2011届高考数学 函数模型及其应用复习好题精选

用心 爱心 专心1 20112011 届高考数学届高考数学 函数模型及其应用复习好题精选函数模型及其应用复习好题精选 1 已知 A B 两地相距 150 千米 某人开汽车以 60 千米 小时的速度从 A 地到达 B 地 B 地 停留 1 小时后再以 50 千米 小时的速度返回 A 地 把汽车离开 A 地的距离 x 表 示为时 t 小时 的 函数表达式是 A x 60t 50t 0 t 6 5 B x 60 02 5 150 2 53 5 15050 3 56 5 3 5 tt t t D x 60 02 5 150 2 53 5 150503 5 3 6 5 5 tt t tt 解析 依题意 函数为分段函数 求出每一段上的解析式即可 答案 D 2 某文具用品店出售羽毛球拍和羽毛球 球拍每副定价 20 元 羽毛球每只定价 5 元 该店制定了两种优惠方法 买一副球拍赠送一只羽毛球 按总价的 92 付款 某人计划购买 4 副球拍 羽毛球 30 只 两种优惠方法中 更省钱的一种是 A 不能确定 B 同样省钱 C 省钱 D 省钱 解析 种方法需 20 4 5 30 4 210 元 种方法需 20 4 5 30 92 211 6 元 故 种方法省钱 答案 D 3 2010 邯郸模拟 图形 M 如图所示 是由底为 1 高为 1 的等腰 科 网 三角形及高为 2 和 3 的两个矩形所构成 函数 S S a a 0 是 图形 M 介于平行线 y 0 及 y a 之间的那一部分面积 则函数 S a 的图象大致是 用心 爱心 专心2 解析 依题意 当 a 1 时 S a 2 2 aa 2a 2 1 2 a 3a 当 1 a 2 时 S a 2a 1 2 当 2 a 3 时 S a 2 a a 1 2 5 2 当 a 3 时 S a 2 3 1 2 11 2 于是 S a 2 1 3 01 2 1 2 12 2 5 23 2 11 2 aaa aa aa a 3 3 由解析式可知选 C 答案 C 题组二二次函数模型 4 某工厂第三年的产量比第一年的产量增长 44 若每年的平均增长率相同 设为 x 则以下结论正确的是 A x 22 B x 22 C x 22 D x 的大小由第一年的产量确定 解析 1 x 2 1 44 解得 x 0 2 0 22 故选 B 答案 B 5 某公司在甲 乙两地销售一种品牌车 利润 单位 万元 分别为 L1 5 06x 0 15x2 和 L2 2x 其中 x 为销售量 单位 辆 若该公司在这两地共销售 15 辆车 则能获得 最大利润为 A 45 606 B 45 6 C 45 56 D 45 51 解析 依题意可设甲销售 x 辆 则乙销售 15 x 辆 用心 爱心 专心3 总利润 S 5 06x 0 15x2 2 15 x 0 15x2 3 06x 30 x 0 当 x 10 时 Smax 45 6 万元 答案 B 6 某工厂生产某种产品固定成本为 2 000 万元 并且每生产一单位产品 成本增加 10 万元 又知总收入 K 是单位产品数 Q 的函数 K Q 40Q Q2 则总利润 L Q 的 1 20 最大值是 解析 总利润 L Q 40Q Q2 10Q 2 000 1 20 Q 300 2 2 500 1 20 故当 Q 300 时 总利润最大值为 2 500 万元 答案 2 500 万元 题组三指数函数模型 7 手机的价格不断降低 若每隔半年其价格降低 则现在价格为 2 560 元的手机 两 1 4 年后价格可降为 A 900 元 B 810 元 C 1440 元 D 160 元 解析 半年降价一次 则两年后降价四次 其价格降为 2560 4 810 1 1 4 答案 B 8 某市 2008 年新建住房 100 万平方米 其中有 25 万平方米经济适用房 有关部门计 划以后每年新建住房面积比上一年增加 5 其中经济适用房每年增加 10 万平方米 按照此计划 当年建造的经济适用房面积首次超过该年新建住房面积一半的年份是 参考数据 1 052 1 10 1 053 1 16 1 054 1 22 1 055 1 28 A 2010 年 B 2011 年 C 2012 年 D 2013 年 解析 设第 n 年新建住房面积为 an 100 1 5 n 经济适用房面积为 bn 25 10n 由 2bn an得 2 25 10n 100 1 5 n 利用已知条件解得 n 3 所以在 2012 年时 满足题意 故选 C 答案 C 9 为了预防流感 某学校对教室用药熏消毒法进行消毒 已知药物释放过程中 室内每立方米空气中的含药量 用心 爱心 专心4 y 毫克 与时间 t 小时 成正比 药物释放完毕后 y 与 t 的函数关系式为 y t a a 为常数 如图所示 根 1 16 据图中提供的信息 回答下列问题 1 从药物释放开始 每立方米空气中的含药量 y 毫克 与时间 t 小时 之间的函数关 系为 2 据测定 当空气中每立方米的含药量降低到 0 25 毫克以下时 学生方可进教室 那么从药物释放开始 至少需要经过 小时后 学生才能回到教室 解析 1 设 y kt 由图象知 y kx 过点 0 1 1 则 1 k 0 1 k 10 y 10t 0 t 0 1 由 y t a过点 0 1 1 得 1 0 1 a 1 16 1 16 a 0 1 y t 0 1 t 0 1 1 16 2 由 t 0 1 0 25 得 t 0 6 故至少需经过 0 6 小时 1 16 1 4 答案 1 y 0 1 10 00 1 1 0 1 16 t tt t 2 0 6 题组四函数模型的综合应用 10 鲁能泰山足球俱乐部准备为救助失学儿童在山东省体育中心体育场举行一场足球义 赛 预计卖出门票 2 4 万张 票价有 3 元 5 元和 8 元三种 且票价 3 元和 5 元的张 数的积为 0 6 万张 设 x 是门票的总收入 经预算 扣除其他各项开支后 该俱乐部 的纯收入为函数 y lg2x 则这三种门票的张数分别为 万张时可 以为失学儿童募捐的纯收入最大 解析 该函数模型 y lg 2x已给定 因而只需要将条件信息提取出来 按实际情况代 入 应用于函数即可解决问题 设 3 元 5 元 8 元门票的张数分别为 a b c 则 代入 有 x 19 2 5a 3b 19 2 215ab 13 2 万元 2 4 0 6 358 abc ab xabc 用心 爱心 专心5 当且仅当 53 0 6 ab ab 时等号成立 解得 a 0 6 b 1 所以 c 0 8 由于 y lg 2x为增函数 即此时 y 也恰有最大值 故三种门票的张数分别为 0 6 1 0 8 万张时可以为失学儿童募捐的纯收入最大 答案 0 6 1 0 8 11 2010 沈阳模拟 沪杭高速公路全长 166 千米 假设某汽车从上海莘庄镇进入该高速公 路后以不低于 60 千米 时且不高于 120 千米 时的速度匀速行驶到杭州 已知该汽车每 小时的运输成本 y 以元为单元 由可变部分和固定部分组成 可变部分与速度 v 千米 时 的平方成正比 比例系数为 0 02 固定部分为 200 元 1 把全程运输成本 y 元 表示为速度 v 千米 时 的函数 并指出这个函数的定义域 2 汽车应以多大速度行驶才能使全程运输成本最小 最小运输成本为多少元 解 1 依题意得 y 200 0 02v2 166 v 166 0 02v 200 v 60 v 120 2 y 166 0 02v 200 v 166 2 200 0 02 v 664 元 当且仅当 0 02v 200 v 即 v 100 千米 时时取等号 答 当速度为 100 千米 时时 最小的运输成本为 664 元 12 文 某城市在发展过程中 交通状况逐渐受到大家更多的关注 据有关统计数据显 示 从上午 6 点到中午 12 点 车辆通过该市某一路段的用时 y 分钟 与车辆进入该 路段的时刻 t 之间的关系可近似地用如下函数给出 y 32 2 13629 36 69 844 55 910 84 366345 1012 tttt t t ttt 求从上午 6 点到中午 12 点 通过该路段用时最多的时刻 解 1 当 6 t 9 时 y t2 t 36 t2 4t 96 3 8 3 2 3 8 用心 爱心 专心6 t 12 t 8 3 8 令 y 0 得 t 12 或 t 8 当 t 8 时 y 有最大值 ymax 18 75 分钟 2 当 9 t 10 时 y t 是增函数 1 8 55 4 当 t 10 时 ymax 15 分钟 3 当 10 t 12 时 y 3 t 11 2 18 当 t 11 时 ymax 18 分钟 综上所述 上午 8 时 通过该路段用时最多 为 18 75 分钟 理 某厂生产某种零件 每个零件的成本为 40 元 出厂单价定为 60 元 该厂为了 鼓励销售商订购 决定每一次订购量超过 100 个时 每多订购一个 多订购的全部 零件的出厂单价就降 0 02 元 但实际出厂单价不能低于 51 元 1 当一次订购量为多少个时 零件的实际出厂单价恰降为 51 元 2 设一次订购量为 x 个 零件的实际出厂单价为 P 元 写出函数 P f x 的表达式 来 3 当销售商一次订购 500 个零件时 该厂获得的利润是多少元 如果订购 1000 个 利 润又是多少元 解 1 设每个零件的实际出厂价格恰好降为 51 元时 一次订购量为 x0个 则 x0 100 550 因此 当一次订购量为 550 个时 每个零件的实际出厂价恰 60 51 0 02 好降为 51 元 2 当 0 x 100 时 P 60 当 100 x 550 时 P 60 0 02 x 100 62 x 50 当 x 550 时 P 51 所以 P f x 60 0 100 62 100 55