八年级数学全章复习华东师大版知识精讲

初二数学初二数学全章复习全章复习华东师大版华东师大版 同步教育信息同步教育信息 一 本周教学内容 全章复习 教学目标 1 了解数的平方根 算术平方根 立方根的定义 能够利用其概念进行计算 2 了解最简二次根式 同类二次根式的概念 3 掌握二次根式的性质并能用其对二次根式进行变形 4 掌握二次根式乘除和加减的运算方法 重点 难点 1 学习重点 1 二次根式的化简 2 如何将分母中的根号去掉 2 学习难点 1 二次根式的变形 2 如何找到有理化因式 教学过程 一 平方根与立方根 1 知识要点 1 平方根与算术平方根的联系与区别 正数 a 的平方根有两个 它们互为相反数 记为 而它的算术平方根只有一a 个 记为 a 0 的平方根与算术平方根均为 0 负数没有平方根与算术平方根 2 算术平方根具有双重非负性 a 被开方数 是非负数 aa 0 算术平方根是非负数 aa 0 3 平方根与立方根的区别 正数有两个平方根 并且只有一个立方根 负数没有平方根 但有立方根 中 a 的取值是非负数 中 a 的取值是一切实数 a 3 a 2 典型例题 例 1 如果某个数的平方根是 a 3 及 2a 15 那么这个数等于 A 49B 441C 7 或 21D 49 或 441 解 某数的平方根是 a 3 及 2a 15 a 3 与 2a 15 互为相反数 即 a 3 2a 15 0 a 4 a 3 7 2a 15 7 7 2 49 这个数是 49 故选 A 例 2 求下式中的 x 4 3x 1 2 1 解 2 2 1 4 1 3x 1 2 1 当 3x 1 时 x 2 1 6 1 当 3x 1 时 x 2 1 2 1 x 或 6 1 2 1 二 二次根式 1 知识要点 与的区别 1 2 2 aa 中必须 而中 是任意数 aaaa 2 2 0 所得结果不同 而 aaaa 2 2 2 abab ab 00 可以正 逆向使用 正向表示先求算术平方根再求积 逆向表示先求积再求算术平方 根 3 a b a b ab 00 可以正向逆向使用 正向表示先求算术平方根再求商 逆向表示先求商 再求算术平 方根 4 最简二次根式 被开方数的因数是整数或整式 被开方数中不会有开得尽方的因数或因式 这样的二次根式叫最简二次根式 5 分母有理化 将分母中的根号去掉 方法 aaxyxyxy 2 和 6 在混合运算中 按四则运算的顺序进行 7 关于最简二次根式 被开方数的因数是整数或整式 被开方数中不含有开得尽方的因数或因式 这样的二次根式叫最简二次根式 8 关于同类二次根式 几个二次根式化成最简二次根式以后 如果被开方数相同 这个二次根式叫同类二次 根式 9 二次根式的加减法实质就是合并同类二次根式 2 典型例题 例 1 已知 求的值 413270 22 abab 分析 分析 因为 为实数 所以 abab4103270 22 又413270 22 ab 故 4103270 22 ab 解 解 因为413270 22 ab 故 4103270 22 ab 得 ab 22 1 4 327 ab 1 2 3 因此 ab 3 2 例 2 化简及计算 1 0 1 2 yx x y x 0 3 8 2 3 3 nm m n 解 解 1 222 x y x x y x x xy x x xy 2 3 2 8 3 3 2 8 3 3 2 24 3 1 2 266 333 2 n m n m mn mm nmn n m mn 2 1 5 32 352 2052 1 3 1 8 75 解 解 1 原式 5 32 352 532352 102 3 2 1 2 2 1 3 1 8 75原式 2 2 2 3 3 1 4 25 3 2 2 1 4 2 2 3 35 3 1 4 24 1 3 3 例 3 已知 求的值 x x xx 31 12 2 2 分析 分析 此题直接将 x 的值代入计算较为麻烦 应先将二次根式化简 再代入进行计算 解 解 x xx x x x x 2 2 2 2 2 1211 又 故x x x 311 1 0 x x x x 11 31 311 31 3 313 33 33 3 2 例 4 化简 a ab aabb a ab 2 44 2 22 解 解 a ab aabb a 2 44 22 a ab ab a a ab ab a a ab ab a a ab ab a 2 2 2 2 1 2 2 2 2 2 又 故ababab 222 故原式 a 例 5 化简 Sxxxxxx 222 214469 解 解 S xxxxxx 222 214469 xxx xxx 123 123 222 由于时 时 时 xxxxxx 101202303 故应分四种情况讨论 当时 xSxxxx 31234 当时 311232xSxxxx 当时 121233 xSxxxx 当时 xSxxxx 21234 例 6 已知 求 的值abaabb 2 75 2 75 22 分析 分析 多项式 a2 ab b2可转化为用 a b 与 ab 表示的式子 因此可根据条件中 a b 的 值 求得 a b 与 ab 的值 计算中先把 a b 的式子有理化分母 可使计算简便 解 解 a 2 75 275 7575 75 b 2 75 275 7575 75 abab2 72 aabbabab 22 2 2 32 7622 小结 小结 此例是代数式求值 一般注意两点 1 如果已知条件为含二次根式的式子 先把它化简 2 如果代数式是含二次根式的式子 应先把代数式化简 再求值 例 7 已知 且 其中 均为abam ab bn ab mn 1 22 有理数 求 m2 n2的值 解 解 因为1 ba 2 1 2 1 22 2babaaaa a 2 1 2 1 22 2baabbbb b 且bababa 所以 a abab ab ab 1 22 1 2 2 1 22 b ab abab ab ab 1 22 1 2 2 1 22 故而 ma ab 2 1 2 nb ab 2 1 2 mn 22 22 1 2 1 2 1 2 三 实数 1 知识要点 1 理解实数的意义 2 理解实数与数轴上的点一一对应 体会数形结合的思想 3 能估计无理数的大小 提高自己的数感和估算能力 2 典型例题 例 1 已知 a b 为数轴上的点 如图所示 化简 abab 11 222 解 解 因 所以aa 110 bb 110 所以 而 所以abab 0 所以abab 11 222 abab abba 11 11 2 例 2 已知 5 的小数部分为 a 5 的小数部分为 b 求 1 a b 的值 1111 2 a b 的值 解 解 1 1 2 2 7 11 例 3 将下列各式在实数范围内进行因式分解 1 2 xx5 3 44 4ba 解 解 1 原式 5 2 xx 5 5 xxx 2 原式 2 2 2222 baba 2 2 2 22 bababa 本课小结 1 初步掌握用类比的方法探索新规律 会从特殊的现象中得到一般规律 2 掌握二次根式的加减乘除运算 3 理解找有理化因式的方法 4 逐渐理解将二次根式变形的规律 找到完成变形的方法 模拟试题模拟试题 一 选择题 1 在实数 0 3 0 0 123456 中 其中无理数的个数是 7 2 A 2B 3C 4D 5 2 化简的结果是 4 2 A 4B 4C 4D 无意义 3 下列各式中 无意义的是 A B C D 2 3 3 3 3 2 3 3 10 4 如果 有意义 那么代数式 x 1 的值为 1 xx 9 2 9 x A 8B 8C 与 x 的值无关D 无法确定 5 在 Rt ABC 中 C 90 c 为斜边 a b 为直角边 则化简 2 c a b 的结果为 2 cba A 3a b cB a 3b 3cC a 3b 3cD 2a 6 4 15 三个数的大小关系是 14226 A 4 15 B 15 41422622614 C 4 15D 4 151422622614 7 下列各式中 正确的是 A 5B 25 2 5 5 C 4D 6 4 1 16 2 1 3 2 2 2 29 8 下列计算中 正确的是 A 2 3 5325 B 1037101010 C 3 2 3 2 333 D 2a bba 2ba 2 二 填空题 9 的算术平方根是 25 10 如果 2 那么 x 3 2 3 x 11 的相反数是 的倒数是 3 64 1 2 3 12 若 xy x y 5 1 则 x 1 y 1 22 13 若与 b 2 互为相反数 则 a b 2 22 a 14 若 那么的值是 a 3 b 4 b ba 2 15 2002 2003 2323 16 当 a 2 时 1 2 1 a 三 解答题 17 计算下列各题 1 11232 2 103103 20022003 3 2 33 2 2 33 26 4 122332 18 若yxx 112 求xxyy 23 3 的值 19 已知a b 1 25 1 25 求a bab 33 的值 20 化简 1 abb ab ab ab 2 22 0 2 aa aa a a a 2 2 32 69 3 2 1 21 求证 a 是大于 1 的实数 n 是正整数 求证 1 12 1 23 1 34 1 1 1 aaaaaaanan ana 试题答案试题答案 一 1 B 2 B 3 A 4 B 5 B 6 A 7 D 8 C 二 9 10 16 11 12 6 5 4 1 3 32 2 13 9 14 15 16 a 2 2 10 32 三 17 1 11232 1 2 332 1 32 32 2 103103 20022003 103103103 103 2002 3 2 33 2 2 33 26 2 33 26 66 22 4 因为213223 故1223322132231 18 yxx 112 故而xx 1010 得 x 10 x 1 y xyxy 2 316815 33 19 aa bb 1 25 25 25 25 2594 5 1 25 25 25 25 5294 5 2 2 而 a babab ab 332