非线性方程组牛顿迭代法(1)

华中师范大学 课程结业论文 题题 目目 非线性方程组牛顿法及非线性方程组牛顿法及 MATLABMATLAB 程序程序 院 系 数学与统计学学院 专 业 数学与应用数学 年 级 2014 级 课堂名称 数值分析 1 实验 学生姓名 杨帅 学 号 2014212643 2016 年 6 月 18 非线性方程组牛顿法及其 MATLAB 程序 摘要 学了 数值分析 这门课 了解到非线性方程的数值解法有 对分区 间法 简单迭代法 Aitken Steffensen 加速法 Newton 迭代法 正割法等 自然就会想到非线性方程组的数值解法有哪些呢 和非线性方程的数值解法有 哪些不不同呢 在研究非线性方程组的数值解法之前 首先要给非线性方程组 下一个合理定义 n 个变量 n 个方程 n 1 的方程组表示为 其中 i 1 2 n 若中至少有一个是非线性0 21 nixxxfif 函数 则称上述的表示为非线性方程组 在 R 中记 其中记 且 T nxxxff 21 1niiixxfxff Dx 若存在尣 D 使 尣 0 则称尣为非线性方程组的解 上述 方程组可能有一个解或多个解 也可能有无穷多解或无解 对非线 性方程组解的存在性的研究远不如线性方程组那样成熟 现有的解 法也不象线性方程组那样有效 除极特殊的方程外 一般不能用直 接方法求得精确解 目前主要采用迭代法求近似解 根据不同思想 构造收敛于解尣的迭代序列 尣 k 0 1 即可得到求解非线 性方程组的各种迭代法 但研究数学问题的时候 一般是由简单到 复杂 由特殊到一般 因此要在研究非线性方程组牛顿解法的时候 首先要探究非线性方程的牛顿解法 1 11 1 求解线性方程组的牛顿法及其求解线性方程组的牛顿法及其 MATABMATAB 程序程序 1 1 1 程序设计思路 输入的量 初始值 近似根的误差限 tol 近似根的函0 xkxkx 数值得误差限 ftol 迭代次数的最大值 gxmax 函数 fnq x kxf 及其导数 dfnq x f x xf 输出的量 迭代序列 迭代 k 次得到的迭代值 迭代kxkx 次数超过 gxmax 时 运行后输出信息 请注意 迭代次数超过给定的 最大值 gxmax 相邻两次迭代的偏差 piancha 和它的偏差1 kkx x 的相对误差 xdpiancha 的值 1 kkx xkx 1 1 2 具体操作 现提供名为 newtonqx m 的 M 文件 function k xk yk piancha xdpiancha newtonqx x0 tol ftol gxmax x 1 x0 for i 1 gxmax x i 1 x i fnq x i dfnq x i eps piancha abs x i 1 x i xdpiancha piancha abs x i 1 eps i i 1 xk x i yk fnq x i i 1 xk yk piancha xdpiancha if abs yk ftol end i 1 xk yk piancha xdpiancha 1 1 3 例题分析 用牛顿法求解方程 2x 3 3x 2 1 0 在 0 4 和 0 9 的近似根 要0 x 求精度 10 3 然后判断此方法分别在方程的根 0 5 和 1 x 处的收敛速度 1 先求方程的近似根 在 MATLAB 工作窗口输入程序 k xk yk piancha xdpiancha newtonqx 0 4 0 001 0 001 100 运行后输出初始值 0 4 的迭代结果如表所示 0 x k 1 kkx x kx 0 5 1 6 7 0 0 7 6 7 0 1 1 6 7 0 2 2 5 8 2 0 5 0 0 4 0 0 0 1 6 0 0 1 6 3 0 0 3 2 6 3 0 5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4 0 0 0 0 7 迭代次数 k 3 根的近似值 0 500 它的函数值 1 759e kxky 013 偏差 piancha 1 712e 007 和相对误差 xdpiancha 3 423e 007 如果将 0 4 改作 0 9 则运行后输出初始值 0 4 的迭代结果0 x 为 k 7 piancha 7 290e 004 xdpiancha 7 295e 004 0 999 kx 1 590e 006 ky 2 再讨论收敛速度 比较初始值分别是 0 4 和 0 9 的两组结果 在 0 4 处0 x0 x 迭代 3 次就得到单根 0 5 的近似值 0 500 而在 x0 0 9 xkx 处迭代 7 次才得到二重根 1 的近似值 0 999 可见 牛顿切线 xkx 迭代法在单根处的迭代速度比二重根处的迭代速度快很多 这正如前 面讨论的结果一样 即若 是 f x 0 的单根 则牛顿切线法是平 x 方收敛的 若 是 f x 0 的二重根 则牛顿切线法是线性收敛的 x 2 12 1 求解二元非线性方程组的牛顿法及其 求解二元非线性方程组的牛顿法及其 MATLABMATLAB 程序程序 2 1 1 程序设计思路 输入的量 初始值 X 要求的近似根 的误差00 yxkkyx tol 的函数值 的误差限 ftol 迭代次数的最kkyx 2 1 iyxfkki 大值 ngmax 和函数 及其一阶偏导数 2 1 iyxfkki 输出的量 迭代次数得到的迭代向量值 X 向kci 00 yx 量的函数值 Y Y 的 2 范数 hanfan 迭代方程组 21kkkkyxfyxf 的系数行列式 D 的值 相邻两次迭代向量的 2 范数 danfan norm 和它的 2 范数的相对误差 xddf danfan norm 的值kkXX 11 kX 当迭代次数超过最大值 ngmax 时运行后输出 请注意 迭代次数 超过给定的最大值 namax 请重新输入初始值 当 D 0 时 运行0 x 后输出信息 请注意 迭代方程组的系数行列式的值等于零 2 1 2 具体操作 使用两个初始值 现提供名为 newtonzu2 m 的 M 文件00 yx function ci D danfan xddf hanfan Xk Yk newtonzu2 X tol ftol ngmax Y Z X for i 1 ngmax dY JZ X D det dY A1 Y 1 dY 1 2 Y 2 dY 2 2 A det A1 B1 dY 1 1 Y 1 dY 2 1 Y 2 B det B1 Xk X A B D hanfan norm Y danfan norm Xk X xddf danfan norm Xk eps X Xk Y Z X ci i if D 0 ci i Xk X A B D Yk Y ci D danfan xddf hanfan X Y else disp 请注意 迭代方程组的系数行列式的值等于零 end if hanfan ftol end end 2 1 3 例题分析 用上述迭代法求解方程组 x 2 y 2 16 与 x 2 y 2 2 1 设 x 2 y 2 16 1xf x 2 y 2 2 2xf 则y y yxf x x yxf y y yxf x x yxf 2 2 2 2 2211 2 作函数和的图像 输入程序 1xf 2xf syms x y F1 x 2 y 2 2 F2 x 2 y 2 16 ezplot F1 4 5 4 5 hold on ezplot F2 4 5 4 5 hold off 运行后屏幕显示如右图 取两个初始值2 200 yx 3 建立并保存名为 Z m 的 M 文件 function F Z X x X 1 y X 2 F zeros 1 2 F 1 x 2 y 2 16 F 2 x 2 y 2 2 4 建立并保存名为 JZ m 的 M 文件 function dF JZ X x X 1 y X 2 dF zeros 2 2 dF 1 1 2 x dF 1 2 2 y dF 2 1 2 x dF 2 2 2 y 5 保存名为 newtonzu2 m 的 M 文件 6 在 MATLAB 工作窗口输入程序 X 2 2 k D danfan xddf hanfan Xk Yk newtonzu2 X 1e 4 1e 4 100 7 运行后输出结果 k 5 D 63 49803146638493 danfan 3 932201289951168e 011 xddf 9 830503224877920e 012 hanfan 3 336593498083849e 010 Xk 2 99999999996068 2 64575131106449 Yk 1 0e 015 0 0 88817841970013 2 22 2 求解求解 n n 元非线性方程组的牛顿法及其元非线性方程组的牛顿法及其 MATLABMATLAB 程序程序 2 2 1 程序设计思路 输入的量 初始值 要求的近似根的误差限 tol 的函0X k x k x 数值 的误差限 ftol 迭代次数的最大值if k xn 2 1i gxmax 和函数 及其一阶偏导数 if k xn 2 1i 输出的量 迭代 k 次数得到的迭代向量值 向量的函数值 k x 及其 2 范数 hanfan 迭代方程组的雅可比矩阵if k xn 2 1i 的行列式 D 的值 相邻两次迭代向量的 2 范数 danfan norm 和它的 2 范数的相对误差 xddf danfan norm 的值 kk xx 11 k x 当迭代次数超过最大值 gxmax 时运行后输出信息 请注意 迭代 次数超过给定的最大值 gxmax 请重新输入初始值 当 D 0 时 运 行后输出信息 请注意 迭代方程组的系数行列式的值等于零 2 2 2 具体操作 使用两个初始值 现提供名为 newtonzu2 m 的 M 文件00 yx function ci D danfan xddf hanfan Xk Yk newtonzun X tol ftol gxmax Y Z X for i 1 gxmax dY JZ X D det dY Xk X dY Y hanfan norm Y danfan norm Xk X xddf danfan norm Xk eps X Xk Y Z X ci i if D 0 ci i Xk X dY Y Yk Y ci D danfan xddf hanfan X Y else disp 请注意 迭代方程组的系数行列式的值等于零 end if hanfan ftol end 2 2 3 例题分析 用上述 n 元非线性方程组的迭代法求解方程组 x 2 y 2 16 与 x 2 y 2 2 在 MATLAB 工作窗口输入程序 X 2 2 k D danfan xddf hanfan Xk Yk newtonzun X 1e 6 1e 6 100 运行后输出结果 k 5 D 63 49803146638493 danfan 3 932201289951168e 011 xddf 9 830503224877920e 012 hanfan 3 336593498