内蒙古赤峰二中高中数学 1.4.2正弦、余弦函数的性质(一)教案 新人教B版必修4

1 1 4 21 4 2正弦 余弦函数的性质正弦 余弦函数的性质 一一 教学目的 知识目标 要求学生能理解周期函数 周期函数的周期和最小正周期的定义 能力目标 掌握正 余弦函数的周期和最小正周期 并能求出正 余弦函数的最小正周 期 德育目标 让学生自己根据函数图像而导出周期性 领会从特殊推广到一般的数学思想 体会三角函数图像所蕴涵的和谐美 激发学生学数学的兴趣 教学重点 正 余弦函数的周期性 教学难点 正 余弦函数周期性的理解与应用 授课类型 新授课 教学模式 启发 诱导发现教学 教 具 多媒体 实物投影仪 教学过程 一 复习引入 1 问题 1 今天是星期二 则过了七天是星期几 过了十四天呢 2 物理中的单摆振动 圆周运动 质点运动的规律如何呢 2 观察正 余 弦函数的图象总结规律 自变量 x 2 3 2 2 0 2 3 2 2 函数 值 sin x 0 10 1 0 1 0 1 0 正弦函数 sinf xx 性质如下 观察图象 1 正弦函数的图象是有规律不断重复出现的 2 规律是 每隔2 重复出现一次 或者说每隔2k k Z重复出现 3 这个规律由诱导公式sin 2k x sinx可以说明 2 结论 象这样一种函数叫做周期函数 文字语言 正弦函数值按照一定的规律不断重复地取得 符号语言 当x 增加2k k Z 时 总 有 2 sin 2 sin f xkxkxf x 也即 1 当自变量x 增加2k 时 正弦函数的值又重复出现 2 对于定义域内的任意x sin 2 sinxkx 恒成立 余弦函数也具有同样的性质 这种性质我们就称之为周期性 二 讲解新课 1 周期函数定义 对于函数f x 如果存在一个非零常数T 使得当x取定义域内的每一个 值时 都有 f x T f x 那么函数f x 就叫做周期函数 非零常数T叫做这个函数的 周期 问题 1 对于函数 sinyx x R 有 2 sin sin 636 能否说 2 3 是它的周期 2 正弦函数 sinyx x R 是不是周期函数 如果是 周期是多少 2k kZ 且 0k 3 若函数 f x 的周期为T 则kT kZ 也是 f x 的周期吗 为什么 是 其原因为 2 f xf xTf xTf xkT 2 说明 1 周期函数x 定义域M 则必有x T M 且若T 0则定义域无上界 T 0则定义域 无下界 2 每一个值 只要有一个反例 则f x 就不为周期函数 如f x0 t f x0 3 T往往是多值的 如y sinx 2 4 2 4 都是周期 周期T中最 小的正数叫做f x 的最小正周期 有些周期函数没有最小正周期 y sinx y cosx的最小正周期为2 一般称为周期 从图象上可以看出 sinyx x R cosyx x R 的最小正周期为2 判断 是不是所有的周期函数都有最小正周期 f xc 没有最小正周期 3 例题讲解 例1 求下列三角函数的周期 xycos3 xy2sin 3 1 2sin 26 yx xR 解 1 3cos 2 3cosxx 自变量x 只要并且至少要增加到 2x 函数 3cosyx x R 的值才能重复出现 3 所以 函数 3cosyx x R 的周期是2 2 sin 2 2 sin2 sin2xxx 自变量x 只要并且至少要增加到x 函数 sin2yx x R 的值才能重复出现 所以 函数 sin2yx x R 的周期是 3 111 2sin 2 2sin 2sin 262626 xxx 自变量x 只要并且至少要增加到x 函数 sin2yx x R 的值才能重复出现 所以 函数 sin2yx x R 的周期是 说明 说明 1 一般结论 函数一般结论 函数 sin yAx 及函数及函数 cos yAx x R 其中 其中 A 为常数 且为常数 且 0A 0 的周期 的周期 2 T 2 若 0 例如 3cos yx x R sin 2 yx x R 1 2sin 26 yx x R 则这三个函数的周期又是什么 一般结论 函数一般结论 函数 sin yAx 及函数及函数 cos yAx x R 的周期 的周期 2 T 例2先化简 再求函数的周期 xxycossin xxxxy 22 sinsincos32cos 证明函数 cos sin xxxf 的一个周期为2 并求函数的值域 例3 求下列三角函数的周期 1 y sin x 3 2 y cos2x 3 y 3sin 2 x 5 解解 1 令z x 3 而 sin 2 z sinz 即 f 2 z f z f x 2 3 f x 3 周期T 2 4 2 令z 2x f x cos2x cosz cos z 2 cos 2x 2 cos 2 x 即 f x f x T 3 令z 2 x 5 则 f x 3sinz 3sin z 2 3sin 2 x 5 2 3sin 52 4 x f x 4 T 4 小结 形如y Asin x A 为常数 A 0 x R 周期T 2 y Acos x 也可同法求之 例4 求下列函数的周期 1 y sin 2x 4 2cos 3x 6 2 y sinx 3 y 2 3 sinxcosx 2cos2x 1 解解 1 y1 sin 2x 4 最小正周期T1 y2 2cos 3x 6 最小正周期 T2 3 2 T为T1 T2的最小公倍数2 T 2 2 T 作图 注意小结这两种类型的解题规律 3 y 3 sin2x cos2x T 三 巩固与练习 1 y 2cos 34 x 3sin 4 x 2 y cos 3x 2 sin 4x 3 3 y sin 2x 6 4 y cos2 sin2 1 2sin22 四 小 结 本节课学习了以下内容 周期函数的定义 周期 最小正周期 五 课后作业 P56 练习5 6 P58习题4 8 3 补充 1 求下列函数的周期 1 y sin 2x 4 2cos 3x 6 2 y sinx 3 y 2 3 sinxcosx 2cos2x 1 5 2 求下列函数的最值 1 y sin 3x 4 1 2 y sin2x 4sinx 5 3 y x x cos3 cos3 3 函数y ksinx b的最大值为2 最小值为 4 求k b的值 六 板书设计 课题 一 知识点 一 二 例题 1 2 七 课后反思 题选 求下列函数的周期 1 sin 32 yx 2 33 coscossinsin 2222 xxxx y 3 sincosyxx 4 22 cossin 22 xx y 5 2 cosyx 解 1 2 4 2 T 周期为4 2 333 coscossinsincos cos 222222 xxxxxx yx