2011届高三数学一轮巩固与练习：直线与圆、圆与圆的位置关系

巩固巩固 1 已知圆的方程是 x2 y2 1 则在 y 轴上截距为的切线方 2 程为 A y x B y x 22 C y x 或 y x D x 1 或 y x 222 解析 选 C 在 y 轴上截距为且斜率不存在的直线显然不是切 2 线 故设切线方程为 y kx 则 1 k 1 故所求切 2 2 k2 1 线方程为 y x 或 y x 选 C 22 2 直线 l 与圆 x2 y2 2x 4y a 0 a 3 相交于 A B 两点 若弦 AB 的中点 C 为 2 3 则直线 l 的方程为 A x y 5 0 B x y 1 0 C x y 5 0 D x y 3 0 解析 选 A 由圆的一般方程可得圆心 O 1 2 由圆的性质易 知 O 1 2 C 2 3 的连线与弦 AB 垂直 故有 kABkOC 1 kAB 1 故直线 AB 的方程为 y 3 x 2 整理得 x y 5 0 3 原创题 直线 2x y 0 与圆 C x 2 2 y 1 2 9 相交于 A B 两点 则 ABC C 为圆心 的面积等于 A 2 B 2 53 C 4 D 4 35 解析 选 A 圆 C 的圆心 C 2 1 半径 r 3 C 到直线 2x y 0 的距离 d 4 1 55 AB 2 4 S ABC 4 2 9 5 1 255 4 2009 年高考全国卷 已知圆 O x2 y2 5 和点 A 1 2 则 过 A 且与圆 O 相切的直线与两坐标轴围成的三角形的面积等于 解析 因为点 A 1 2 在圆 x2 y2 5 上 故过点 A 的圆的切线方程为 x 2y 5 令 x 0 得 y 令 y 0 得 x 5 5 2 故 S 5 1 2 5 2 25 4 答案 25 4 5 已知直线 ax by c 0 与圆 O x2 y2 1 相交于 A B 两 点 且 AB 则 3 OA OB 解析 如图 作 OC AB 于 C AB 在 Rt OAC 中 3 AC OA 1 所以 AOC 60 则 3 2 AOB 120 所以 1 1 cos 120 OA OB 1 2 答案 1 2 6 已知圆 x2 y2 4x 10y 4 0 1 证明点 B 1 1 在圆上 并求出过点 B 的圆的切线方程 2 证明点 C 1 0 在圆外 并求出过点 C 的圆的切线方程 解 1 因为 12 1 2 4 1 10 1 4 0 所以点 B 1 1 在圆上 设圆心为 M 所以 kBM 所以过点 B 1 1 的 1 5 1 2 4 3 圆的切线方程为 y 1 x 1 所以 3x 4y 1 0 3 4 2 因为 CM 5 r r 为已知圆的半径 所 1 2 2 5234 以点 C 1 0 在圆外 设过点 C 与圆 M 相切的直线的方程为 y k x 1 显然斜率存在 即 kx y k 0 因为圆与直线相切 所以半径 5 所以 2k 5 k 1 k2 k 0 或 k 15 8 所以切线方程为 y 0 或 15x 8y 15 0 练习 1 若直线 1 与圆 x2 y2 1 有公共点 则 x a y b A a2 b2 1 B a2 b2 1 C 1 D 1 1 a2 1 b2 1 a2 1 b2 解析 选 D 由题意知直线与圆相交或相切 故有 1 1 1 a2 1 b2 1 故选 D 1 a2 1 b2 2 过点 0 1 的直线与圆 x2 y2 4 相交于 A B 两点 则 AB 的 最小值为 A 2 B 2 3 C 3 D 2 5 解析 选 B 据由弦长一半及圆的半径和圆心到直线的距离所组 成的直角三角形可知 当圆心到直线距离最大时 弦长最短 易知 当圆心与定点 G 0 1 的连线与直线 AB 垂直时 圆心到直线 AB 的距 离取得最大值 即 d OG 1 此时弦长最短 即 AB 2R2 d2 AB 2 故选 B 4 13 3 已知圆 C 的半径为 2 圆心在 x 轴的正半轴上 直线 3x 4y 4 0 与圆 C 相切 则圆 C 的方程为 A x2 y2 2x 3 0 B x2 y2 4x 0 C x2 y2 2x 3 0 D x2 y2 4x 0 解析 选 D 设圆心为 a 0 且 a 0 则 a 0 到直线 3x 4y 4 0 的距离为 2 即 2 3a 4 10 a 2 或 a 舍去 则 3 a 4 0 4 32 42 14 3 圆的方程为 x 2 2 y 0 2 22 即 x2 y2 4x 0 4 设 O 为坐标原点 C 为圆 x 2 2 y2 3 的圆心 且圆上有 一点 M x y 满足 0 则 OM CM y x A B 或 3 3 3 3 3 3 C D 或 333 解析 选 D 0 OM CM OM CM OM 是圆的切线 设 OM 的方程为 y kx 由 得 k 即 2k k2 133 y x3 5 2008 年高考山东卷 已知圆的方程为 x2 y2 6x 8y 0 设 该圆过点 3 5 的最长弦和最短弦分别为 AC 和 BD 则四边形 ABCD 的面积为 A 10 B 20 66 C 30 D 40 66 解析 选 B 圆的标准方程为 x 3 2 y 4 2 52 由题意得 AC 2 5 10 BD 2 4 且 AC BD 四边形 52 126 ABCD 的面积 S AC BD 10 4 20 故选 B 1 2 1 266 6 若圆 x 3 2 y 5 2 r2上有且只有两个点到直线 4x 3y 2 的距离等于 1 则半径 r 的取值范围是 A 4 6 B 4 6 C 4 6 D 4 6 解析 选 A 圆心 P 3 5 到直线 4x 3y 2 的距离等于 5 由 5 r 1 得 4 r 6 7 2009 年高考天津卷 若圆 x2 y2 4 与圆 x2 y2 2ay 6 0 a 0 的公共弦的长为 2 则 a 3 解析 x2 y2 2ay 6 x2 y2 4 两式相减得 y 1 a 联立Error 消去 y 得 x2 a 0 4a2 1 a2 2 2 解得 a 1 4a2 1 a3 答案 1 8 过点 M 1 2 的直线 l 将圆 A x 2 2 y2 9 分成两段弧 其 中当劣弧最短时 直线 l 的方程为 解析 当劣弧最短时 MA 与直线 l 垂直 答案 x 2y 3 0 9 2009 年高考湖北卷 过原点 O 作圆 x2 y2 6x 8y 20 0 的两条切线 设切点分别为 P Q 则线段 PQ 的长为 解析 圆 x2 y2 6x 8y 20 0 可化为 x 3 2 y 4 2 5 圆心 3 4 到原点的距离为 5 故 cos 5 5 cos PO1Q 2cos2 1 3 5 PQ 2 2 2 2 2 16 PQ 4 555 3 5 答案 4 10 已知圆 C x2 y2 8y 12 0 直线 l ax y 2a 0 1 当 a 为何值时 直线 l 与圆 C 相切 2 当直线 l 与圆 C 相交于 A B 两点 且 AB 2时 求直线 2 l 的方程 解 将圆 C 的方程 x2 y2 8y 12 0 配方得标准方程为 x2 y 4 2 4 则此圆的圆心为 0 4 半径为 2 1 若直线 l 与圆 C 相切 则有 2 解得 a 4 2a a2 1 3 4 2 过圆心 C 作 CD AB 则根据题意和圆的性质 得Error 解得 a 7 或 a 1 故所求直线方程为 7x y 14 0 或 x y 2 0 11 已知圆 C 经过 P 4 2 Q 1 3 两点 且在 y 轴上截得 的线段长为 4 半径小于 5 3 1 求直线 PQ 与圆 C 的方程 2 若直线 l PQ 且 l 与圆 C 交于点 A B AOB 90 求 直线 l 的方程 解 1 直线 PQ 的方程为 y 3 x 1 3 2 1 4 即 x y 2 0 C 在 PQ 的中垂线 y 1 x 3 2 2 4 1 2 即 y x 1 上 设 C n n 1 则 r2 CQ 2 n 1 2 n 4 2 由题意 有 r2 2 2 n 2 3 n2 12 2n2 6n 17 n 1 或 5 r2 13 或 37 舍去 圆 C 为 x 1 2 y2 13 2 设直线 l 的方程为 x y m 0 由Error 得 2x2 2m 2 x m2 12 0 设 A x1 y1 B x2 y2 则 x1 x2 1 m x1x2 m2 12 2 AOB 90 x1x2 y1y2 0 x1x2 x1 m x2 m 0 m2 m 12 0 m 3 或 4 均满足 0 l 为 x y 3 0 或 x y 4 0 12 如右图 圆 O1与圆 O2的半径都是 1 O1O2 4 过动点 P 分别作圆 O1 圆 O2的切线 PM PN M N 分别为切点 使得 PM PN 试建立适当的坐标系 并求动点 P 2 的轨迹方程 解 以 O1O2的中点