2017—2018学年度第一学期高二理科数学试卷含答案

1 20172017 20182018 学年度第一学期期末考试学年度第一学期期末考试 高二理科数学试卷高二理科数学试卷 答题时间 答题时间 120120 分钟分钟 满分 满分 150150 分 分 一 选择题 本大题共一 选择题 本大题共 1212 小题 每小题小题 每小题 5 5 分 满分分 满分 6060 分 每小题只有一个正分 每小题只有一个正 确选项 请将正确选项填到答题卡处确选项 请将正确选项填到答题卡处 1 设集合 则 1 2 0 Axxx 13 Bxx AB A B 13 xx 11 xx C D 12 xx 23 xx 2 已知抛物线 y2 2px p 0 的准线经过点 1 1 则该抛物线的焦点坐标 为 A 1 0 B 1 0 C 0 1 D 0 1 3 设 x y R 则 x 2 且 y 2 是 x2 y2 4 的 A 充分而不必要条件 B 必要而不充分条件 C 充分必要条件 D 既不充分也不必要条件 4 已知等差数列 an 的公差为 d d 0 且 a3 a6 a10 a13 32 若 am 8 则 m 为 A 12 B 8 C 6 D 4 5 执行如图所示的程序框图 若输入的 n 10 则输出的 S 等于 A B 5 11 10 11 C D 36 55 72 55 6 某学校组织学生参加数学测试 成绩的频率分布直方图如图 数据的分 组依次为 20 40 40 60 60 80 80 100 若低于 60 分的人数 是 15 人 则该班的学生人数是 2 A 45 B 50 C 55 D 60 7 若一个正三棱柱的三视图如图所示 则这个正三棱柱的表面积为 A 318 B 315 C 3824 D 31624 8 已知 a b c 0 a 2 b 3 c 4 则向量 a 与 b 之间的夹角 a b 为 A 30 B 45 C 60 D 以上都不对 9 在长为 10 厘米的线段 AB 上任取一点 G 用 AG 为半径作圆 则圆的面 积介于 36 平方厘米到 64 平方厘米的概率是 A B C D 9 25 16 25 3 10 1 5 10 设 a log2 c 2 则 1 2 logb A a b c B b a c C a c b D c b a 11 在 ABC 中 若 a 2bcosC 则 ABC 的形状一定是 A 直角三角形 B 等腰直角三角形 C 等腰三角形 D 等边三角形 12 设直线 l 过双曲线 C 的一个焦点 且与 C 的一条对称轴垂直 l 与 C 交 于 A B 两点 AB 为 C 的实轴长的 2 倍 则 C 的离心率为 A B 23 C 2 D 3 3 二 填空题 本大题共二 填空题 本大题共 4 4 小题小题 每小题每小题 5 5 分 共分 共 2020 分 分 13 设变量 x y 满足约束条件则 z x 3y 的最小值为 22 2 yx xy x 14 已知命题 p x 0 x 1 ex1 则p 为 15 已知甲 乙 丙三个社区现分别有低收入家庭 360 户 270 户 180 户 若第一批经济适用房中有 90 套住房用于解决这三个社区中 90 户低收入 家庭的住房问题 先采用分层抽样的方法决定各社区户数 则应从甲社 区中抽取低收入家庭的户数为 16 对于下列表格 x 196 197 200 203 204 y 1367 m 所示的五个散点 已知求得的线性回归方程为 0 8x 155 y 则实数 m 的值为 三 解答题三 解答题 本大题共 本大题共 6 6 小题 共小题 共 7070 分分 解答时 应写出必要的文字说明 解答时 应写出必要的文字说明 证明过程或演算步骤 证明过程或演算步骤 17 满分 10 分 某种零件按质量标准分为 1 2 3 4 5 五个等级 现从一批 该零件中随机抽取 20 个 对其等级进行统计分析 得到频率分布表如 下 等级 12345 频率 0 05 m 0 150 35 n 1 在抽取的 20 个零件中 等级为 5 的恰有 2 个 求 m n 2 在 1 的条件下 从等级为 3 和 5 的所有零件中 任意抽取 2 个 求 抽取的 2 个零件等级恰好相同的概率 18 满分 12 分 在等差数列 an 中 a10 30 a20 50 1 求数列 an 的通项公式 2 令 bn 2 证明 数列 bn 为等比数列 1 10 2 n a 3 求数列 nbn 的前 n 项和 Tn 4 19 满分 12 分 某工厂对一批产品进行了抽样检测 如图是根据抽样检测 后的产品净重 单位 克 数据绘制的频率分布直方图 其中产品净重的范围 是 96 106 样本数据分组为 96 98 98 100 100 102 102 104 104 106 已知样本中产品净重小于 100 克的个数是 36 1 求样本容量及样本中净重大于或等于 98 克并且小于 104 克的产品的个数 2 已知这批产品中每个产品的利润 y 单位 元 与产品净重 x 单位 克 的 关系式为求这批产品平均每个的利润 3 9698 5 98104 4 104106 y x x x 20 满分 12 分 已知点 M 在椭圆 C 1 a b 0 上 62 x2 a2 y2 b2 且椭圆的离心率为 6 3 1 求椭圆 C 的方程 2 若斜率为 1 的直线 l 与椭圆 C 交于 A B 两点 以 AB 为底边作等腰三 角形 顶点为 P 3 2 求 PAB 的面积 21 满分 12 分 已知三棱锥 P ABC 中 PA 平面 ABC AB AC PA AC AB N 为 AB 上一点 AB 4AN M S 分别 1 2 为 PB BC 的中点 1 证明 CM SN 2 求 SN 与平面 CMN 所成角的大小 5 22 满分 12 分 已知椭圆 C1的方程为 y2 1 双曲线 C2的左 右焦点 x2 4 分别是 C1的左 右顶点 而 C2的左 右顶点分别是 C1的左 右焦点 1 求双曲线 C2的方程 2 若直线 l y kx 与双曲线 C2恒有两个不同的交点 A 和 B 且 2 OA 2 其中 O 为原点 求 k 的取值范围 OB 2017 2018 学年度第一学期期末考试学年度第一学期期末考试 高二理科数学参考答案高二理科数学参考答案 一 选择题一 选择题 题号123456789101112 答案ABABABCDDCCB 1 A 解析 12 13 13 AxxBxxABxx 选 A 2 B 3 A 解析 x 2 且 y 2 x2 y2 4 x 2 且 y 2 是 x2 y2 4 的充分条件 而 x2 y2 4 不一定得出 x 2 且 y 2 4 B 解析 由等差数列性质 a3 a6 a10 a13 a3 a13 a6 a10 2a8 2a8 4a8 32 a8 8 又 d 0 m 8 5 A 解析 第一次执行后 S i 4 10 第二次执行后 1 3 S i 6 10 第三次执行后 S i 8 10 第四次执行后 1 3 1 15 2 5 2 5 1 35 3 7 S i 10 第五次执行后 S i 12 10 输出 S 3 7 1 63 4 9 4 9 1 99 5 11 5 11 6 B 解析 根据频率分布直方图的特点可知 低于 60 分的频率是 0 005 0 01 20 0 3 所以该班的学生人数是 50 15 0 3 7 C 解析 该正三棱柱的直观图如图所示 且底面等边三角形的高为 正三棱柱的32 高为 2 则底面等边三角形的边长为 4 所以该正三棱柱的表面积为 3 4 2 2 4 24 2 1 3238 6 8 D 解析 由已知 a b c 0 得 a b c 则 a b 2 a 2 b 2 2a b c 2 由 此可得 a b 从而 cos a b 故答案为 D 3 2 a b a b 1 4 9 D 解析 以 AG 为半径作圆 面积介于 36 平方厘米到 64 平方厘米 则 AG 的长 度应介于 6 厘米到 8 厘米之间 如图 所求概率 P 2 10 1 5 10 C 解析 利用中间量比较大小 因为 a log2 1 2 b log 0 c 2 0 1 1 2 所以 a c b 11 C 解析 根据余弦定理 有a 2bcosC 2b 化简整理得 b c 所以 a2 b2 c2 2ab ABC 为等腰三角形 12 B 解析 设双曲线的标准方程为 1 a 0 b 0 由于直线 l 过双曲线的焦 x2 a2 y2 b2 点且与对称轴垂直 因此直线 l 的方程为 x c 或 x c 代入 1 得 x2 a2 y2 b2 y2 b2 1 c2 a2 b4 a2 y 故 AB 依题意 4a b2 a 2b2 a 2b2 a 2 e2 1 2 e b2 a2 c2 a2 a23 二 填空题二 填空题 13 8 解析 作出可行域如图所示 7 可知当 x3y z 经过点 A 2 2 时 z 有最小值 此时 z 的最小值为23 2 8 14 x0 0 使得 x0 1 1 0 ex 15 40 解析 抽样比为 则应从甲社区中抽取低收入家庭的户数为 90 360 270 180 1 9 360 40 1 9 16 8 解析 依题意得 196 197 200 203 204 200 1 3 6 7 m x 1 5y 1 5 因为回归直线必经过样本点中心 所以 0 8 200 155 解得 m 8 17 m 5 17 m 5 三 解答题三 解答题 17 解 1 由频率分布表得 0 05 m 0 15 0 35 n 1 即 m n 0 45 由抽取的 20 个零件中 等级为 5 的恰有 2 个 得 n 0 1 所以 m 0 45 0 1 0 35 2 20 2 由 1 得 等级为 3 的零件有 3 个 记作 x1 x2 x3 等级为 5 的零件有 2 个 记作 y1 y2 从 x1 x2 x3 y1 y2中任意抽取 2 个零件 所有可能的结果为 x1 x2 x1 x3 x1 y1 x1 y2 x2 x3 x2 y1 x2 y2 x3 y1 x3 y2 y1 y2 共 10 种 记事件 A 为 从零件 x1 x2 x3 y1 y2中任取 2 件 其等级相等 则 A 包含的基本事件有 x1 x2 x1 x3 x2 x3 y1 y2 共 4 种 故所求概率为 P A 0 4 4 10 18 解 1 设数列 an 的公差为 d 则 an a1 n 1 d 由 a10 30 a20 50 8 得方程组Error 解得Error 所以 an 12 n 1 2 2n 10 2 证明 由 1 得 bn 2n 所以 2 bn 1 bn 2n 1 2n 所以 bn 是首项为 2 公比为 2 的等比数列 3 由 nbn n 2n 得 Tn 1 2 2 22 n 2n 2Tn 1 22 2 23 n 1 2n n 2n 1 得 Tn 2 22 2n n 2n 1 2n 1 2 n 2n 1 所以 Tn n 1 2n 1 2 19 解 1 产品净重小于 100 克的频率为 0 050 0 100 2 0 300 设样本容量为 n 样本中产品净重小于 100 克的个数是 36 0 300 n 120 样本中净重大于或等于 98 克并且小于 104 克的产品的频率为 36 n 0 100 0 150 0 125 2 0 750 样本中净重大于或等于 98 克并且小于 104 克的产品的个数是 120 0 750 90 2 产品净重在 96 98 98 104 104 106 内的频率分别为 0 050 2 0 100 0 100 0 150 0 125 2 0 750 0 075 2 0 150 其相应的频数分别为 120 0 1 12 120 0 750 90 120 0 150 18 这批产品平均每个的利润为 3 12 5 90 4 18 4 65 元 1 120 20 解 1 由已知得 6 a2 2 b2 1 c a 6 3 a2 b2 c2 解得故椭圆 C 的方程为 1 a2 12 b2 4 x2 12 y2 4 2 设直线 l 的方程为 y x m A x1 y1 B x2 y2 AB 的中点为 D x0 y0 由消去 y 整理得 4x2 6mx 3m2 12 0 y x m x2 12 y2 4 1 则 x0 m y0 x0 m m x1 x2 2 3 4 1 4 9 即 D 3 4m 1 4m 因为 AB 是等腰三角形 PAB 的底边 所以 PD AB 即 PD 的斜率 k 1 解得 m 2 2 m 4 3 3m 4 此时 x1 x2 3 x1x2 0 则 AB x1 x2 3 22 x1 x2 2 4x1x22 又点 P 到直线 l x y 2 0 的距离为 d 3 2 所以 PAB 的面积为 S AB d 1 2 9 2 21 解 以 A 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系 设 PA 1 则 P 0 0 1 C 0 1 0 B 2 0 0 M 1 0 N 0 0 S 1 0 1 2 1 2 1 2 1 1 1 0 CM