向量与三角综合题选

向量与三角综合题选向量与三角综合题选 1 将函数 y f x cosx 的图象按向量 a 1 平移 得到函数 y 2sin2x 的图象那么函 4 数 f x 可以是 D A cosxB 2cosxC sinxD 2sinx 2 已知 且 a sin cos b sin cos 0 则 a b a b0 2 3 已知向量求且 2 0 2 sin 2 cos 2 3 sin 2 3 cos x xx bxxa baba 及 若 3 2 2 f xa bab 的最小值是求的值 解 解 1 x x x x xba2cos 2 sin 2 3 sin 2 cos 2 3 cos xx x xxba 222 cos22cos22 2 sin 2 3 sin 2 3 cos 2 3 cos xbaxxcos2 0cos 2 0 2 22 21 cos2 cos42cos xxfxxxf即 1cos0 2 0 xx 当时 当县仅当时 取得最小值 1 这与已知矛盾 0 0cos x xf 当时 取得最小值 由已知得 xcos 10当且仅当时 xf 2 21 2 1 2 3 21 2 解得 当时 取得最小值 由已知得1cos 1 x当且仅当时 xf 41 3 1 4 2 解得 这与相矛盾 综上所述 为所求 8 5 1 2 1 4 平面直角坐标系内有点 P 4 4 1 cos cos 1 xxQx 求向量的夹角的余弦用 x 表示的函数 OQOP和 xf 求的最小值 xf 解 解 cos1 cos2 cos cos1 cos2 2 2 xf x x OQOP OQOP xOQOPxOQOP cos 1 cos 2 cos1 cos2 cos 2 x x x x xf 1 2 2 cos 4 4 xx 3 22 1 3 22 2 23 cos 1 cos2 min xfxf x x 5 设 sin cos1 a sin cos1 b 0 0 1 c 与的夹角为 与的夹角为 且 求的 2 ac 1 bc 2 6 21 4 sin 值 本题 12 分 解 解 22 cos 2 sin 2 sin2 2 sin2 cos 22 cos 2 cos2 2 cos2 cos 2 sin2 2 cos2 2 2 2 0 2 2 0 2 cos 2 sin 2 sin2 2 cos 2 sin2 2 sin2 2 sin 2 cos 2 cos2 2 cos 2 sin2 2 cos2 2 2 1 2 1 2 2 cb cb ca ca ba b a 故 2 1 6 sin 4 sin 32 62226 22222 0 21 2 又 6 已知函数 b 为常数 且 的abxbxxaxf sin2cossin2 2 0 a 图象过点 且函数的最大值为 2 3 0 xf 1 求函数的解析式 并写出其单调递增区间 xfy 2 若函数的图象按向量作移动距离最小的平移后 使所得的图象 xfy 0 mp 关于 y 轴对称 求出向量的坐标及平移后的图象对应的函数解析式p 解 解 1 2cos2sin xbxaxf 12 33 0 22 ababf解得又有得 所以函数的解析式是 xfy 3 2sin 22cos32sin xxxxf 的单调递增区间是 xf 12 11 12 5 Zkkk 2 平移后的图象对应的函数解析式是 3 2sin 2 mxy 图象关于 y 轴对称 即为偶函数 3 22sin 2 mxy 3 22sin 2 3 22sin 2 mxmx 恒成立Rxmxmx 对即 3 22sin 3 22sin 2 3 22 3 22 Zkkmxmx 12 5 2 2 3 2 4 kmkm 1212 5 2 1 min mk时当 故 图象对应的函数解析式为 p 0 12 xxy2cos 2 2sin 2 7 已知二次函数对任意 都有成立 设向量 xfR x 1 1 xfxf sinx 2 2sinx cos2x 1 1 2 当 0 时 求 a b 2 1 c d x 不等式 f f 的解集 ba dc 解析 设 f x 的二次项系数为 m 其图象上两点为 1 x B 1 x 因为 1 y 2 y 所以 由 x 的任意性得 f x 的图象1 2 1 1 xx 1 1 xfxf 21 yy 关于直线 x 1 对称 若 m 0 则 x 1 时 f x 是增函数 若 m 0 则 x 1 时 f x 是减函数 x sin baxsin2 2 11sin2 2 1 2 xx2 cos dc1 1 2 122cos x 当时 0 m 12 cos 1sin2 2 xfxfffdcba 1sin2 2 x 02cos222cos12cos122cos xxxx02cos x 2 2 k 2 3 22 kxZ k 0 x 4 3 4 x 当时 同理可得或 0 m 4 0 x 4 3 x 综上 的解集是当时 为 dcba ff0 m 4 3 4 xx 当时 为 或 0 m 4 0 xx 4 3 x 8 平面直角坐标系有点 4 4 1 cos cos 1 xxQxP 1 求向量的夹角 的余弦用 x 表示的函数 f x OQOP和 2 求 的最值 解 1 cos OQOPOQOP 4 4 cos1 cos2 cos1 cos2 1coscos1 1coscos1 cos 2 2 22 x x x xf x x xx xx OQOP OQOP 2 1 2 1 2 2 cos 2 tg t t xfttx 则则 0 0 3 22 arccos 4 0 3 22 arccos 0 1cos 3 22 3 22 2 2 1 1 1 2 2 1 2 2 0 1 2 2 1 1 1 2 minmax minmax minmax 22 时当时当 故又 上是增函数在处连续及在又 时显然又 xx gtggtg tgtttg tgt t tt tg 9 如图 已知 OFQ 的面积为 且 62mFQOF 1 若时 求向量与的夹角的取值范围 646 mOFFQ 2 设 时 若以 O 为中心 F 为焦点的双曲线经过点cOF 2 1 4 6 cm Q 当取得最小值时 求此双曲线的方程 OQ 1 由已知 得所以 因为 mFQOF FQOF cos 62 sin 2 1 m 64 tan 所以 则 2 以 O 为原点 646 m4tan1 4arctan 4 所在直线为 x 轴建立直角坐标系 设所求的双曲线方程为 OF1 2 2 2 2 b y a x a 0 b 0 Q 点的坐标为 则 因为 1 x 1 yFQcx 11 y OFQ 的面积 所以 又由 c 0 62 2 1 1 yOF c y 64 1 FQOF 所以 cx 11 y 2 1 1 4 6 cccx cx 4 6 1 当且仅当 c 4 时 最小 此时 Q 的12 8 396 2 2 2 1 2 1 c c yxOQ OQ 坐标为 由此可得解之得故所求的方程为66 16 1 66 22 22 ba ba 12 4 2 2 b a 1 124 22 yx 10 已知向量 且 33 cos sin 22 xx a cos sin 22 xx b 2 x 1 求及 a b ab 2 求函数 的最大值 并求使 函数 取得最大值的 x 的值 f x a b ab 解 1 3 coscos 22 xx a b 3 sinsin 22 xx cos2x ab 22 33 coscos sinsin 2222 xxxx 33 22 coscossinsin 2222 xxxx 2 22cos2x cosx 2 x 2 ab cosx 2 2 f x a b ab cos2xcosx 2 2cos2cos1xx 2 13 2 cos 22 2 x 1 0 1 3cosx f x 当 1 时 3 此时 cosx max f xx 2 x 11 已知向量 且与之间有关系式 cos a sin cos b sin a b 其中 k 0 3 bkabak 1 试用 k 表示 ba 2 求的最小值 并求此时与的夹角的值 ba a b 1 因为 所以 3 bkabak 22 3 bkabak 2 bak 2 3bka 222222 3632bkbakabbakak 22 3 8akbak 2 由 1 22 13 bk k kk ba 8 1 13 1 3 22 k k k k 4 1 8 22 22 ba 当且仅当 即时取等号 此时 2 1 4 1 4 2 4 1 44 1 2 k k k k k k k k 4 1 4 1 kba 所以的最小值为 此时与的夹角 2 1 cos ba 2 1 cos 3 ba 2 1 a b 为 3 12 已知向量 又二次函数 1 sin 2 2sin 2 axbx cos2 1 1 2 cxd 的开口向上 其对称轴为 当时 求使不等式成 f x1x 0 x f a bf c d 立的的范围 x 依题意有 当 x 1 时 f x 是增函数 2 1 sin 2 2sin 2sin1 1 2 a bxxx cos2 1 1 2 cos221c dxx 2 2sin1 cos21 f a bf c dfxfx 2 2sin1cos221 cos21cos22cos20 xxxxx 0 x 即为所求 3 44 x 13 已知 sinA cosA cosC sinC 若 sin2B 的夹角为 a b 3 a b a b 且 A B C 为三角形 ABC 的内角 求 1 B 2 cos 2 解 1 由 sin2B 得 3 a b sinAcosC cosAsinC 2sinBcosB 3 所以 sin A C 2sinBcosB 3 又在 ABC 中 A C B sin A C 0 所以sinB 2sinBcosB 3 即 cosB 所以 B 3 2 6 2 cos sin A C sinAcosC cosAsinC 1 1 在 ABC 中 B A C 6 5 6 cos sin 5 6 1 2 cos2 2 1 cos 2 1 1 2 2 3 4 0 cos 2 3 2 14 已知平面向量 若存在非零实数和角 3 1 a 13 22 b k 使得 且 2 2 3 tan3 cab tandkab cd 若时 求的值 4 k 若在上变化时 求的极大值 2 2 k 解 13 3 1 0 22 a b 从而 2 tan3 tan c dabkab 222 tan3 tan k ab 2 4tan tan3 0k 则而于是 2 1 tan tan3 4 k 4 1 2 k 令 则 求导有 tanx 3 1 3 4 kxx 2 13 31 1 1 44 kxxx 在时 或时 11x 0k x 1x 1x 0k x 在时 取极大值 x k x 3 11 1 1 3 1 42 k 因此的极大值为k 1 2 15 已知向量 求 2 0 2 sin 2 cos 2 3 sin 2 3 cos x xx bxxa且 baba 及 若的最小值是 求实数的值 2 babaxf 2 3 解 a b 2cos 2 sin 2 3 sin 2 cos 2 3 cosx x x x x a b xx x x x x 222 cos22cos22 2 sin 2 3 sin 2 cos 2 3 cos a b 2cosx 2 0 x 0cos x 即 cos42cos xxxf