北京市2014届高三数学一轮复习 试题选编28导数 理

1 北京市北京市 20142014 届高三理科数学一轮复习试题选编届高三理科数学一轮复习试题选编 2828 导数 导数 一 选择题 1 北京市房山区 2013 届高三上学期期末考试数学理试题 已知函数是由 ln 0 1 0 xx f x xx D 轴和曲线及该曲线在点处的切线所围成的封闭区域 则在上的最大值为 x yf x 1 0 3zxy D A B C D 431 答案 B 2 北京市朝阳区 2013 届高三上学期期中考试数学 理 试题 曲线在处的切线 e 1 x f x x 0 x 方程为 A B C D 10 xy 10 xy 210 xy 210 xy 答案 D 3 北京市朝阳区 2013 届高三上学期期中考试数学 理 试题 函数是定义域为的可导函数 f x R 且对任意实数都有成立 若当时 不等式成立 设 x 2 f xfx 1x 1 0 xfx 0 5 af 则 的大小关系是 4 3 bf 3 cf abc A b ac B cba C abc D bca 答案 A 4 2013 北京东城高三二模数学理科 已知函数是定义在上的奇函数 且当时 yf x R 0 x 其中是的导函数 若 0f xxfx fx f x 0 30 3 3 3 af log 3 log 3 bf 则 的大小关系是 33 11 log log 99 cf abc A B C D abc cba cab acb 答案 C 5 北京市海淀区 2013 届高三 5 月查缺补漏数学 理 已知函数 sinf xxx 则 11 f 1 f 3 f 的大小关系为 A 1 311 fff B 1 311 fff C 1 113 fff D 1 311 fff 答案 A 二 填空题 2 6 北京东城区普通校 2013 届高三 12 月联考理科数学 已知函数 2 1ln xxaxf 在区间 1 0 内任取两个实数qp 且qp 不等式1 1 1 qp qfpf 恒成立 则实数a的取值范围为 答案 15 解析 表示点与点 1 1 1 1 1 1 f pf qf pf q pqpq 1 1 pf p 连线的斜率 因为 所以 即函数图象在区间 1 1 qf q 0 1p q 112p 112q 内任意两点连线的斜率大于 1 即在内恒成立 由定义域可知 所以 1 2 1fx 1 2 1x 即 所以成立 设 则 21 1 a fxx x 12 1 a x x 12 1 ax x 12 1 yx x 当时 函数的最大值为 15 所以 即 22 37 2312 48 yxxx 12x 2 37 2 48 yx 15a a的取值范围为 15 7 北京东城区普通校 2013 届高三 12 月联考理科数学 若曲线 2 1 2 3 2 xxy的某一切线与直线 34 xy平行 则切点坐标为 切线方程为 答案 解析 函数的导数为 已知直线的斜率 由 1 2 42yx 31yx 43yx 4k 解得切点的横坐标 所以 即切点坐标为 切线方程为 即314x 1x 2y 1 2 24 1 yx 42yx 8 2013 北京顺义二模数学理科试题及答案 设定义在上的函数是最小正周期为的偶函数 R xf 2 是的导函数 当时 当且时 则 x f xf 0 x 10 xf 0 x 2 x 0 2 xfx 函数在上的零点个数为 xxfycos 3 3 答案 6 9 北京北师特学校 203 届高三第二次月考理科数学 已知函数 32 6 1f xxmxmx 既存在 极大值又存在极小值 则实数m的取值范围是 答案 或 解析 函数的导数为 要使函数 既存在极6m 3m 2 32 6 fxxmxm f x 大值又存在极小值 则有两个不同的根 所以判别式 即 所以 0fx 0 2 412 6 0mm 解得或 2 3180mm 6m 3m 3 10 2013 北京丰台二模数学理科试题及答案 曲线在处的切线方程是 在 1 f xx x 1 2 x x x0处的切线与直线和 y 轴围成三角形的面积为 yx 答案 3x y 4 0 2 11 2009 高考 北京理 设是偶函数 若曲线在点处的切线的斜率为 1 则该曲 f x yf x 1 1 f 线在处的切线的斜率为 1 1 f 答案 1 解析 本题主要考查导数与曲线在某一点处切线的斜率的概念 属于基础知识 基本运算 的考查 取 如图 采用数形结合法 2 f xx 易得该曲线在处的切线的斜率为 1 1 f 1 故应填 1 三 解答题 12 北京市东城区普通高中示范校 2013 届高三 3 月联考综合练 习 二 数学 理 试题 本小题满分 13 分 设 axxxxf2 2 1 3 1 23 1 若 xf在 3 2 上存在单调递增区间 求a的取值范围 2 当20 a时 xf在 4 1 上的最小值为 3 16 求 xf在该区 间上的最大值 答案 解答 1 axaxxxf2 4 1 2 1 2 22 2 分 xf 在 3 2 上存在单调递增区间 存在 3 2 的子区间 nm 使得 nmx 时0 xf xf 在 3 2 上单调递减 0 3 2 f 即02 9 2 3 2 af 解得 9 1 a 当 9 1 a时 xf在 3 2 上存在单调递增区间 6 分 2 令0 xf 20 a 2 811 1 a x 2 811 2 a x xf在 21 xx上单调递减 在 21 xx上单调递增 4 20 a 41 21 xx xf在 2 1 x上单调递增 在 4 2 x上单调递减 8 分 所以 xf的最大值为 2 xf 06 2 27 14 aff 3 16 3 40 84 af 10 分 解得21 2 xa 3 10 2 2 fxfxf的最大值为 13 分 13 北京市顺义区 2013 届高三第一次统练数学理科试卷 解析 设函数 12 0 3 1 23 bbxxgaaxxxf I 若曲线与曲线在它们的交点处具有公共切线 求的值 xfy xgy c 1ba II 当时 若函数在区间内恰有两个零点 求的取值范围 ba21 xgxf 0 2 a III 当时 求函数在区间上的最大值 121 ba xgxf 3 tt 答案 解 I bxxgaxxf2 2 因为曲线与曲线在它们的交点处具有公共切线 所以 且 xfy xgy c 1 11gf 11gf 即 且 12 3 1 bbaba21 解得 3 1 3 1 ba II 记 当时 xgxfxh ba21 aaxx a xxh 23 2 1 3 1 axxaxaxxh 11 2 令 得 0 x h0 1 21 axx 当变化时 的变化情况如下表 x xhxh x 1 1 a 1 a a x h 0 0 xh 极大值 极小值 5 所以函数的单调递增区间为 单调递减区间为 xh 1 a a 1 故在区间内单调递增 在区间内单调递减 xh 1 2 0 1 从而函数在区间内恰有两个零点 当且仅当 xh 0 2 解得 00 01 02 h h h 3 1 0 a 所以的取值范围是 a 3 1 0 III 记 当时 xgxfxh 121 ba 1 3 1 3 xxxh 由 II 可知 函数的单调递增区间为 单调递减区间为 xh 1 1 1 1 当时 即时 在区间上单调递增 所以在区间上的最大值为13 t4 t xh 3 tt xh 3 tt 583 3 1 133 3 1 3 23 3 tttttth 当且 即时 在区间上单调递增 在区间上单调1 t131 t24 t xh 1 t 3 1 t 递减 所以在区间上的最大值为 xh 3 tt 3 1 1 h 当且 即时 t 30 即 0fx 4 分 当3 0 xx 时 g x 5 所以函数 f x 在区间 5 上的 最大值是 5 5e 14 分 21 北京市昌平区 2013 届高三上学期期末考试数学理试题 本小题满分 13 分 已知函数 32 4f xxax a R 若函数 xfy 的图象在点P 1 1 f 处的切线的倾斜角为 4 求 f x在 1 1 上的最小值 若存在 0 0 x 使0 0 xf 求a的取值范围 答案 解 I 23 2 axxxf 1 分 根据题意 1 tan1 321 2 4 faa 即 3 分 此时 32 24f xxx 则 2 34fxxx 令 12 4 00 3 fxxx 得 x1 1 0 0 0 1 1 fx 7 0 1 f x 1 4 3 6 分 当 1 1x 时 f x最小值为 04f 7 分 II 3 2 3 a xxxf 若0 0 0 0 axfxf x 当时在上单调递减 又 0 4 0 4 fxf x 则当时 00 0 0 0 axf x 当 时不存在使 10 分 若 22 0 0 0 0 33 aa axfxxfx 则当时当时 14 从而 xf在 0 2 3 a 上单调递增 在 2 3 a 上单调递减 4 27 4 4 9 4 27 8 3 2 0 333 max aaaa fxfx时当 根据题 意 3 3 4 40 27 3 27 a aa 即 13 分 综上 a的取值范围是 3 22 2013 届北京丰台区一模理科 已知函数 1 f x xa 2 3g xbxx 若曲线在点 1 0 处的切线斜率为 0 求 a b 的值 h xf xg x 当 且 ab 8 时 求函数的单调区间 并求函数在区间 2 1 上的最小值 3 a g x x f x 答案 解 函数 h x 定义域为 x x a 1 分 则 3 分 2 1 23 h xfxg xbx xa h x 在点 1 0 处的切线斜率为 0 即 解得或 6 分 1 0 1 0 h h 2 1 30 1 1 230 1 b a b a 0 2 a b 4 3 6 a b 记 x 则 x x a bx2 3x x a g x f x ab 8 所以 x a 8 b a 2 8 3 xxaxx a 22 11 24223 43 6 xxaxaxaxa aa 令 得 或 8 分 0 x 3 4 xa 1 6 xa 因为 所以 3 a 31 46 aa 故当 或时 当时 3 4 xa 1 6 xa 0 x 31 46 axa 0 x 函数 x 的单调递增区间为 31 46 aaaa 单调递减区间为 10 分 31 46 aa 3 a 39 44 a 1 62 a 15 当 即时 x 在 2 1 单调递增 2 6 a 12a x 在该区间的最小值为 11 分 64 2 446a a 当时 即 21 6 a 612a x 在 2 单调递减 在单调递增 6 a 1 6 a x 在该区间的最小值为 12 分 6 a 2 25 108 a 当时 即时 1 6 a 36a x 在 2 1 单调递减 x 在该区间的最小值为 13 分 8 1 11 3a a 综上所述 当时 最小值为 当时 最小值为 当时 36a 8 11 3a a 612a 2 25 108 a 12a 最小值为 不综述者不扣分 不综述者不扣分 64 446a a 23 北京市海淀区 2013 届高三上学期期中练习数学 理 试题 已知函数 322 11 21 32 f xxaxaa x 若在处取得极大值 求实数的值 f x1x a 若 直线都不是曲线的切线 求的取值范围 m Rykxm yf x k 若 求在区间上的最大值 1a f x 0 1 答案 解 因为 22 21 fxxaxaa 1 xaxa 令 得 0fx 1 1 xa 2 xa 所以 fx f x 随x的变化情况如下表 x a a 1 a a 1a 1 a fx 0 0 f x A 极大值A极小值A 所以 1a 16 II 因为 2 211 24 a fxx 因为 直线都不是曲线的切线 m R ykxm xfy 所以对成立 2 211 24 a fxxk Rx 只要的最小值大于 fx k 所以 1 4 k III 因为所以 1 a 10 a 当时 对成立 1a 0fx 0 1 x 所以当时 取得最大值 1x f x 2 1 1 6 fa 当时 在时 单调递增 01a 0 xa 0fx f x 在时 单调递减 1 xa 0fx f x 所以当时 取得最大值 xa f x 32 11 32 f aaa 当时 在时 单调递减 0a 0 1 x 0fx f x 所以当时 取得最大值 0 x f x 0 0f 当时 在时 单调递减 10a 0 1 xa 0fx f x 在时 单调递增 1 1 xa 0fx f x 又 2 1 0 0 1 6 ffa 当时 在取得最大值 6 1 6 a f x 1x 2 1 1 6 fa 当时 在取得最大值 6 0 6 a f x 0 x 0 0f 当时 在 处都取得最大值 6 6 a f x 0 x 1x 0 综上所述 当或时 取得最大值 1a 6 1 6 a f x 2 1 1 6 fa 17 当时 取得最大值 01a f x 32 11 32 f aaa 当时 在 处都取得最大值 6 6 a f x 0 x 1x 0 当时 在取得最大值 6 0 6 a f x 0 x 0 0f 24 2013 北京昌平二模数学理科试题及答案 本小题满分 13 分 已知函数 2 1 ln 0 2 f xxax a 若求在处的切线方程 2 a f x 1 1 f 求在区间上的最小值 f x 1 e III 若在区间上恰有两个零点 求的取值范围 f x 1 e a 答案 解 I 2 a 2 12 2ln 2 f xxx fxx x 1 1 1 1 2 ff 在处的切线方程为 f x 1 1 f2230 xy 由 2 axa fxx xx 由及定义域为 令 0a 0 0 fxxa 得 若在上 在上单调递增 1 01 aa 即 1 e 0fx xf 1 e 因此 在区间的最小值为 f x 1 e 1 1 2 f 若在上 单调递减 在上 单 2 1e 1e aa 即1 a 0fx xf e a 0fx xf 调递增 因此在区间上的最小值为 f x 1 e 1 1 ln 2 faaa 若在上 在上单调递减 2 e e aa 即 1 e 0fx xf 1 e 因此 在区间上的最小值为 f x 1 e 2 1 e e 2 fa 综上 当时 当时 01a min 1 2 fx 2 1ea min 1 1 ln 2 fxaa 当时 2 ea 2 min 1 e 2 fxa III 由 II 可知当或时 在上是单调递增或递减函数 不可能存在两个零点 01a 2 ea xf 1 e 当时 要使在区间上恰有两个零点 则 2 1ea f x 1 e 18 即 此时 2 1 1 ln 0 2 1 1 0 2 1 e e0 2 aa f fa 2 e 1 e 2 a a 2 1 ee 2 a 所以 的取值范围为 a 2 1 e e 2 25 北京市石景山区 2013 届高三一模数学理试题 已知函数 f x ax 1 1n x a R I 讨论函数 f x 的单调区间 II 若函数 f x 在 x l 处取得极值 对 x 0 f x bx 2 恒成立 求实数 b 的取值范围 答案 26 2013 北京东城高三二模数学理科 已知函数 ln a f xx x 0 a 求的单调区间 f x 如果是曲线上的任意一点 若以 为切点的切线的斜率恒成立 求 00 P xy yf x 00 P xy 1 2 k 实数的最小值 a 19 讨论关于的方程的实根情况 x 3 2 1 22 xbxa f x x 答案 共 14 分 解 定义域为 ln a f xx x 0 则 22 1 axa fx xxx 因为 由得 由得 0a 0 fx xa 0 fx 0 xa 所以的单调递增区间为 单调递减区间为 f x a 0 a 由题意 以为切点的切线的斜率满足 00 P xyk 0 0 2 0 1 2 xa kfx x 0 0 x 所以对恒成立 又当时 2 00 1 2 axx 0 0 x 0 0 x 2 00 11 22 xx 所以的最小值为 a 1 2 由题意 方程化简得 3 2 1 22 xbxa f x x 2 1 ln 2 bxx 1 2 0 x 令 则 2 11 ln 22 h xxxb 1 1 1 xx h xx xx 当时 当时 0 1 x 0h x 1 x 0h x 所以在区间上单调递增 在区间上单调递减 h x 0 1 1 所以在处取得极大值即最大值 最大值为 h x1x 2 11 1 ln11 22 hbb 所以 当 即时 的图象与轴恰有两个交点 0b 0b yh x x 方程有两个实根 3 2 1 22 xbxa f x x 当时 的图象与轴恰有一个交点 0b yh x x 方程有一个实根 3 2 1 22 xbxa f x x 当时 的图象与轴无交点 0b yh x x 方程无实根 3 2 1 22 xbxa f x x 20 27 2013 北京西城高三二模数学理科 已知函数 其中 32 2 2 2 1 3 f xxxa x a R 若 求曲线在点处的切线方程 2a yf x 1 1 f 求 f x在区间上的最大值和最小值 2 3 答案 解 的定义域为 且 f xR 2 242fxxxa 当时 2a 1 1 3 f 1 2 f 所以曲线在点处的切线方程为 yf x 1 1 f 1 2 1 3 yx 即 6350 xy 解 方程的判别式为 0fx 8a 当时 所以 f x在区间上单调递增 所以 f x在区间 0a 0fx 2 3 2 3 上的最小值是 最大值是 7 2 2 3 fa 3 73fa 当时 令 得 或 0a 0fx 1 2 1 2 a x 2 2 1 2 a x 和的情况如下 f x fx x 1 x 1 x 12 x x 2 x 2 x fx 0 0 f x 故的单调增区间为 单调减区间为 f x 2 1 2 a 2 1 2 a 22 1 1 22 aa 当时 此时 f x在区间上单调递增 所以 f x在区间 02a 2 2x 2 3 2 3 上的最小值是 最大值是 7 2 2 3 fa 3 73fa 当时 此时 f x在区间上单调递减 在区间上单调递增 28a 12 23xx 2 2 x 2 3 x 所以 f x在区间上的最小值是 2 3 2 52 33 aa f xa 因为 14 3 2 3 ffa 所以 当时 f x在区间上的最大值是 当时 f x在区间 14 2 3 a 2 3 3 73fa 14 8 3 a 21 上的最大值是 2 3 7 2 2 3 fa 当时 此时 f x在区间上单调递减 8a 12 23xx 2 3 所以 f x在区间上的最小值是 最大值是 2 3 3 73fa 7 2 2 3 fa 综上 当时 f x在区间上的最小值是 最大值是 2a 2 3 7 2 3 a 73a 当时 f x在区间上的最小值是 最大值是 14 2 3 a 2 3 52 33 aa a 73a 当时 f x在区间上的最小值是 最大值是 14 8 3 a 2 3 52 33 aa a 7 2 3 a 当时 f x在区间上的最小值是 最大值是 8a 2 3 73a 7 2 3 a 28 2013 届北京海滨一模理科 已知函数 其中为常数且 在处取 2 lnf xxaxbx a b0a 1x 得极值 I 当时 求的单调区间 1a f x II 若在上的最大值为 求的值 f x 0 e1a 答案 解 I 因为所以 2 分 2 ln f xxaxbx 1 2fxaxb x 因为函数在处取得极值 2 lnf xxaxbx 1x 3 分 1 120fab 当时 1a 3b 2 231 xx fx x 随的变化情况如下表 fxf x x x 1 0 2 1 2 1 1 2 11 fx 0 0 f x A 极大值A 极小值 A 5 分 22 所以的单调递增区间为 f x 1 0 21 单调递减区间为 6 分 1 1 2 II 因为 2 22 1 1 21 1 axaxaxx fx xx 令 7 分 0fx 12 1 1 2 xx a 因为在 处取得极值 所以 f x 1x 21 1 1 2 xx a 当时 在上单调递增 在上单调递减 1 0 2a f x 0 1 1 e 所以在区间上的最大值为 令 解得 9 分 f x 0 e 1 f 1 1f 2a 当 0a 2 1 0 2 x a 当时 在上单调递增 上单调递减 上单调递增 1 1 2a f x 1 0 2a 1 1 2a 1 e 所以最大值 1 可能在或处取得 1 2 x a ex 而 2 111111 ln 21 ln10 222224 faa aaaaaa 所以 解得 11 分 2 e lne e 21 e1faa 1 e2 a 当时 在区间上单调递增 上单调递减 上单调递增 1 1e 2a f x 0 1 1 1 2a 1 e 2a 所以最大值 1 可能在或处取得 1x ex 而 1 ln1 21 0faa 所以 2 e lne e 21 e1faa 解得 与矛盾 12 分 1 e2 a 2 1 1e 2 x a 23 当时 在区间上单调递增 在单调递减 2 1 e 2 x a f x 0 1 1 e 所以最大值 1 可能在处取得 而 矛盾 1x 1 ln1 21 0faa 综上所述 或 13 分 1 2 a e 2a 29 2011 年高考 北京理 已知函数 2 x k f xxke 求的单调区间 f x 若对任意的 都有 求的取值范围 0 x 1 f x e k 答案 命题立意 本题考查利用导数研究函数的单调性问题以及利用函数的单调性与最值解答不等式 恒成立问题 学会分类讨论 综合解答函数 不等式问题 解析 令 得 22 1 x k fxxke k 0fx xk 当时 与的情况如下 0k f x fx x k k k k k k fx 0 0 f x A 21 4k e A0A 所以 的单调递增区间是和 单调递减区间是 f x k k k k 当时 与的情况如下 0k f x fx x k k kk k k fx 0 0 f x A0A 21 4k e A 所以 的单调递减区间是和 单调递增区间是 f x k k kk 当时 因为 所以不会有 0k 1 1 1 k k f ke e 0 x 1 f x e 当时 由 知在上的最大值是 0k f x 0 2 4 k fk e 所以 等价于 解得 0 x 1 f x e 2 41 k fk ee 1 0 2 k 所以当 时 的取值范围 0 x 1 f x e k 1 0 2 30 北京市房山区 2013 届高三上学期期末考试数学理试题 本小题满分 13 分 已知函数 1 2 x axb xf 若函数在处取得极值 求的值 f x1x 2 a b 24 当时 讨论函数的单调性 2 21ba f x 答案 1 分 2 22 1 2 1 a xx bax fxxR x 2 22 2 1 axbxa x 依题意有 3 分 22 2 1 0 11 aba f 2 1 2 11 ba f 解得 5 分 0b 4a 经检验 符合题意 所以 4 0ab 4 0ab 当时 2 21ba 22 2222 1 1 1 1 axaxaaxxa fx xx 当时 解 得0a 22 1 x fx x 0fx 0 x 当时 当时 0 x 0fx 0 x 0fx 所以减区间为 增区间为 7 分 0 0 当时 解 得 9 分0a 0fx 12 1 xxa a 当时 0a 1 a a 当或时 当时 1 x a xa 0fx 1 xa a 0fx 所以增区间为 减区间为 11 分 1 a a 1 a a 当时 0a 1 a a 当或时 当时 xa 1 x a 0fx 1 xa a 0fx 所以增区间为 减区间为 13 分 1 a a a 1 a 25 综上所述 当时 减区间为 增区间为 0a f x 0 0 当时 增区间为 减区间为 0a f x 1 a a 1 a a 当时 增区间为 减区间为 0a 1 a a a 1 a 31 2013 北京朝阳二模数学理科试题 已知函数 mx f x x 2 1 1 m 0 2 e ax g xxa R 求函数的单调区间 f x 当时 若对任意 恒成立 求的取值范围 m 0 12 0 2 x x 12 f xg x a 答案 本小题满分 1 解 函数的定义域为 f xR mxmxx fx xx 2 2222 111 11 当时 当变化时 的变化情况如下表 m 0 x fx f x x 1 11 1 fx f x AAA 所以 函数的单调递增区间是 单调递减区间是 f x 11 1 1 当时 当变化时 的变化情况如下表 m 0 x fx f x x 1 11 1 fx f x AAA 所以 函数的单调递增区间是 单调递减区间是 f x 1 1 11 依题意 当时 对于任意 恒成立 等价于 当 时 对于m 0 12 0 2 x x 12 f xg x m 0 任意 成立 0 2 x minmax f xg x 当时 由 知 函数在上单调递增 在上单调递减 m 0 f x 0 1 1 2 26 因为 所以函数的最小值为 0 1f 2 2 11 5 m f f x 0 1f 所以应满足 max 1g x 因为 所以 2 eaxg xx 2 2 eaxg xaxx 当时 函数 0a 2 g xx 0 2 x max 2 4g xg 显然不满足 故不成立 max 1g x 0a 当时 令得 0a 0g x 1 0 x 2 2 x a 当 即时 在上 所以函数在上单调递增 2 2 a 10a 0 2 0g x g x 0 2 所以函数 2 max 2 4e a g xg 由得 所以 2 4e1 a ln2a 1ln2a 当 即时 2 02 a 1a 在上 在上 2 0 a 0g x 2 2 a 0g x 所以函数在上单调递增 在上单调递减 g x 2 0 a 2 2 a 所以 max 22 24 e g xg aa 由得 所以 22 4 1 ea 2 e a 1a 当 即时 显然在上 2 0 a 0a 0 2 0g x 函数在上单调递增 且 g x 0 2 2 max 2 4e a g xg 显然不成立 故不成立 2 max 4e1 a g x 0a 综上所述 的取值范围是 a ln2 32 北京市海淀区 2013 届高三 5 月查缺补漏数学 理 已知函数 2 1 6ln 2 2 f xaxx 在 2x 处有极值 求函数 f x的单调区间 若直线ykx 与函数 fx有交点 求实数k的取值范围 答案 解 因为 2 1 6ln 2 2 f xaxx 27 所以 6 2 a fxx ax 由 2 0f 可得 2a 经检验2a 时 函数 f x在2x 处取得极值 2 1 6ln 22 2 f xxx 2 66 3 2 111 xxxx fxx xxx 而函数 f x的定义域为 1 当x变化时 fx f x的变化情况如下表 x 1 2 2 2 fx 0 f x A极小值A 由表可知 f x的单调减区间为 1 2 f x的单调增区间为 2 若 fxkx 则有 22 6xxkxkx 其中1x 所以 2 1 1 60kxkx 有大于1 的根 显然1k 设 2 1 1 6g xkxkx 则其对称轴为 1 2 x 根据二次函数的性质知道 只要 2 1 24 1 0kk 解得25k 或1k 33 2013 届北京市高考压轴卷理科数学 已知函数 1 ln x xba xf在点 1 1 f处的切线方程为 2 yx I 求a b的值 II 对函数 xf定义域内的任一个实数x x m xf 恒成立 求实数m的取值范围 答案 解 由 2 1 ln ln 1 1 b xabx abx x f xfx xx 28 而点 1 1 f在直线2 yx上1 1 f 又直线2 yx的斜率为1 1 1f 故有 1 2 1 4 2 1 2 b a ab a 6 由 得 0 1 ln2 x x x xf 由 x m xf 及m x xxx x 1 ln2 0 令 22 1 ln1 1 ln2 1 ln1 1 ln2 x xx x xxxxx xg x xxx xg 令 1 1ln 10 0 h xxxh xx x 故 xh在区间 0 上是减函数 故当10 x时 0 1 hxh 当1 x时 0 1 hxh 从而当10 x时 0g x 当1 x时 0 xg xg 在 1 0 是增函数 在 1 是减函数 故1 1 max gxg 要使m x xxx 1 ln2 成立 只需1 m 故m的取值范围是 1 14 34 2012 北京理 18 已知函数 2 10f xaxa 3 g xxbx 1 若曲线 yf x 与曲线 yg x 在它们的交点 1 c处具有公共切线 求a b的值 2 当 2 4ab 时 求函数 f xg x 的单调区间 并求其在区间 1 上的最大值 答案 解 由 1c 为公共切点可得 2 1 0 f xaxa 则 2fxax 1 2ka 3 g xxbx 则 2 3fxxb 2 3kb 23ab 又 1 1fa 1 1gb 11ab 即ab 代入 式可得 3 3 a b 2 2 4ab 设 322 1 1 4 h xf xg xxaxa x 则 22 1 32 4 h xxaxa 令 0h x 解得 1 2 a x 2 6 a x 29 0a 26 aa 原函数在 2 a 单调递增 在 26 aa 单调递减 在 6 a 上单调递增 若1 2 a 即2a 时 最大值为 2 1 4 a ha 若1 26 aa 即26a 时 最大值为1 2 a h 若1 6 a 时 即6a 时 最大值为1 2 a h 综上所述 当 02a 时 最大值为 2 1 4 a ha 当 2 a 时 最大值为1 2 a h 35 北京市东城区普通校 2013 届高三 3 月联考数学 理 试题 已知函数 xaaxxxfln 1 2 1 2 若2 a 求函数 xf在 1 1 f 处的切线方程 讨论函数 xf的单调区间 答案 解 1 当2 a时 xxxxfln2 2 1 2 x xxf 1 2 2 3 2 2 1 1 f 0 1 f 切线方程为 2 3 y 4 分 2 定义域 0 x axx x aaxx x a axxf 1 1 1 1 2 令0 xf 解得1 1 x 1 2 ax 当时2 a 0 xf恒成立 则 0是函数的单调递增区间 当2 a时 11 a 在区间 0 1 和 1a 上 0fx 在 1 1 a 区间上 0fx 故 f x的单调递增区间是 0 1 和 1a 单调递减区间是 1 1 a 30 当21 a时 在区间 0 1 a 和 1 上 0fx 在 1 1 a 区间上 0fx 故 f x的单调递增区间是 0 1 a 和 1 单调递减区间是 1 1 a 当1 a时 01 a 在区间 0 1 上 0fx 在区间 1 上 0fx 故 f x的 单调递增区间是 1 单调递减区间是 0 1 13 分 36 2013 北京丰台二模数学理科试题及答案 已知函数 2 1 2ln 21 2 f xxaxax aR 当时 求函数 f x 在 1 e 上的最大值和最小值 1 2 a 若 0 讨论的单调性 a f x 答案 解 的定义域为 当时 f x 0 x x 2 1 a 2 2 2 x xx xf 令在 1 e 上得极值点 0 fx 2 x x 2 1 2 2 e x f 0 xf 增12ln2 减 4 2 4 1 1 2 e eff 1 eff maxmin 1 2 2ln2 1 1 4 f xff xf 2 1 xax fx x 当时 由 0 得 0 x 所以 f x 的单调增区间是 0 2 2 1 0 a fx a 11 a 由 0 得 2 x0 得 0 x2 所以 f x 的单调增区间是 0 2 1 a fx 1 a 1 a 2 由 0 得 x 2 所以 f x 的单调减区间是 2 fx 1 a 1 a 37 2010 年高考 北京理 已知函数 In 1 0 fxxx 2 2 k xk 当 2 时 求曲线 在点 1 1 处的切线方程 kyfxf 求 的单调区间 fx 31 答案 解 I 当时 2k 2 ln 1 f xxxx 1 12 1 fxx x 由于 1 ln2f 3 1 2 f 所以曲线在点处的切线方程为 yf x 1 1 f 3 ln2 1 2 yx 即 322ln230 xy II 1 1 x kxk fx x 1 x 当时 0k 1 x fx x 所以 在区间上 在区间上 1 0 0fx 0 0fx 故得单调递增区间是 单调递减区间是 f x 1 0 0 当时 由 得 01k 1 0 1 x kxk fx x 1 0 x 2 1 0 k x k 所以 在区间和上 在区间上 1 0 1 k k 0fx 1 0 k k 0fx 故得单调递增区间是和 单调递减区间是 f x 1 0 1 k k 1 0 k k 当时 故得单调递增区间是 1k 2 1 x fx x f x 1 当时 得 1k 1 0 1 x kxk fx x 1 1 1 0 k x k 2 0 x 所以没在区间和上 在区间上 1 1 k k 0 0fx 1 0 k k 0fx 故得单调递增区间是和 单调递减区间是 f x 1 1 k k 0 1 0 k k 38 2013 北京顺义二模数学理科试题及答案 已知函数 其中为正实数 2 1ax e xf x a 718 2 e I 若是的一个极值点 求的值 2 1 x xfy a II 求的单调区间 xf 答案 解 2 2 2 1 12 ax eaxax xf x I 因为是函数的一个极值点 2 1 x xfy 所以 因此 解得 0 2 1 f 01 4 1 aa 3 4 a 32 经检验 当时 是的一个极值点 故所求的值为 3 4 a 2 1 x xfy a 3 4 II 令得 0 1 12 2 2 2 a ax eaxax xf x 0 x f012 2 axax i 当 即时 方程 两根为 042 2 aa1 a a aaa x a aaa a aaa x 2 2 22 1 2 442 此时与的变化情况如下表 x f xf x a aaa 2 a aaa 2 a aaa a aaa 22 a aaa 2 2 a aaa x f 0 0 xf 极大值 极小值 所以当时 的单调递增区间为 1 a xf a aaa 2 2 a aaa 的单调递减区间为 xf a aaa a aaa 22 ii 当时 即时 044 2 aa10 a012 2 axax 即 此时在上单调递增 0 x f xf 所以当时 的单调递增区间为 10 a xf 39 北京市海淀区 2013 届高三上学期期末考试数学理试题 已知函数 e 1 ax f x x I 当1a 时 求曲线 f x在 0 0 f处的切线方程 求函数 f x的单调区间 答案 解 当 1a 时 e 1 ax f x x 2 e 2 1 x x fx x 2 分 又 0 1f 0 2f 所以 f x 在 0 0 f 处的切线方程为 21yx 4 分 II 2 e 1 1 ax axa fx x 33 当 0a 时 2 1 0 1 fx x 又函数的定义域为 1 x x 所以 f x 的单调递减区间为 1 1 6 分 当 0a 时 令 0fx 即 1 0axa 解得 1a x a 7 分 当 0a 时 1 1 a x a 所以 fx f x 随x的变化情况如下表 x 1 1 1 1 a a 1a a 1 a a fx 无定义 0 f x AA 极小值 A 所以 f x 的单调递减区间为 1 1 1 a a 单调递增区间为 1 a a 10 分 当 0a 时 1 1 a x a 所以 fx f x 随x的变化情况如下表 x 1 a a 1a a 1 1 a a 1 1 a a fx 0 无定义 f x A 极大值 AA 所以 f x 的单调递增区间为 1 a a 34 单调递减区间为 1 1 a a 1 13 分 40 北京市朝阳区 2013 届高三上学期期末考试数学理试题 已知函数 1 2ln f xa xx a x R 若2a 求曲线 yf x 在点 1 1 f处的切线方程 求函数 f x的单调区间 设函数 a g x x 若至少存在一个 0 1 e x 使得 00 f xg x 成立 求实数a的取值范围 答案 解 函数的定义域为 0 2 22 122 1 axxa fxa xxx 1 分 当2a 时 函数 1 2 2lnf xxx x 1 0f 1 2 f 所以曲线 yf x 在点 1 1 f处的切线方程为02 1 yx 即220 xy 3 分 函数 f x的定义域为 0 1 当0a 时 2 20h xaxxa 在 0 上恒成立 则 0fx 在 0 上恒成立 此时 f x在 0 上单调递减 4 分 2 当0a 时 2 44a 若01a 由 0fx 即 0h x 得 2 11 a x a 或 2 11 a x a 5 分 由 0fx 即 0h x 得 22 1111aa x aa 6 分 所以函数 f x的单调递增区间为 2 11 0 a a 和 2 11 a a 单调递减区间为 22 1111 aa aa 7 分 35 若1a 0h x 在 0 上恒成立 则 0fx 在 0 上恒成立 此时 f x 在 0 上单调递增 8 分 因为存在一个 0 1 e x 使得 00 f xg x 则 00 2lnaxx 等价于 0 0 2ln x a x 9 分 令 2ln x F x x 等价于 当 1 ex 时 minaF x 对 F x求导 得 2 2 1 ln x F x x 10 分 因为当 1 e x 时 0F x 所以 F x在 1 e 上单调递增 12 分 所以 min 1 0F xF 因此0a 13 分 另解 设 2lnF xf xg xaxx 定义域为 0 22ax Fxa xx 依题意 至少存在一个 0 1 e x 使得 00 f xg x 成立 等价于当 1 ex 时 max0F x 9 分 1 当0a 时 0Fx 在 1 e恒成立 所以 F x在 1 e单调递减 只要 max 10F xFa 则不满足题意 10 分 2 当0a 时 令 0Fx 得 2 x a 当 2 01 a 即2a 时 在 1 e上 0Fx 所以 F x在 1 e上单调递增 所以 max ee2F xFa 由e20a 得 2 e a 所以2a 11 分 当 2 e a 即 2 0 e a 时 36 在 1 e上 0Fx 所以 F x在 1 e单调递减 所以 max 1F xFa 由0a 得 2 0 e a 12 分 当 2 1e a 即 2 2 e a 时 在 2 1 a 上 0Fx 在 2 e a 上 0Fx 所以 F x在 2 1 a 单调递减 在 2 e a 单调递增 max0F x 等价于 10F 或 e0F 解得0a 所以 2 2 e a 综上所述 实数a的取值范围为 0 13 分 41 北京北师特学校 203 届高三第二次月考理科数学 已知函数 2 1 a x f x x 其中0a 求函数 f x的单调区间 若直线10 xy 是曲线 yf x 的切线 求实数a的值 设 2 ln g xxxx f x 求 g x在区间 1 e 上的最大值 其中e为自然对数的底数 答案 解 2 43 2 1 2 axax x axa fx xx 0a 令 0fx 则2x 又 f x的定义域是0 x x 0 0 2 2 2 fx 0 f x AAA 设切点为 00 xy则 00 0 02 0 0 3 0 1 1 2 1 yx a x y x ax x 解得 0 1 1 x a ln 1 g xxxa x ln1g xxa 37 令 0g x 则ln1xa 1a xe 当01a 时 g x在 1 e单调增加 max g xg eeaea 当12a 时 g x在 1 1 a e 单调减少 在 1 a ee 单调增加 若1 1 e a e 时 max g xg eeaea 若2 1 e a e 时 max 0 0g xg 当2a 时 g x在 1 e上单调递减 max 0 0g xg 综上所述 0 1 e a e 时 max g xg eeaea 1 e a e 时 max 0 0g xg 42 北京四中 2013 届高三上学期期中测验数学 理 试题 已知函数 1 若 试确定函数的单调区间 2 若函数在其图象上任意一点处切线的斜率都小于 求实数的取值范围 3 若 求的取值范围 答案 解 当时 所以 由 解得 由 解得或 所以函数的单调增区间为 减区间为和 解 因为 由题意得 对任意恒成立 即对任意恒成立 38 设 所以 所以当时 有最大值为 因为对任意 恒成立 所以 解得或 所以 实数的取值范围为或 III 43 北京市朝阳区 2013 届高三第一次综合练习理科数学 已知函数 2 2 ln22f xxaxaxa 其中2a 求函数 f x的单调区间 若函数 f x 在 0 2 上有且只有一个零点 求实数a的取值范围 答案 本小题满分 1 解 函数定义域为 0 x x 且 2 1 2 2 axa x fxxa xx 当 0a 即 0 2 a 时 令 0fx 得0 1x 函数 f x 的单调递减区间为 0 1 令 0fx 得 1x 函数 f x 的单调递增区间为 1 当 01 2 a 即0 2a 时 令 0fx 得 0 2 a x 或 1x 函数 f x 的单调递增区间为 0 2 a 1 令 0fx 得 1 2 a x 函数 f x 的单调递减区间为 1 2 a 当 1 2 a 即 2a 时 0fx 恒成立 函数 f x 的单调递增区间为 0 当 0a 时 由 可知 函数 f x 的单调递减区间为 0 1 f x 在 1 2 单调递增 所以 f x 在 0 2 上的最小值为 1 1fa 39 由于 2 242222 1121 2 1 10 eeeeee aa f 要使 f x 在 0 2 上有且只有一个零点 需满足 1 0f 或 1 0 2 0 f f 解得 1a 或 2 ln2 a 当0 2a 时 由 可知 当 2a 时 函数 f x 在 0 2 上单调递增 且 4 84 14 e 20 2 22ln20 ee ff 所以 f x 在 0 2 上有且只有一个零点 当0 2a 时 函数 f x 在 1 2 a 上单调递减 在 1 2 上单调递增 又因为 1 10fa 所以当 2 2 a x 时 总有 0f x 因为 22 e12 a a a 所以 22222222 e e e 2 lne22 0 aaaa aaaa faaa 所以在区间 0 2 a 内必有零点 又因为 f x 在 0 2 a 内单调递增 从而当0 2a 时 f x 在 0 2 上有且只有一个零点 综上所述 0 2a 或 2 ln2 a 或 1a 时 f x 在 0 2 上有且只有一个零点 44 北京市通州区 2013 届高