北京市海淀区2013届高三数学上学期期末考试试题 文 新人教B版

1 北京市海淀区北京市海淀区 20132013 届高三第一学期期末考试届高三第一学期期末考试 数学 文 试题数学 文 试题 2013 12013 1 本试卷共 4 页 150 分 考试时长 120 分钟 考生务必将答案答在答题卡上 在试卷上 作答无效 考试结束后 将本试卷和答题卡一并交回 一 选择题 本大题共 8 小题 每小题 5 分 共 40 分 在每小题列出的四个选项中 选出符合 题目要求的一项 1 复数化简的结果为 2 1i A B C D 1i 1i 1i 1i 答案 A 解析 选 A 22 1 2 1 1 1 1 1 2 ii i iii 2 向量 若 则实数 的值为 1 1 2 t ab abt A B C D 2 1 12 答案 A 解析 由得即 解得 选 A ab0 Aa b1 20t 2t 3 在等边的边上任取一点 则的概率是 ABC BCP 2 3 ABPABC SS A B C D 1 3 1 2 2 3 5 6 答案 C 解析 当时 有 即 则有 2 3 ABPABC SS 121 232 AB PDAB CO AA 2 3 PDCO 要使 则点 P 在线段上 所以根据几何概型可知 2 3 BPBC 2 3 ABPABC SS BP 的概率是 选 C 2 3 ABPABC SS 2 3 BP BC 2 4 点是抛物线上一点 到该抛物线焦点的距离为 则点的横坐标为P 2 4yx P4P A 2 B 3 C 4 D 5 答案 B 解析 抛物线的准线为 根据抛物线的对应可知 到该抛物线焦点的距离等于1x P 到该准线的距离 即 所以 即点的横坐标为 3 选 B P 1 4x 3x P 5 某程序的框图如图所示 执行该程序 若输入的为 则输出 开始 10nS Sp 是 输入 p 结束 输出n S nSS3 否 1nn p24 的的值分别为 n S A B 4 30nS 4 45nS C D 5 30nS 5 45nS 答案 C 解析 第一次循环 第二次循环 24 3 2SSn 24 33 29 3SSn 第三次循环 第四次循环 24 93 318 4SSn 第五次循环 不满足条件 输出24 183 430 5SSn 3024 S 选 C 30 5Sn 6 已知点 且 则直线的方程为 1 0 cos sin AB 3AB AB A 或 B 或33yx 33yx 33 33 yx 33 33 yx C 或 D 或1yx 1yx 22yx 22yx 答案 B 解析 所以 所以 22 cos1 sin22cos3AB 1 cos 2 3 即直线的方程为 所以直线的方程为或 3 tan 3 3 1 3 yx 33 33 yx 者 选 B 33 33 yx 7 已知函数 则下面结论中正确的是 sin sincos cos sincos xxx f x xxx A 是奇函数 B 的值域是 f x f x 1 1 C 是偶函数 D 的值域是 f x f x 2 1 2 答案 D 解析 在坐标系中 做出函数的图象如图 由图象可知选 D f x 8 如图 在棱长为 1 的正方体中 点分别是 1111 ABCDABC D E F 棱的中点 是侧面内一点 若平面 1 BC CC P11 BCC B 1 AP AEF 则线段长度的取值范围是 1 AP A B C D 5 1 2 3 25 42 5 2 2 2 3 答案 B 解析 取的中点 M 的中点 N 连结 可以证明平面平面 11 BC 1 BB 11 AM AN MN 1 AMN 所以点 P 位于线段上 把三角形拿到平面上 则有AEFMN 1 AMN 所以当点 P 位于时 2 11 15 1 22 AMAN 22 112 222 MN M N B1 C1 D1 A1 F E B C D A 4 最大 当 P 位于中点 O 时 最小 此时 所以 1 AP 1 AP 22 1 523 2 244 AO 即 所以线段长度的取值范围是 选 B 111 AOAPAM 1 3 25 42 AP 1 AP 3 25 42 二 填空题 本大题共 6 小题 每小题 5 分 共 30 分 9 的值为 tan225 答案 1 解析 tan225tan 18045 tan451 10 双曲线的渐近线方程为 离心率为 22 1 33 xy 答案 2yx 解析 由双曲线的方程可知双曲线的焦点在轴 所以 x 22 3ab 2 3 6abc 即 所以双曲线的渐近线为 离心率 6c b yxx a 6 2 3 c e a 11 数列是公差不为 0 的等差数列 且 则 n a 268 aaa 5 5 S a 答案 3 解析 在等差数列中 由得 即 所以 268 aaa 11 267adad 1 0ad 1 51 511 54 5 51015 2 3 445 ad Sad aadad 5 12 不等式组表示的平面区域为 直线与区域有公共点 则实数 0 3 1 x xy yx 1ykx 的取值范围为 k 答案 3 解析 做出不等式组对应的区域为三角形 BCD 直线过定点 由图象可 1ykx 0 1 M 知要使直线与区域有公共点 则有直线的斜率 由得 1ykx MC kk 3 1 xy yx 1 2 x y 即 又 所以 即 1 2 C 2 1 3 1 0 MC k 3k 3 13 三棱锥及其三视图中的主视图和左视图如图所示 则棱的长为 DABC BD 答案 4 2 解析 取 AC 的中点 连结 BE DE 由主视图可知 且 BEAC BEDE DCABC 所以 4 2 3 2DCBEAEEC 2222 2 3 2164BCBEEC D A B C 22 主 主 主 2 3 4 主 主 主 6 即 2222 44324 2BDBCDC 14 任給实数定义 设函数 则 a b 0 0 abab ab a ab b lnf xxx 若是公比大于的等比数列 且 1 2 2 ff n a 0 5 1a 则 123781 f af af af af aa 1 a 答案 0e 解析 因为 所以 因为 所以 2ln20 2 2ln2f 11 ln0 22 1 ln 1 2 2ln2 1 2 2 f 所以 若 则有 所以 此时 1 2 2ln22ln20 2 ff 1x 1 ln10 lnf xxx 即 所以 所以 1 01 x 11 ln0 xx 1 ln 1 ln 1 x fxx x x 而 在等比数列中因为 所以 1 lnln0f xfxxxx x 1 0f 5 1a 即 所以 2 5283746 1aa aa aa a 678 432 111 aaa aaa 所以 若 1237811 1 f af af af af af aff a 11 f aa 1 1a 则 即 解得 若 则 1111 lnf aaaa 1 ln1a 1 ae 1 01a 1 11 1 ln a f aa a 即 因为 所以 所以方程无解 综上可知 2 11 lnaa 1 01a 1 ln0a 2 11 lnaa 1 ae 三 解答题 本大题共 6 小题 共 80 分 解答应写出文字说明 演算步骤或证明过程 7 15 本小题满分 13 分 已知函数 三个内角的对边分别为 2 1 3sin coscos 2 f xxxx ABC A B C 且 a b c 1f A I 求角的大小 A 若 求 的值 7a 5b c 16 本小题满分 13 分 某汽车租赁公司为了调查 A B 两种车型的出租情况 现随机抽取这两种车型各 50 辆 分别统计了每辆车在某个星期内的出租天数 统计数据如下表 A 型车 出租天数 34567 车辆数 330575 B 型车 出租天数 34567 车辆数 101015105 I 试根据上面的统计数据 判断这两种车型在本星期内出租天数的方差的大小关系 只 需写出结果 现从出租天数为 3 天的汽车 仅限 A B 两种车型 中随机抽取一辆 试估计这辆汽 车是 A 型车的概率 如果两种车型每辆车每天出租获得的利润相同 该公司需要购买一辆汽车 请你根据 所学的统计知识 给出建议应该购买哪一种车型 并说明你的理由 17 本小题满分 14 分 如图 在直三棱柱中 111 ABCABC 90BAC 且是中点 1 ABACAA EBC I 求证 平面 1 AB 1 AEC 求证 平面 1 BC 1 AEC E C1 B1 A1 C B A 8 18 本小题满分 13 分 已知函数与函数在点处有公共的切线 设 2 11 22 f xx lng xax 1 0 F xf xmg x 0 m I 求的值a 求在区间上的最小值 F x 1 e 19 本小题满分 14 分 已知椭圆 的一个焦点为 左右顶点分别为 M 22 2 1 0 3 xy a a 1 0 F AB 经过点的直线 与椭圆交于 两点 FlMCD 求椭圆方程 当直线 的倾斜角为时 求线段的长 l45 CD 记与的面积分别为和 求的最大值 ABD ABC 1 S 2 S 12 SS 20 本小题满分 13 分 已知函数的定义域为 若在上为增函数 则称 为 f x 0 f x y x 0 f x 一阶比增函数 若是 一阶比增函数 求实数的取值范围 2 f xaxax a 若是 一阶比增函数 求证 f x 12 0 x x 1212 f xf xf xx 若是 一阶比增函数 且有零点 求证 有解 f x f x 2013f x 9 海淀区高三年级第一学期期末练习 数数 学学 文 文 参考答案及评分标准参考答案及评分标准 20132013 1 1 说明 说明 合理答案均可酌情给分 但不得超过原题分数合理答案均可酌情给分 但不得超过原题分数 一 选择题 本大题共选择题 本大题共 8 8 小题小题 每小题每小题 5 5 分分 共共 4040 分 分 题号 12345678 答案 AACBCBDB 二 填空题 本大题共二 填空题 本大题共 6 6 小题小题 每小题每小题 5 5 分分 有两空的小题 第一空有两空的小题 第一空 3 3 分 第二空分 第二空 2 2 分 共分 共 3030 分 分 9 1 10 2yx 11 3 12 3 13 4 2 14 0 e 三 解答题三 解答题 本大题共本大题共 6 6 小题小题 共共 8080 分分 15 本小题满分 13 分 解 I 因为 2 1 3sin coscos 2 f xxxx 31 sin2cos2 22 xx 6 分 sin 2 6 x 又 7 分 sin 2 1 6 f AA 0 A 所以 9 分 7 2 666 A 2 623 AA 由余弦定理 222 2cosabcbcA 得到 所以 11 分 2 492525 cos 3 cc 2 5240cc 解得 舍 或 13 分 3c 8c 所以 8c 10 16 本小题满分 13 分 解 I 由数据的离散程度可以看出 B 型车在本星期内出租天数的方差较大 3 分 这辆汽车是 A 类型车的概率约为 3A33 3A B10313 出租天数为天的型车辆数 出租天数为天的型车辆数总和 这辆汽车是 A 类型车的概率为 7 分 3 13 50 辆 A 类型车出租的天数的平均数为 9 分 3 34305 156775 4 62 50 A x 50 辆 B 类型车出租的天数的平均数为 11 分 3 104 105 156 1075 4 8 50 B x 答案一 一辆 A 类型的出租车一个星期出租天数的平均值为 4 62 B 类车型一个星期 出租天数的平均值为 4 8 选择 B 类型的出租车的利润较大 应该购买 B 型车 13 分 答案二 一辆 A 类型的出租车一个星期出租天数的平均值为 4 62 B 类车型一个星期 出租天数的平均值为 4 8 而 B 型车出租天数的方差较大 所以选择 A 型车 13 分 17 本小题满分 14 分 解 I 连接 AC 1 交 AC1 于点O 连接EO 因为 1 ACC A 1 为正方形 所以O为 AC 1 中点 又E为CB中点 所以EO为 1 ABC 的中位线 所以 1 EOAB 3 分 又EO 平面 1 AEC 1 AB 平面 1 AEC 所以 1 AB 平面 1 AEC 6 分 因为 又E为CB中点 所以 8 分 ABAC AEBC 11 又因为在直三棱柱中 底面 111 ABCABC 1 BB ABC 又底面 所以 AE ABC1 AEBB 又因为 所以平面 1 BBBCB AE 11 BCC B 又平面 所以 10 分 1 BC 11 BCC B AE 1 BC 在矩形中 所以 11 BCC B 111 2 tantan 2 CBCEC C 111 CBCEC C 所以 即 12 分 111 90CBCEC B 11 BCEC 又 所以平面 14 分 1 AEECE 1 BC 11 BCC B 18 本小题满分 13 分 解 I 因为所以在函数的图象上 1 1 0 fg 1 0 f x g x 又 所以 a fxx g x x 1 1 1 fga 所以 3 分 1a 因为 其定义域为 2 11 ln 22 F xxmx 0 x x 5 分 2 mxm F xx xx 当时 0m 2 0 mxm F xx xx 所以在上单调递增 F x 0 所以在上最小值为 7 分 F x 1 e 1 0F 当时 令 得到 舍 0m 2 0 mxm F xx xx 12 0 0 xmxm 当时 即时 对恒成立 1m 01m 0F x 1 e 所以在上单调递增 其最小值为 9 分 F x 1 e 1 0F 当时 即时 对成立 em 2 em 0F x 1 e 所以在上单调递减 F x 1 e 其最小值为 11 分 2 11 e e 22 Fm 12 当 即时 对成立 对成立1em 2 1em 0F x 1 m 0F x e m 所以在单调递减 在上单调递增 F x 1 m e m 其最小值为 13 分 1111 lnln 22222 m Fmmmmmm 综上 当时 在上的最小值为1m F x 1 e 1 0F 当时 在上的最小值为 2 1em F x 1 e 11 ln 222 m Fmmm 当时 在上的最小值为 2 em F x 1 e 2 11 e e 22 Fm 19 本小题满分 14 分 解 I 因为为椭圆的焦点 所以又 1 0 F 1 c 2 3 b 所以所以椭圆方程为 3 分 2 4 a 22 1 43 xy 因为直线的倾斜角为 所以直线的斜率为 1 45 所以直线方程为 和椭圆方程联立得到1yx 消掉 得到 5 分 22 1 43 1 xy yx y 2 7880 xx 所以 1212 88 288 77 xxx x 所以 7 分 2 12 24 1 7 CDkxx 当直线 无斜率时 直线方程为 l1x 此时 面积相等 8 分 33 1 1 22 DC ABDABC 12 0SS 当直线 斜率存在 显然 时 设直线方程为 l0k 1 0 yk xk 设 1122 C x yD xy 和椭圆方程联立得到 消掉得 22 1 43 1 xy yk x y 2222 34 84120kxk xk 显然 方程有根 且 10 分0 22 1212 22 8412 3434 kk xxx x kk 13 此时 122121 2 2 SSyyyy 21