生活中的趣味数学

1 生活中的趣味数学生活中的趣味数学 主讲人 王海燕主讲人 王海燕 今天我主要来讲一讲生活中的有关数学的几个趣味问题 今天我主要来讲一讲生活中的有关数学的几个趣味问题 缪勒缪勒 莱耶错觉莱耶错觉 看看上面的带箭头的两条直线 猜猜看哪条更长 是上面那条吗 错了 其实它们一样 长 这就是有名的缪勒 莱耶错觉 也叫箭形错觉 它是指两条长度相等的直线 如果一条 直线的两端加上向外的两条斜线 另一条直线的两端加上向内的两条斜线 则前者会显得比 后者长得多 现在明白了吗 大金字塔之谜大金字塔之谜 墨西哥 希腊 苏丹等国都有金字塔 但名声最为显赫的是埃及的金字塔 埃及是世 界上历史最悠久的文明古国之一 金字塔是古埃及文明的代表作 是埃及国家的象征 是 埃及人民的骄傲 金字塔 阿拉伯文意为 方锥体 它是一种方底 尖顶的石砌建筑物 是古代埃及埋葬国王 王后或王室其他成员的陵墓 它既不是金子做的 也不是我们通常 所见的宝塔形 是由于它规模宏大 从四面看都呈等腰三角形 很像汉语中的 金 字 故 中文形象地把它译为 金字塔 埃及迄今发现的金字塔共约八十座 其中最大的是以高耸 巍峨而被誉为古代世界七大奇迹之首的胡夫大金字塔 在 1889 年巴黎埃菲尔铁塔落成前的 四千多年的漫长岁月中 胡夫大金字塔一直是世界上最高的建筑物 据一位名叫彼得的英 国考古学者估计 胡夫大金字塔大约由 230 万块石块砌成 外层石块约块 平均每块重 2 5 吨 像一辆小汽车那样大 而大的甚至超过 15 吨 假如把这些石块凿成平均一立方英 尺的小块 把它们沿赤道排成一行 其长度相当于赤道周长的三分之二 1789 年拿破仑入 侵埃及时 于当年 7 月 21 日在金字塔地区与土耳其和埃及军队发生了一次激战 战后他观 察了胡夫金字塔 据说他对塔的规模之大佩服得五体投地 他估算 如果把胡夫金字塔和 与它相距不远胡夫的儿子哈夫拉和孙子孟卡乌拉的金字塔的石块加在一起 可以砌一条三 米高 一米厚的石墙沿着国界把整个法国围成一圈 在四千多年前生产工具很落后的中古 时代 埃及人是怎样采集 搬运数量如此之多 每块又如此之重的巨石垒成如此宏伟的大 金字塔 仍是十分难解的谜 胡夫大金字塔底边原长 230 米 由于塔的外层石灰石脱落 现在底边减短为 227 米 塔 原高 146 5 米 经风化腐蚀 现降至 137 米 塔的底角为 51 51 整个金字塔建筑在一 块巨大的凸形岩石上 占地约 52900 平方米 体积约 260 万立方米 它的四边正对着东南 西北四个方向 英国 伦敦观察家报 有一位编辑名叫约翰 泰勒 是天文学和数学的业 余爱好者 他曾根据文献资料中提供的数据对大金字塔进行了研究 经过计算 他发现胡 夫大金字塔令人难以置信地包含着许多数学上的原理 他首先注意到胡夫大金字塔底角不 是 60 而是 51 51 从而发现每壁三角形的面积等于其高度的平方 另外 塔高与塔基 周长的比就是地球半径与周长之比 因而 用塔高来除底边的 2 倍 即可求得圆周率 泰 勒认为这个比例绝不是偶然的 它证明了古埃及人已经知道地球是圆形的 还知道地球半 径与周长之比 泰勒还借助文献资料中的数据研究古埃及人建金字塔时使用何种长度单位 当他把塔基的周长以英寸为单位时 由此他想到 英制长度单位与古埃及人使用的长度单 位是否有一定关系 泰勒的观念受到了英国数学家查尔斯 皮奇 史密斯教授的支持 1864 年史密斯实地考查胡夫大金字塔后声称他发现了大金字塔更多的数学上的奥秘 例如 塔高乘以 109 就等于地球与太阳之间的距离 大金字塔不仅包含着长度的单位 还包含着 计算时间的单位 塔基的周长按照某种单位计算的数据恰为一年的天数等等 史密斯的这 次实地考察受到了英国皇家学会的赞扬 被授予了学会的金质奖章 2 后来 另一位英国人费伦德齐 彼特里带着他父亲用 20 年心血精心改进的测量仪器又 对着大金字塔进行了测绘 在测绘中 他惊奇地发现 大金字塔在线条 角度等方面的误 差几乎等于零 在 350 英尺的长度中 偏差不到 0 25 英寸 但是彼特里在调查后写的书中 否定了史密斯关于塔基周长等于一年的天数这种说法 彼特里的书在科学家中引起了一场 轩然大波 有人支持他 有人反对他 大金字塔到底凝结着古埃及人多少知识和智慧 至 今仍然是没有完全解开的谜 大金字塔之谜不断吸引着成千上万的热心人在探索 希望有 兴趣的同学以后做一下这方面的研究 数学不光在建筑上应用很多 在文学上也有很多表现 回环诗图回环诗图 图 1 是宋代诗人秦观写的一首回环诗 全诗共 14 个字 写在图中的外层圆圈上 读出 来共有 4 句 每句 7 个字 写在图中内层的方块里 这首回环诗 要把圆圈上的字按顺时针方向连读 每句由 7 个相邻的字组成 第一句 从圆圈下部偏左的 赏 字开始读 然后沿着圆圈顺时针方向跳过两个字 从 去 开始 读第二句 再往下跳过三个字 从 酒 开始读第三句 再往下跳过两个字 从 醒 开 始读第四句 四句连读 就是一首好诗 赏花归去马如飞 去马如飞酒力微 酒力微醒时已暮 醒时已暮赏花归 这四句读下来 头脑里就像放电视一样 闪现出姹紫嫣红的花 蹄声笃笃的马 颠颠 巍巍的人 暮色苍茫的天 如果继续顺时针方向往下跳过三个字 就回到 赏 字 又可 将诗重新欣赏一遍了 生活中的圆圈 在数学上叫做圆周 一个圆周的长度是有限的 但 是沿着圆周却能一圈又一圈地继续走下去 周而复始 永无止境 回环诗把诗句排列在圆 周上 前句的后半 兼作后句的前半 用数学的趣味增强文学的趣味 用数学美衬托文学 美 FraserFraser 螺旋螺旋 3 请注意 你在左图可以看到 Fraser 螺旋 黑色的一圈圈的弧看起来是一个螺旋 其实它们是由 一组同心圆构成 看右图 这种幻觉逐渐不明显了 如果你用手遮住上图的上半部分 这种幻 觉不复存在 这意味着知觉上的特性必然产生此种效应 这是怎么回事 这种 Fraser 螺旋错觉是最复杂的盘旋绳索错觉 许多因素导致了这种视觉上的错觉 因 此 即使这些同心圆本身的轨迹暴露了 背景上每一个带有方向性的小单元格使之产生螺旋 上升的知觉 这种错觉的形成是因为多变的背景 你会发现右图的错觉不是很明显了 只是因为背景 改变了 但它确实还存在 这些带有方向性的小单元格分组聚合 使螺旋路径明显 这三幅图表明了发生在视网膜上和大脑皮层细胞在简单图形的加工过程中的影响 这种 螺旋效应可能由这些区域的方位敏感性细胞造成 例如 连续的视觉效果是视皮层上 相似 细胞之间的水平连接 成对细胞间交叉相联的模式并非完全固定不变的 随着环境的变化而 稍微改变 细胞间相互影响 使视网膜上形成的简单的连续的线由于方向性单元格而倾斜 造 成错觉 填充错觉填充错觉 看看这幅图 中间有一个黑点 周围是一团灰雾 盯着黑点目光不要移动 你觉得灰 雾消失了 同样的你试试下边的那幅 这次灰雾不会消失了 这是怎么回事 为什么灰雾有时消失 有时又不消失 这是怎么回事 我们的眼睛不习惯于固定的刺激 视觉中有一个系统调节眼球的运动使物体的视像保 持在视网膜上的某个固定的区域 我们将这个系统称之为视觉稳定系统 你可以通过后像来体验这种视觉稳定的效果 如果你盯着一个物体看上一分钟 移走 目光后它的后像仍会在眼前停留几秒种 然后才会消失 你可以通过眨眼使其多停留一会 儿 现在再来看看左边的那幅图 大多数人当他们凝视黑点的时候都感到灰雾消失了 而 对右边的那幅灰点不会消失 在左边的图里 从中心的黑点向外灰雾逐渐由黑变浅 这种 渐变与视觉的停留过程是一致的 当然如果你的目光随意移动的话 灰雾的视像一直保留 在视网膜上 当你注目盯着黑点时 灰雾逐渐减弱直到消失 而背景的颜色取而代之 前边的图与后边的几乎一模一样 除了有一个黑环以外 黑环的作用是无论你怎样努 力的盯着灰雾都能使其不至于在视觉中消失 当你凝视黑点的时候 你的眼球仍然在不时 的运动 当然这种眼球的颤动与扫视时的那种运动是不同的 这时的颤动是非常微弱的 但正是这种运动使视像停住 当一个物体象左边图中的灰雾一样 颜色逐渐由灰变白时 这种变化正好与视像逐渐消失的变化是一样的 这样你就会觉得物体消失了 当你移动目 光后再来看灰雾时 它又会再出现 这是因为你的眼球做了一个足够大的运动 右边图中 灰雾不消失的原因在于很小的眼动都能使视像停留 大小恒常性错觉大小恒常性错觉 在这幅图像中 一个大个子正在追赶一个小个子 对不对 其实 这两个人完全是一 模一样的 不信 用尺子量量看 你所看见的并不一定总是你所感知的 眼见为实在 这里就不适用了 这是怎么回事 对于这种错觉 斯坦福大学的心理学家 Roger Shepard 认为它与三维图 像的适当的深度知觉有关 与这有关的是 后面的那个人看起来比前面的那个人离你远 4 些 但是 不管怎样 后面的那个人在实际尺寸上与前面那个人是一样大的 通常一个东西离你越远 它就显得越小 换句话说 它的视角变小了 在这幅图里 后面的图形与前面的图形有着相同的尺寸 和相同的视角 由于两个图形的视觉相同而距 离不同 因此 你的视觉系统就会认为后面的那个人一定比前面的大 这个例子说明了你 所看见的并不一定是你所感知的 你的视觉系统常常依据从视觉环境中得出规则来作出推 论 你可以通过改变这个例子来发现一些通常隐藏着的视知觉规律 比方说 如果你把后 面的图形移到与前面的图形相同的位置 这种视觉的大小错觉便会消失 这是因为 在水 平面上 随着物体往后退 不仅视角变小了 而且它们在视野中相对于水平线的位置也升 高了 从这幅图画中可以看出 在同一平面的距离不同的两个人 后面的那人虽然实际尺寸 的个头很小 在前面的人之后 却显得很正常 在稍右一点的地方 你可以看到后景中的 那个人被放到与前面的人相同的位置 现在你就会出现另外一错觉 这种错觉正好与前面 提到的 Shepard 错觉相反 在 Shepard 错觉中 前面的那个图形 通常有较大的视觉 被 放到后景中 这样就使得后面的图形比前面的图形显得大一些 而在这种错觉中 后面的 较小视角的图形被移到前景中 另一个需要考虑的变量是 物体是被认为在地面上还是浮 起来的 这个变量确实在大小错觉中起作用 把图形从地面上移去会彻底改变你对图景的 感知 一个浮在地面上的物体与停在地面上的物体有很大的不同 图画的背景也是非常重 要的 因为它提供了深度的尺度 如果你删除背景 图像就成了平的 没有了立体感 你 就不会有错觉产生 或者 即使有也是非常微弱的 在非透视图中改变图形的深度是没有 意义的 错觉也不会出现 但是 你的视觉系统 依据与水平线的对比 会得到另一个结 果 这些错觉表明你的视觉系统从视觉环境中得出了很多规则 用以判断物体的大小和位 置的关系 一笔画一笔画 的规律的规律 题目 你能笔尖不离纸 一笔画出下面的每个图形吗 试试看 不走重复线路 要正确解答这道题 必须弄清一笔画图形有哪些特点 早在 18 世纪 瑞士的著名数学家欧 拉就找到了一笔画的规律 欧拉认为 能一笔画的图形必须是连通图 连通图就是指一个 图形各部分总是有边相连的 这道题中的三个图都是连通图 但是 不是所有的连通图都 可以一笔画的 能否一笔画是由图的奇 偶点的数目来决定的 什么叫奇 偶点呢 与奇 数 单数 条边相连的点叫做奇点 与偶数 双数 条边相连的点叫做偶点 如图 1 中的 为奇点 为偶点 数学家欧拉找到一笔画的规律是什么呢 1 凡是由偶点组成的连通图 一定可以一笔画成 画时可以把任一偶点为起点 最后一定 能以这个点为终点画完此图 例如 图 2 都是偶点 画的线路可以是 2 凡是只有两个奇点的连通图 其余都为偶点 一定可以一笔画成 画时必须把一个奇点为 起点 另一个奇点为终点 例如 图 1 的线路是 3 其他情况的图都不能一笔画出 不可能的楼梯不可能的楼梯 5 在这个楼梯中 你能分清哪一个是最高或最低的楼梯吗 当你沿顺时针走的时候 会发生 什么呢 如果是逆时针 情况会怎么样呢 这是怎么回事 这是一个由遗传学家 Lionel Penrose 设计的不可能的自然模型 同时它给 M C Escher 创作著名的画 上升还是下降 以最初的灵感 这个模型在右边被分割 但是你感 觉不到这种分裂 因为你的视觉系统 M C Escher 假定它是一个从整体上观察的模型 因此你假定楼梯是结合在一起的 虽然这个楼梯在概念上是不可能 但是这并干扰你对它 的感知 实际上 这种情况对大多数人来说是不清楚的 虽然 M C Escher Lionel 和 Roger Penrose 使这个不可能楼梯图形很有名 但是它是多年前瑞典的艺术家 Oscar Reutersvard 独立发现的 不过 Penroses 和 Escher 并不知道他的发现 自从那以来 出现了无数的 Roger Penrose 和 Oscar Reutersvard 发现的不可能楼梯模型的变式 在 20 世纪 60 年代 斯坦福大学心理系学家 Roger Shepard 制作了一个关于这个不可能楼 梯的听觉版本 黑夜还是白天 圆形的拱顶之四 都是 M C Escher 的名作 不一致的网格给人 造成了一种图形 背景错觉 图形中的分界线是模糊的 你对图画可以有两种理解 在 黑夜还是白天 这幅图里 你可以认为是白天一群白天鹅在天上飞 也可以认为是一群 黑天鹅在夜空中飞 在 第四个圆圈 也是如此 有时看到的是天使 有时看到的是恶魔 你很难同时对图画作出两种理解 这两幅画是 M C Escher 最有名的关于不可能图形的作品 如果你跟着瀑布水流的方向你 会发现它是一个永无终止的循环 但这在物理上是不可能的 如果你顺着 上升还是下降 中的楼梯行走 你会发现这也是一个永无休止的循环 但你不知道是在上楼还是在下楼 这两幅画都是源于英国数学家 Roger Penrose 和 他的父亲 Lionel Penrose 的思想基础 上创作的 不可能的三叉戟不可能的三叉戟 不可能的三叉戟 的历史 这幅图形还有其它一些名称 魔鬼的餐叉 三个 U 形棍 Widgit Blivit 不可能的圆柱 等等 没有人知道谁最先设计了这种图形 尽管它最开始是在 1964 年五 月和七月同时出现在几个很流行的工程学 航空学和科幻小说类出版物上的 同年 D H Schuster 在 美国心理杂志 发表了一篇文章 第一次提出了不可能图形在心理学界 的重要性 早在五十年代中期 一位 MIT 工程师就率先提出了这一观点 只是当时没有能 够得到证实 多年以后 这一观点又被以无尽的形式和版本重新提出来 举例来说 斯坦福的心理 学家 Roger Shepard 聪明地运用了这个观点作为一种不可能像的基础 瑞典艺术家 Oscar Reutersv rd 掌握了这些图形后 创作出了上千幅不尽相同的这类 作品 这是怎么回事 在所有不可能图形中 最著名也是最有意思的当数 不可能的三叉戟 中间尖头的轮 廓最终融合进了其他两个尖头的外轮廓中 而且中间尖头的顶部低于其他两个外部的尖头 这种似是而非的观点却是颇为有力的 因为在这里面含有多种不可能事件的来源 请用手盖住图形的某些部分 如果你盖上顶上那部分 你会发现剩下的部分是可能存 在的 从这个例子来看 你会解释说是前景图形是建在一个平整的由两个矩形尖头组成的 平面上的 6 现在只看图形的下半部分 你解释说这个图形是建在由三个并排但分隔开的圆柱组成 的曲面上的 当你把图形的这两部分分开看时 对于它们的形状就出现了不同的解释 而且 当你 把这两部分结合在一起时 你拥有一种解释 看前景部分 同时你又得到另一种解释 看 背景部分 因而图形也就违反了物体成分与背景间关系的基本特性 当你看这个图形时 你首先考虑的是它的轮廓或是等高线 由此你会试着去注意它的边界 你的视觉系统发生了混乱 因为图形的轮廓线间的关系是不明确的 被红线标出的 虽 然是同一条线 但看上去却是两种解释都符合 换句话说 这个图形利用了一个事实 那 就是一个圆柱由两条线组成 而一个矩形框却需要三条 这种幻觉正是建立在每两条线在 一端形成一个圆柱 而每三条却在另一端形成矩形框的基础上的 这种不明确还违背了另 一种基本特性 即在平面与曲面之间平面被扭动成曲面 两个突出的边缘也可以解释成是 三个直角面的边缘或者说是圆柱表面的无滑动边缘 这个图形 更深的来讲 是为更深入 地评价中间一个尖头给出了两种截然相反的提示 尽管这个图形揭示了一些不可能事件的来源 但你所注意的第一件事却是去计算自相矛 盾论点的个数 这表明你的视觉系统通过数数来比较不同的区域 这个图形或许正是少数 几个能揭示上面论点的图形之一 而其他不可能事件的来源也许并不这么简单 与此相一致的 当 不可能的三叉戟 拥有 7 个 8 个或以上的圆柱 那图形的不可 能性就不再会这样明显了 尽管其他矛盾还依然存在 当不可能图形的不可能地带变长或变短时 你会有什么样的感觉呢 这些例子表明了你的大脑是如何建立具有象征意义的深度形象的 一些细节被用来建立一 种对局部感觉的清楚的深度描绘 总的来讲 就是图形整体的一致性并不被看作是非常重 要的 如果你不是一上来就注意整个图形 那你一定会去比较不同的部分 直到你意识到 它是不可能的为止 当图形很长时 你可能会在某个区域里感觉它是三维的 而且它的不可能性并不是能 马上被感知出来的 这是因为矛盾的线索被分的太开了 当图形为中等长度时 它很容易被看成是个三维的物体 而且会很快的感觉出它的不 可能性 如果尖头特别短 那么就得在一块相同的区域里同时满足两种不同的解释 但这两种 解释间并没有一致性 幻觉也就没有了 一些早期关于不可能图形的书籍和出版物把不可能图形错误地规定了成了两类 作为三 维图形建立起来的是一类 其余的是另一类 不可能的三叉戟图形被归在了第二类 因为 从表面上看 其不能解决的冲突是产生在前景与背景之间的 但实际上 所有不可能图形 都可以看作是由某一优势地带的一些三维图形组成的 你现在看到的是由日本艺术家 Shigeo Fukuda 在 1985 年创作的 不可能的三叉戟 和 消失的柱子 在 消失的柱子 中你可以看到 在它的顶部有三个圆形的柱子 而它的底部却是有两个方形的柱子组成的 这幅幻想作品的感觉仅仅是来自于对边界的刻划 日本艺术家 Shigeo Fukuda 在幻想艺术方面杰出 他的作品大多是错觉图形 在全世界 展出 他在日本非常出名 几乎所有的作品都被展出 他创造了一种平面和空间上的错觉 艺术 包括了各种各样的类型 不可能图形 模糊雕塑 扭曲投影 变形艺术等等 他还 写了三本有关错觉的著作 上面的 二重奏 是一个三维雕塑 当你围着它走一圈 它从钢琴师变成了一个小提琴 师 上面的三幅图画是从不同的视角观看这幅雕塑的 烤面包的时间烤面包的时间 史密斯家里有一个老式的烤面包器 一次只能放两片面包 每片烤一面 要烤另一面 你得取出面包片 把它们翻个面 然后再放回到烤面包器中去 烤面包器对放在它上面的 每片面包 正好要花 1 分钟的时间烤完一面 一天早晨 史密斯夫人要烤 3 片面包 两面都烤 史密斯先生越过报纸的顶端注视着他 7 夫人 当他看了他夫人的操作后 他笑了 她花了 4 分钟时间 亲爱的 你可以用少一点 的时间烤完这 3 片面包 他说 这可以使我们电费账单上的金额减少一些 史密斯先生 说得对不对 如果他说得对 那他的夫人该怎样才能在不到 4 分钟的时间内烤完那 3 片面 包呢 答案答案 用 3 分钟的时间烤完 3 片面包而且是两面都烤 是一件简单的事 我们把 3 片面包叫 做 A B C 每片面包的两面分别用数字 l 2 代表 烤面包的程序是 第一分钟 烤 A1 面和 B1 面 取出面包片 把 B 翻个面放回烤面包器 把 A 放在一旁 而把 C 放入烤面包器 第二分钟 烤 B2 面和 C1 面 取出面包片 把 C 翻个面放回烤面包器 把 B 放在一旁 现在它两面都烤好了 而把 A 放回烤面包器 第三分钟 烤 A2 和 C2 面 至此 3 片面包的每一面都烤好了 不可能的三角形不可能的三角形 尽管这个不可能的三角形任何一个角看起来都是合情合理的 但是当你从整体来看 你就会发现一个自相矛盾的地方 这个三角形的三条边看起来都向后退并同时朝着你偏 靠 但是 不知何故 它们组成了一个不可能的结构 我们很难设想这些不同的部分是怎 么构成一个看似非常真实的三维物体的 其实 造成 不可能图形 的并不是图形本身 而是你对图形的三维知觉系统 这一系统在你知觉图形的立体心理模型时起强制作用 在 解释一幅三维图形的时候 你的视觉系统将会自动产生这一作用 在现实生活中 我们可 以构造出这个不可能三角形的物理模型 但这个模型只能从某一个角度看才