单调区间 f x 当时 都有成立 求的取值范围 1 2x 0f x a 人数 本数 性别 12345 男生14322 女生01331 A M P C B A1 C1 B1 试问过点可作多少条直线与曲线相切 并说明理由 13 P yf x 19 本小题满分 14 分 已知点和椭圆 2 1 P C 22 1 42 xy 设椭圆的两个焦点分别为 试求的周长及椭圆的离心率 1 F 2 F 12 PFF 若直线与椭圆交于两个不同的点 直线 与 l220 0 xymm CABPAPB 轴分别交于 两点 求证 xMNPMPN 20 本小题满分 13 分 已知等差数列的通项公式 设数列为等比数列 且 n a31 n ann N n b n nk ba 若 且等比数列的公比最小 11 2 ba n b 写出数列的前 4 项 n b 求数列的通项公式 n k 证明 以为首项的无穷等比数列有无数多个 12 5ba n b 北京市朝阳区 2015 2016 学年度第二学期高三年级统一考试 数学答案 理工类 2016 3 一 选择题 满分一 选择题 满分 40 分 分 题号12345678 答案DDABCDAC 二 填空题 满分二 填空题 满分 30 分 分 题号91011121314 答案10 21 n an 3 411 nn 2 4 3 4 3 0 4 12 1 ii i ab 22 注 两空的填空 第一空 3 分 第二空 2 分 三 解答题 满分 80 分 15 本小题满分 13 分 解 当时 1 2 13 sin3cos 222 x f xx 13 sincos 22 xx sin 3 x 令 22 232 kxkk Z 解得 22 66 kxkk Z 所以的单调递增区间是 7 分 f x 2 2 66 kkk Z 由 2 13 sin3cos 222 x f xx 13 sincos 22 xx sin 3 x 因为 所以 1 3 f sin 1 33 则 2 332 n n Z 解得 1 6 2 n 又因为函数的最小正周期 且 f x 2 T 0 所以当时 的最大值为 13 分 1 2 T4 16 本小题满分 13 分 解 设事件 从这个班级的学生中随机选取一名男生 一名女生 这两名学生阅A 读本数之和为 4 由题意可知 4 分 1 3 4 17 12 896 P A 阅读名著不少于 4 本的学生共 8 人 其中男学生人数为 4 人 故的取值为X 0 1 2 3 4 由题意可得 4 4 4 8 1 0 70 C P X C 13 44 4 8 168 1 7035 C C P X C 22 44 4 8 3618 2 7035 C C P X C 31 44 4 8 168 3 7035 C C P X C 4 4 4 8 1 4 70 C P X C 所以随机变量的分布列为X X01234 P 1 70 8 35 18 35 8 35 1 70 随机变量的均值 10 分X 11636161 012342 7070707070 EX 13 分 2 1 s 2 2 s 17 本小题满分 14 分 解 由已知 且平面平面 11 90A ABA AC 11 AAC C 11 AAB B 所以 即 90BAC ACAB 又因为且 1 ACAA 1 ABAAA 所以平面 AC 11 AAB B 由已知 所以平面 11 ACAC 11 AC 11 AAB B 因为平面 AP 11 AAB B 所以 4 分 11 ACAP 由 可知两两垂直 1 AC AB AA 分别以为轴 轴 轴建立空间直角坐标系如图所示 1 AC AB AAxyz 由已知 11111 222ABACAAABAC 所以 0 0 0 0 2 0 2 0 0 ABC 1 0 1 2 B 1 0 0 2 A 因为为线段的中点 为线段的中点 所以MBCP 1 BB 3 1 1 0 0 1 2 MP 易知平面的一个法向量 ABM 0 0 1 m 设平面的一个法向量为 APM x y z n 由 得 0 0 AM AP n n 0 3 0 2 xy yz 取 得 2y 2 2 3 n 由图可知 二面角的大小为锐角 PAMB 所以 33 17 cos 1717 m n m n mn 所以二面角的余弦值为 9 分PAMB 3 17 17 存在点 使得直线 平面 P 1 ACAMP 设 且 则 111 P x y z 1 BPBB 0 1 111 2 0 1 2 x yz 所以 所以 111 0 2 2xyz 0 2 2 AP 设平面的一个法向量为 AMP 0000 xyz n y x A M P C B A1 C1 B1 z 由 得 0 0 0 0 AM AP n n 00 00 0 2 20 xy yz 取 得 显然不符合题意 0 1y 0 2 1 1 2 n0 又 若 平面 则 1 2 0 2 AC 1 ACAMP 10 AC n 所以 所以 10 2 20AC n 2 3 所以在线段上存在点 且时 使得直线 平面 14 分 1 BBP 1 2 BP PB 1 ACAMP 18 本小题满分 13 分 解 函数的定义域为 f x 0 x x 1 axa fx xx 1 当时 恒成立 函数在上单调递增 0a 0fx f x 0 2 当时 令 得 0a 0fx xa 当时 函数为减函数 0 xa 0fx f x 当时 函数为增函数 xa 0fx f x 综上所述 当时 函数的单调递增区间为 0a f x 0 当时 函数的单调递减区间为 单调递增区间为 0a f x 0 a a 4 分 由 可知 1 当时 即时 函数在区间上为增函数 1a 1a f x 1 2 所以在区间上 显然函数在区间上恒大于零 1 2 min 1 1f xf f x 1 2 2 当时 即时 函数在上为减函数 在12a 21a f x 1a 2a 上为增函数 所以 min ln f xfaaaa 依题意有 解得 所以 min ln 0f xaaa ea 21a 3 当时 即时 在区间上为减函数 2a 2a f x 1 2 所以 min 2 2 ln2f xfa 依题意有 解得 所以 min 2 ln20f xa 2 ln2 a 2 2 ln2 a 综上所述 当时 函数在区间上恒大于零 8 分 2 ln2 a f x 1 2 设切点为 则切线斜率 000 ln x xax 0 1 a k x 切线方程为 000 0 ln 1 a yxaxxx x 因为切线过点 则 1 3 P 000 0 3 ln 1 1 a xaxx x 即 0 0 1 ln1 20ax x 令 则 1 ln1 2g xax x 0 x 22 11 1 a x g xa xxx 1 当时 在区间上 单调递增 0a 0 1 0g x g x 在区间上 单调递减 1 0g x g x 所以函数的最大值为 g x 1 20g 故方程无解 即不存在满足 式 0g x 0 x 因此当时 切线的条数为 0a 0 2 当时 在区间上 单调递减 0a 0 1 0g x g x 在区间上 单调递增 1 0g x g x 所以函数的最小值为 g x 1 20g 取 则 2 1 1 ee a x 22 11 1 2 1e1 2e0 aa g xaa a 故在上存在唯一零点 g x 1 取 则 2 1 2 1 e e a x 22 11 2 2 1e1 2e24 aa g xaaa a 2 1 2 e2 1 a a a 设 则 2 1 1 tt a e2 t u tt e2 t u t 当时 恒成立 1t e2e20 t u t 所以在单调递增 恒成立 所以 u t 1 1 e20u tu 2 0g x 故在上存在唯一零点 g x 0 1 因此当时 过点 P存在两条切线 0a 13 3 当时 显然不存在过点 P的切线 0a f xx 13 综上所述 当时 过点 P存在两条切线 0a 13 当时 不存在过点 P的切线 13 分0a 13 19 本小题满分 14 分 解 由题意可知 所以 2 4a 2 2b 2 2c 因为是椭圆上的点 由椭圆定义得 2 1 PC 12 4PFPF 所以的周长为 12 PFF 42 2 易得椭圆的离心率 4 分 2 2 c e a 由得 22 220 1 42 xym xy 22 42 280 xmxm 因为直线 与椭圆有两个交点 并注意到直线 不过点 lClP 所以解得或 22 84 4 8 0 0 mm m 40m 04m 设 则 11 A x y 22 B xy 12 2 2 xxm 2 12 8 4 m x x 1 1 2 2 xm y 2 2 2 2 xm y 显然直线与的斜率存在 设直线与的斜率分别为 PAPBPAPB 1 k 2 k 则 12 12 12 11 22 yy kk xx 12 21 12 22 1 2 1 2 22 2 2 xmxm xx xx 1221 12 22 2 22 2 2 2 2 xmxxmx xx 1212 1212 2 2 4 2 24 2 2 2 2 x xmxxm x xxx 2 1212 2 2 8 4 2 28 216 2 4444 2 2 2 mmmm x xxx 2 1212 2 2 8 4 2 28 216 2 8 2 2 mmmm x xxx 22 1212 2 216 22 28 28 216 2 0 8 2 2 mmmm x xxx 因为 所以 12 0kk PMNPNM 所以 14 分PMPN 20 本小题满分 13 分 解 观察数列的前若干项 2 5 8 11 14 17 20 23 26 29 32 35 n a 因为数列是递增的整数数列 且等比数列以 2 为首项 显然最小公比不能是 最小公 n a 5 2 比是 4 以