圆中常见的辅助线

圆中常见辅助线的做法圆中常见辅助线的做法 一 遇到弦时 解决有关弦的问题时 一 遇到弦时 解决有关弦的问题时 1 常常添加弦心距 或作垂直于弦的半径 或直径 或再连结过弦的端点的半常常添加弦心距 或作垂直于弦的半径 或直径 或再连结过弦的端点的半 径 径 作用 利用垂径定理 利用圆心角及其所对的弧 弦和弦心距之间的关系 利用弦的一半 弦心距和半径组成直角三角形 根据勾股定理求有关 量 例 如图 在以 O 为圆心的两个同心圆中 大圆的弦 AB 交小圆于 C D 二点 求证 AC BD 证明 过 O 作 OE AB 于 E O 为圆心 OE AB AE BE CE DE AC BD 练习 练习 如图 AB 为 O 的弦 P 是 AB 上的一点 AB 10cm PA 4cm 求 O 的半径 P O BA 2 2 有等弧或证弧等时常连等弧所对的弦或作等弧所对的圆心角有等弧或证弧等时常连等弧所对的弦或作等弧所对的圆心角 例 如图 已知 AB 是 O 的直径 M N 分别是 AO BO 的中点 CM AB DN AB 求证 AA ACBD 证明 一 连结 OC OD M N 分别是 AO BO 的中点 OM AO ON BO 1 2 1 2 OA OB OM ON CM OA DN OB OC OD Rt COM Rt DON COA DOB A A ACBD 二 连结 AC OC OD BD M N 分别是 AO BO 的中点 AC OC BD OD OC OD AC BD A A ACBD 3 3 有弦中点时常连弦心距有弦中点时常连弦心距 O EDC BA O NM D C B A 例 如图 已知 M N 分别是 O 的弦 AB CD 的中点 AB CD 求证 AMN CNM 证明 连结 OM ON O 为圆心 M N 分别是弦 AB CD 的中点 OM AB ON CD AB CD OM ON OMN ONM AMN 90o OMN CNM 90o ONM AMN CNM 4 4 证明弦相等或已知弦相等时常作弦心距证明弦相等或已知弦相等时常作弦心距 例 如图 已知 O1与 O2为等圆 P 为 O1 O2的中点 过 P 的直线分别交 O1 O2于 A C D B 求证 AC BD 证明 过 O1作 O1M AB 于 M 过 O2作 O2N AB 于 N 则 O1M O2N 11 22 O MO P O NO P O1P O2P O1M O2N AC BD 二二 有弧中点 或证明是弧中点 时 常有以下几种引辅有弧中点 或证明是弧中点 时 常有以下几种引辅 助线的方法 助线的方法 连结过弧中点的半径连结过弧中点的半径 连结等弧所对的弦连结等弧所对的弦 连结等弧所对的圆心角连结等弧所对的圆心角 例 如图 已知 D E 分别为半径 OA OB 的中点 C 为弧 AB 的中点 求证 CD CE 证明 连结 OC C 为弧 AB 的中点 A A ABBC AOC BOC D E 分别为 OA OB 的中点 且 AO BO OD OE AO BO 1 2 1 2 又 OC OC ODC OEC CD CE 3 3 有直径时常作直径所对的圆周角 再利用有直径时常作直径所对的圆周角 再利用直径所对的圆周角为直角直径所对的圆周角为直角证题证题 例 如图 AB 为 O 的直径 AC 为弦 P 为 AC 延长线上一点 且 AC PC PB 的延长线交 O 于 D 求证 AC DC 证明 连结 AD AB 为 O 的直径 ADP 90o AC PC O N M D C B A P O2 O1 N M D C B A O E D C BA P O D C B A AC CD AP 1 2 例例 2005 年自贡市 如图 2 P 是 O 的弦 CB 延长线上一点 点 A 在 O 上 且 求证 PA 是 O 的切线 BAPC 证明 证明 作 O 的直径 AD 连 BD 则 即 CDABD 90 DBAD90 CBAD90 CPAB 即 BADPAB90AP AD PA 为 O 的切线 四 遇到四 遇到 90 度的圆周角时度的圆周角时 常常连结两条弦没有公共点的另一端点 作用 利用圆周角的性质 可得到直径 练习 如图 在 Rt ABC 中 BCA 90o 以 BC 为直径的 O 交 AB 于 E D 为 AC 中点 连结 BD 交 O 于 F 求证 BCCF BEEF 五五 有等弧时常作辅助线有以下几种 有等弧时常作辅助线有以下几种 作等弧所对的弦作等弧所对的弦 作等弧所对的圆心角作等弧所对的圆心角 作等弧所对的圆周角作等弧所对的圆周角 练习 1 如图 O 的直径 AB 垂直于弦 CD 交点为 E F 为 DC 延长线上一点 连结 AF 交 O 于 M 求证 AMD FMC 提示 连结 BM 2 如图 ABC 内接于 O D E 在 BC 边上 且 BD CE 1 2 求证 AB AC 提示如图 2题图 G O F ED CB A 2 1 1题图 F M O E D C BA 六六 有弦中点时 常构造三角形中位线有弦中点时 常构造三角形中位线 例 已知 如图 在 O 中 AB CD OE BC 于 E 求证 OE AD 1 2 证明 作直径 CF 连结 DF BF CF 为 O 的直径 CD FD 又 CD AB AB DF AA ADBF AD BF OE BC O 为圆心 CO FO CE BE OE BF 1 2 OE AD 1 2 七七 圆上有四点时 常构造圆内接四边形圆上有四点时 常构造圆内接四边形 例 如图 ABC 内接于 O 直线 AD 平分 FAC 交 O 于 E 交 BC 的延长线于 D 求证 AB AC AD AE 证明 连结 BE 1 3 2 1 3 2 四边形 ACBE 为圆内接四边形 ACD E ABE ADC AEAB ACAD AB AC AD AE 八八 两圆相交时 常连结两圆的公共弦两圆相交时 常连结两圆的公共弦 例 如图 O1与 O2相交于 A B 过 A 的直线分别交 O1 O2于 C D 过 B 的直线分 别交 O1 O2于 E F 求证 CE DF 证明 连结 AB 四边形为圆内接四边形 ABF C 同理可证 ABE D ABF ABE 180o C D 180o CE DF 九九 在证明直线和圆相切时 常有以下两种引辅助线方法 在证明直线和圆相切时 常有以下两种引辅助线方法 O F E D C B A 3 21 O F E D C B A O2O1 F E D C B A 当已知直线经过圆上的一点 那么连结这点和圆心 得到辅助半径 再证明所当已知直线经过圆上的一点 那么连结这点和圆心 得到辅助半径 再证明所 作半径与这条直线垂直即可作半径与这条直线垂直即可 如果不知直线与圆是否有交点时 那么过圆心作直线的垂线段 再证明垂线段如果不知直线与圆是否有交点时 那么过圆心作直线的垂线段 再证明垂线段 的长度等于半径的长即可的长度等于半径的长即可 例 1 如图 P 为 O 外一点 以 OP 为直径作圆交 O 于 A B 两点 连结 PA PB 求证 PA PB 为 O 的切线 证明 连结 OA PO 为直径 PAO 90o OA PA OA 为 O 的半径 PA 为 O 的切线 同理 PB 也为 O 的切线 例 2 如图 同心圆 O 大圆的弦 AB CD 且 AB 是小圆的切线 切点为 E 求证 CD 是 小圆的切线 证明 连结 OE 过 O 作 OF CD 于 F OE 为半径 AB 为小圆的切线 OE AB OF CD AB CD OF OE CD 为小圆的切线 练习 如图 等腰 ABC 以腰 AB 为直径作 O 交底边 BC 于 P PE AC 于 E 求证 PE 是 O 的切线 十十 当已知条件中有切线时 常作过切点的半径 利用切线的性质定理证题当已知条件中有切线时 常作过切点的半径 利用切线的性质定理证题 例 如图 在 Rt ABC 中 C 90o AC 12 BC 9 D 是 AB 上一点 以 BD 为 直径的 O 切 AC 于 E 求 AD 长 解 连结 OE 则 OE AC BC AC OE BC OEAO BCAB 在 Rt ABC 中 AB 2222 12915ACBC 15 915 OEABOBOE AB OE OB 45 8 BD 2OB 45 4 O F E D C BA PO B A P O E C B A O E D C B A AD AB DB 15 45 4 15 4 答 AD 的长为 15 4 练习 如图 O 的半径 OA OB 点 P 在 OB 的延长线上 连结 AP 交 O 于 D 过 D 作 O 的切线 CE 交 OP 于 C 求证 PC CD 十一 遇到两相交切线时 切线长 遇到两相交切线时 切线长 常常连结切点和圆心 连结圆心和圆外的一点 连结两切点 作用 据切线长及其它性质 可得到 角 线段的等量关系 垂直关系 全等 相似三角形 十二 遇到三角形的内切圆时十二 遇到三角形的内切圆时 连结内心到各三角形顶点 或过内心作三角形各边的垂线段 作用 利用内心的性质 可得 内心到三角形三个顶点的连线是三角形的角平分线 内心到三角形三条边的距离相等 在处理内心的问题时 常需连结顶点与内心 以便利用内切圆的圆心是三 角形内角平分线交点这一性质 十三 遇到三角形的外接圆时 连结外心和各顶点十三 遇到三角形的外接圆时 连结外心和各顶点 作用 外心到三角形各顶点的距离相等 十四 遇到两圆外离时 解决有关两圆的外 内公切线的问题 十四 遇到两圆外离时 解决有关两圆的外 内公切线的问题 常常作出过切点的半径 连心线 平移公切线 或平移连心线 作用 利用切线的性质 利用解直角三角形的有关知识 十五 遇到两圆相交时十五 遇到两圆相交时 两个相交圆不离公共弦 常常作公共弦 两圆连心线 连结交点和圆心等 P O E D C B A 作用 利用连心线的性质 解直角三角形有关知识 利用圆内接四边形的性质 利用两圆公共的圆周的性质 垂径定理 1 作相交两圆的公共弦 利用圆内接四边形的性质或公共圆周角 沟通两圆的角的关系 例 1 如图 1 O1和 O2相交于 A B 两点 过 A B 分别作直线 CD EF 且 CD EF 与两圆相交于 C D E F 求证 CE DF 图 1 分析 CE 和 DF 分别是 O1和 O2的两条弦 难以直接证明它们相等 但通过连结 AB 则可得圆内接四边形 ABEC 和 ABFD 利用圆内接四边形的性质 则易证明 证明 连结 AB 因为 DABECABF 又 DABCAB180 所以 即 CE DF EF180 又 CD EF 所以四边形 CEFD 为平行四边形 即 CE DF 2 作两相交圆的连心线 利用过交点的半径 公共弦 圆心距构造直角三角形 解决有关的计算问题 例 2 O1和 O2相交于 A B 两点 两圆的半径分别为和 公共弦长为 12 6 24 3 求的度数 O AO 12 图 2 分析 公共弦 AB 可位于圆心 O1 O2同侧或异侧 要求的度数 可利用角 O AO 12 的和或差来求解 解 当 AB 位于 O1 O2异侧时 如图 2 连结 O1 O2 交 AB 于 C 则 分别在和中 利用O OAB 12 Rt AO C 1 Rt AO C 2 锐角三角函数可求得 O ACO AC 12 4530 故 O AOO ACO AC 1212 75 当 AB 位于 O1 O2同侧时 如图 3 图 3 则 综上可知或 O AOO ACO AC 1212 15 O AO 12 75 15 例 2 已知 O1与 O2交于 A B O1的弦 AC 切 O2于 A 过 B 作直线交两圆 于 D E 求证 DC AE 分析 由口诀 两个相交圆不离公共弦 连结 AB 可得 D CAB 由切线知 CAB E 即 D E 即得证 练习 如图 O1和 O2都经过 A B 两点 经过点 A 的直线 CD 与 O1交于点 C 与 O2交于点 D 经过点 B 的直线 EF 于 O1交于点 E 与 O2交于点 F 求证 CE DF 例 如图 8 在梯形 ABCD 中 以两腰 AD BC 分别为直径的两个圆相交于 M N 两点 过 M N 的直线与梯形上 下底交于 E F C DE M N G AB O 2 O 1 F 图 8 求证 MN AB 分析 因为 MN 是公共弦 若作辅助线 O1O2 必有 MN O1O2 再由 O1O2是梯形的中位线 得 O1O2 AB 从而易证 MN AB 证明 连结 O1O2交 EF 于 G MN O1O2 DO1 O1A CO2 O2B O1O2是梯形 ABCD 的中位线 O1O2 AB EFA EGO1 Rt MN AB 说明 由两圆相交连心线垂直于公共弦想到作连心线 16 遇到两圆相切时遇到两圆相切时 两个相切圆不离公切线 常常作连心线 公切线 作用 利用连心线性质 弦切角性质 切线性质等 例 3 如图 4 O1和 O2外切于点 P A 是 O1上的一点 直线 AC 切 O2于 C 交 O1于 B 直线 AP 交 O2于 D 求证 PC 平分 BPD 图 4 分析 要证 PC 平分 即证 BPD BPCDPC 而的边分布在两个圆中 难以直接证明 BPC 若过 P 作两圆的公切线 PT 与 AC 交于 T 易知 BPCTPBTPC 由弦切角定理 得 TPBA 又是的一个外角 DPC APC 所以 DPCAACP 又 TPCACP 从而有 BPCDPC 即 PC 平分 BPD 例 3 已知 O1和 O2外切于 A 直线 BC 切 O1于 B 切 O2于 C 求证 AB AC 人教版课本 P87例 4 分析 1 口诀 两个相切圆不离公切线 过 A 作两圆的公切线 则 1 2 3 4 又 1 2 3 4 180 则 2 3 90 即 AB AC 分析 2 口诀 两圆三圆连心线 连结 O1O2 O1B O2C 则点 A 在 O1O2上 易知 O1B O2C 显然 1 2 90 故 AB AC 1 1 相切两圆常添公切线作辅助线相切两圆常添公切线作辅助线 例例 2 2 如图 2 已知 O1 O2外切于点 P A 是 O1上一点 直线 AC 切 O2于点 C 交 O1一点 B 直线 AP 交 O2于点 D 1 求证 PC 平分 BPD 2 将 O1与 O2外切于 点 P 改为 O1 O2内切于点 P 其它条件不变 中的结论是否仍然成立 画出图 形并证明你的结论 武汉市中考题 证明证明 1 过 P 点作两圆公切线 PQ QPC PCQ QPB A CPD A QCP CPD CPB 即 PC 平分 BPD 2 上述结论仍然成立 如图 3 过点 P 作两圆公切线 PM 则 MPB A BPC MPC MPB BCP A CPA PC 平分 BPD 说明说明 作公切线的 公 字联系了小圆弦切角与大圆弦切角 2 遇到三个圆两两外切时 遇到三个圆两两外切时 两圆三圆连心线 常常作每两个圆的连心线 A D Q O 2 O 1 C B 图 2 A D P O 1 C B 图 3 M P 作用 可利用连心线性质 3 3 两圆三圆时常作连心线作为辅助线两圆三圆时常作连心线作为辅助线 例例 3 3 如图 4 施工工地水平地面上有三根外径都是 1 米的水泥管 两两外切堆放在一 起 则最高点到地面距离是 辽宁省中考题 解解 连 O1O2 O2O3 O3O1 过 O1作 AO1 O2O3交 O1于 A 交 O2O3于 B O1 O2 O3是等圆 O1O2O3是等边三角形 说明说明 三圆两两相切时作连心线后注意挑选直角三角形解题 十七 遇到四边形对角互补或两个三角形同底并在底的同向且有相等十七 遇到四边形对角互补或两个三角形同底并在底的同向且有相等 顶角顶角 时时常常添加辅助圆 作用 以便利用圆的性质 过小圆圆心作大圆半径的垂线 有关公切线问题常过小圆的圆心作大圆半径的垂线 构造直角三角形 例 5 如图 6 O1与 O2外切于点 O 两外公切线 PCD 和 PBA 切 O1 O2于点 C D B A 且其夹角为 求两圆的半径 60 AB 2 3 图 6 分析 如图 6 连结 O1O2 O1A O2B 过点 O2作 构造 下O E O A 21 Rt O O E 12 面很容易求出结果 十八十八 相交两圆中至