北京师大附中2010届高三数学第四次月考试卷（文）新人教版

用心 爱心 专心 北京师大附中北京师大附中 20102010 届高三第四次月考试卷届高三第四次月考试卷 数数 学学 文科 文科 本试卷分选择题 填空题和解答题三部分 共 21 个小题 考试时间 120 分钟 试卷满分 150 分 一 选择题 本大题共一 选择题 本大题共 8 8 个小题 每小题个小题 每小题 5 5 分 共分 共 4040 分 在每小题给出的四个选项中 只分 在每小题给出的四个选项中 只 有一项是符合题目要求的有一项是符合题目要求的 1 已知全集 U R 集合 2 1 Mx x 2 0 Nx xx 则集合 M N 的关系用 韦恩 Venn 图可以表示为 B 解析 由已知 1 1 M 0 1 N 则NM 故选 B 2 已知命题 p m R 30 m 则命题 p 的否定是 D A 不存在m R 使30 m B m R 30 m C m R 30 m D m R 30 m 解析 特称命题的否定是全称命题 并同时否定量词和结论 故选 D 3 设 a b 为非零向量 R 若 a b 是 a 与 b 方向相同 的充分不必要条件 则 的取值范围可以是 C A 0 B 0 C 1 D 1 解析 当 1 时 a b a 与 b 方向相同 反之不然 故选 C 4 将函数sin2yx 的图象向上平移 1 个单位 再向右平移 4 个单位 所得图象对应的函 数解析式是 A A 2 2sinyx B 2 2cosyx C 1 sin 2 4 yx D 1 sin 2 4 yx 解析 将函数sin2yx 的图象向上平移 1 个单位 得到函数sin21yx 的图象 再 向右平移 4 个单位 得到函数 2 sin2 11 cos22sin 4 yxxx 的图象 故选 A 5 某景泰蓝厂为了制作国庆六十周年的纪念品 需要一种特殊的蓝色釉料 此种釉料需要用 石英 云石 硼砂等矿物质 再加某种化工原料合制而成 为了寻找最合适的配方 需要 在单位用量 10 28 的试验范围内寻找该种化工原料的最佳配用量 考虑到试验的工序多 时间长 现决定用均分分批试验法安排试验 每批试验安排 8 个试点 则第二批试验后存 优范围的区间长度是 C A 0 4 B 0 5 C 0 8 D 1 解析 将区间 10 28 均分为 9 等份 在 8 个分点处各做一次试验 则第一批试验后存 优范围的区间长度为 4 设第一批试验后的存优范围是 2 2 nn 将该区间均分为 10 等份 在新增的 8 个分点 处各做一次试验 则第二批试验后存优范围的区间长度为 0 8 故选 C 用心 爱心 专心 6 给出下列四个命题 垂直于同一平面的两条直线相互平行 垂直于同一平面的两个平面相互平行 若一个平面内有无数条直线与另一个平面都平行 那么这两个平面相互平行 若一条直线垂直于一个平面内的任一直线 那么这条直线垂直于这个平面 其中真命题的个数是 B A 1 个 B 2 个 C 3 个 D 4 个 解析 命题 为真 命题 为假 故选 B 7 一艘海轮从 A 处出发 以每小时 40 海里的速度沿东偏南 50 方向直线航行 30 分钟后 到达 B 处 在 C 处有一座灯塔 海轮在 A 处观察灯塔 其方向是东偏南 20 在 B 处观 察灯塔 其方向是北偏东 65 那么 B C 两点间的距离是 A A 10 2海里 B 10 3海里 C 20 2海里 D 20 3海里 解析 如图 由已知可得 BAC 30 ABC 105 AB 20 从而 ACB 45 在 ABC 中 由正弦定理 得sin3010 2 sin45 AB BC o o 故选 A 8 设 f x与 g x是定义在同一区间 a b 上的两个函数 若对任意 x a b 都有 1f xg x 成立 则称 f x和 g x在 a b 上是 密切函数 区间 a b 称为 密切区间 若 2 34f xxx 与 23g xx 在 a b 上是 密切函数 则其 密切区间 可以是 D A 1 4 B 2 4 C 3 4 D 2 3 解析 因为 22 57 57f xg xxxxx 由 2 571xx 得 2 560 xx 解得23x 故选 D 二 填空题 本大题共二 填空题 本大题共 7 7 个小题 每小题个小题 每小题 5 5 分 共分 共 3535 分 把答案填写在题中的横线上分 把答案填写在题中的横线上 9 不等式lg 1 0 x 的解集是 1 0 解析 由lg 1 0 x 得01 110 xx 10 在 ABC 中 已知 ABAC BC ABAC 且2 AB ACABAC 则 ABC的形 状是 等边三角形 解析 由 ABAC BC ABAC 得 BAC 的平分线垂直于 BC 所以ABAC 由 1 2 cos60 2 AB ACABACAA 故 ABC为等边三角形 11 先后抛掷两枚质地均匀的正方体骰子 抛掷第一枚骰子得到的点数记为 x 抛掷第二枚 骰子得到的点数记为 y 则使 2 log1 x y 的概率为 12 1 解析 由 2 log1 x y 得2yx 则 1 2 x y 或 2 4 x y 或 3 6 x y 故 31 3612 P A B C 东 南 用心 爱心 专心 12 已知tan 3 4 则 2 sin22cos 的值为 4 5 解析 由tan 3 4 得 1tan 3 1tan 解得 1 tan 2 所以 2 2 222 2sincos2cos2tan24 sin22cos sincostan15 13 已知点 A 1 2 直线 1 1 3 24 xt l yt t 为参数 与直线 2 2 45lxy 相交于点 B 则 A B 两点之间的距离 AB 5 2 解析 将1 3 24xt yt 代入245xy 得 1 2 t 所以 AB 5t 5 2 14 函数 2 1 2 log 253 f xxx 的单调递增区间是 1 解析 由 2 2530 xx 得1x 或 3 2 x 令 2 253g xxx 则当 x 1 时 g x为减函数 当 3 2 x 时 g x为增函数函数 又 1 2 logyu 是减函数 故 2 1 2 log 253 f xxx 在 1 为增函数 15 已知数列 n a为等差数列 1 若 3 2a 9 10a 则 12 a 16 2 一般地 若 m as n at mn 则 m n a msnt mn 解析 1 设等差数列 n a的公差为 d 则 93 6aad 由已知 93 12aa 所以 2d 故 129 316aad 2 因为 st d mn 则 m nm stmsnt aandsn mnmn 三 解答题 本大题共三 解答题 本大题共 6 6 个小题个小题 共共 7575 分分 解答应写出文字说明解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤证明过程或演算步骤 16 本小题满分 12 分 已知函数 2 sin3coscos 0 2 f xxxx 且函数 yf x 的图象 相邻两条对称轴之间的距离为 2 求 6 f 的值 若函数 0 12 f kxk 在区间 6 3 上单调递增 求 k 的取值范围 解 1 cos231 sin2sin 2 2262 x f xxx 2 分 用心 爱心 专心 据题意 22 T 即T 所以 2 2 即1 4 分 从而 1 sin 2 62 f xx 故 211 sin sin1 666262 f 6 分 因为 11 sin 2 sin2 1212622 f kxkxkx 0k 则 8 分 当 63 x 时 2 2 33 kk kx 9 分 据题意 2 332 2 kk 所以 32 2 32 0 k k k 解得 3 0 4 k 故 k 的取值范围是 3 0 4 12 分 17 本小题满分 12 分 已知函数xbxaxxf 223 1 3 1 其中 a b 为实常数 求函数 f x为奇函数的充要条件 若任取 a 0 4 b 0 3 求函数 f x在 R 上是增函数的概率 解 若 f x为奇函数 则对任意 x R 0f xfx 恒成立 即 322322 11 1 1 0 33 xaxb xxaxb x 即 2 2 1 0ax 恒成立 所以1a 3 分 当1a 时 xbxxf 23 3 1 则 32 1 3 fxxb xf x 所以 f x为奇函数 5 分 故 f x为奇函数的充要条件是1a 6 分 因为 22 1 2 bxaxxf 7 分 若 f x在 R 上是增函数 则对任意 x R 0fx 恒成立 所以 404 1 22 ba 即 1 ab 8 分 设 f x在 R 上是增函数 为事件 A 则事件 A 对应的区域为 1 baba 又全部试验结果 04 03 a bab 如图 10 分 a b 41 1 3 O 用心 爱心 专心 所以 11 3 41 13 3 7 22 3 412 S P A S 阴影 故函数 f x在 R 上是增函数的概率为 7 12 12 分 18 本小题满分 12 分 如图 四边形 ABCD 是菱形 PA 平面 ABCD M 为 PA 的中 点 求证 PC 平面 BDM 若 PA AC 2 BD 32 求直线 BM 与 平面 PAC 所成的角 解 设 AC 与 BD 的交点为 O 连结 OM 因为 ABCD 是菱形 则 O 为 AC 中点 又 M 为 PA 的中点 所以 OM PC 3 分 因为 OM 在平面 BDM 内 所以 PC 平面 BDM 4 分 因为 ABCD 是菱形 则 BD AC 又 PA 平面 ABCD 则 PA BD 所以 BD 平面 PAC 所以 BMO 是直线 BM 与平面 PAC 所成的角 7 分 因为 PA 平面 ABCD 所以 PA AC 在 Rt PAC 中 因为 PA AC 2 则 PC 2 又点 M 与点 O 分别是 PA 与 AC 的中点 则 MO 2 1 PC 1 9 分 又 BO 2 1 BD 3 在 Rt BOM 中 tan BMO 3 BO MO 所以 BMO 60 故直线 BM 与平面 PAC 所成的角是 60 12 分 19 本小题满分 13 分 据调查 湖南某地区有 100 万从事传统农业的农民 人均年收入 3000 元 为了增加农 民的收入 当地政府积极引资建立各种加工企业 对当地的农产品进行深加工 同时吸 收当地部分农民进入加工企业工作 据估计 如果有 x x 0 万人进入企业工作 那么剩 下从事传统农业的农民的人均年收入有望提高 2x 而进入企业工作的农民人均年收入为 3000a 元 a 0 为常数 I 在建立加工企业后 要使该地区从事传统农业的农民的年总收入不低于加工企业建 立前的年总收入 求 x 的取值范围 II 在 I 的条件下 当地政府应安排多少万农民进入加工企业工作 才能使这 100 万农民的人均年收入达到最大 解 I 据题意 100 x 3000 1 2x 100 3000 2 分 A B C D P M 用心 爱心 专心 即 x2 50 x 0 解得 0 x 50 3 分 又 x 0 故 x 的取值范围是 0 50 4 分 II 设这 100 万农民的人均年收入为 y 元 则 y 100 x 3000 1 2x 3000ax 100 60 x2 3000 a 1 x 300000 100 x 25 a 1 2 3000 475 a 1 2 0 x 50 3 5 9 分 1 若 0 25 a 1 50 即 0 a 1 则当 x 25 a 1 时 y 取最大值 2 若 25 a 1 50 即 a 1 则当 x 50 时 y 取最大值 11 分 答 当 0 a 1 时 安排 25 a 1 万人进入加工企业工作 当 a 1 时 安排 50 万人进入 企业工作 才能使这 100 万人的人均年收入最大 13 分 20 本小题满分 13 分 已知两圆 22 1 5 1 4 Oxy 和 22 2 45 1 4 Oxy 动圆 P 与 O1外切 且与 O2内切 求动圆圆心 P 的轨迹方程 过点 M 5 0 作直线l与点 P 的轨迹交于不同两点 A B 试推断是否存在直线l 使得线段 AB 的垂直平分线经过圆心 O2 若存在 求出直线l的方程 若不存在 说 明理由 解 由已知 点 1 1 0 O 2 1 0 O 1 5 2 r 2 3 5 2 r 则 O1O2 2 21 5rr 所以 O1内含于 O2 2 分 设圆 P 的半径为 r 因为动圆 P 与 O1外切 且与 O2内切 则 121212 2 5POPOrrrrrr 所以动圆圆心 P 轨迹是以点 12 O O为焦点的椭圆 4 分 因为5 a 1 c 所以 222 4 bac 故动圆圆心 P 的轨迹方程是 22 1 54 xy 6 分 因为直线 x 5 与椭圆无交点 可设直线l的方程为 5 yk x 由 22 1 54 5 xy yk x 得 222 45 5 20 xkx 即 2222 54 50125200 kxk xk 8 分 设点 1122 A x yB xy AB 的中点为 00 C xy 则 用心 爱心 专心 2 12 0 2 25 254 xxk x k 2 00 22 2520 5 5 5454 kk yk xk kk 10 分 若线段 AB 的垂直平分线经过圆心 O2 则 CO2 l 即 2 1 CO k k 所以 2 2 22 2 20 20 54 1 25204 1 54 k k k k kk k 即 4 0 矛盾 12 分 故不存在直线l使得线段 AB 的垂直平分线经过圆心 O2 13 分 21 本小题满分 13 分 已知数列 n a满足 1 1a 1 1 2 2 n n n a nn a ann 为奇数 为偶数 记 2nn ba n N n S为数列